2.7探索勾股定理 最短路径问题之将军饮马专题2025-2026学年浙教版数学 八年级上册

八上专题：最短路径问题之“将军饮马” 一．两定一动型（基础）（共 9 小题） 1 ．已知如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，则 DN+MN 的最小值为 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 2 ．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 8 ，面积是 24 ，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 于 E， F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 3 ．如图，等腰三角形 ABC 底边 BC 的长为 4cm ，面积是 12cm2 ，腰 AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F，若 D 为 BC 边上的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△BDM的周长最短为 ( ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．8cm 4 ．如图，AB丄BC，CD丄BC，垂足分别为 B ，C，P 为线段 BC 上一点，连结 PA ，PD ．已知AB ＝5 ，DC =4 ，BC ＝12 ，则 AP+DP 的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 5 ．已知在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90° , BC= 3 ，AC ＝3 ，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E 是边 AC 上一点，则DE+BE 的最小值为 ． 6 ．已知矩形 ABCD ，AB ＝3 ，AD ＝4 ，点 P 在 AD 边上移动，点 Q 在 BC 边上移动，且满足 PBⅡDQ ，则AP+PQ+QB 的最小值是 ． 7 ．已知：如图，由边长均为 1 个单位的小正方形组成的网格图中，点 A 、点 B 、点 C 都在格点（正方形的顶点）上． （1） △ABC 的面积等于 个平方单位； （2）画出△ABC 关于直线 l 的对称图形； （3）在直线 l 上找一点 P ，使 PB+PA 的长最短． 8 ．如图，在一条东西向的马路上有广场 A 和医院 C，在各自正北方向上分别有汽车站 B 和汽车站 D ，已知 AC ＝14km ，AB ＝4km ，CD ＝8km ，市政府打算在马路 AC 段之间建造一个加油站 P． （1）若要使得加油站 P 到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图 1 中作出加油站 P 的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号） （2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图 2 中作出加油站 P 的位置，并求出此时 PA 的距离．（作图请保留痕迹） 9 ．一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A 、B 处距河岸的距离分别是 AC ＝500m ，BD ＝700m ，且 C、D两地间距离也为 500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短． （1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来． （2）请你求出他至少要走 路程． 二．一定两动型（点点）（共 7 小题） 10 ．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点， ∠AOB ＝30° , OP ＝8 ，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ． 8 11 ．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB ＝40° , 点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN的度数为 ( ) A ．140° B ．100° C ．50° D ．40° 12 ．如图．在五边形 ABCDE 中， ∠BAE ＝136° , ∠B = ∠E ＝90° , 在 BC、DE 上分别找一点 M、N，使得 △AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ( ) A ．84° B ．88° C ．90° D ．96° 13 ．如图，已知∠AOB 的大小为α , P 是∠AOB 内部的一个定点，且 OP ＝6 ，点 E 、F 分别是 OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于 6 ，则α = ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 14 ．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6 ， ∠BAC ＝120° , 点 D ，点 P 分别在 AB ，BC 上运动，则线段 AP和线段 DP 之和的最小值是 ． 15 ．如图， ∠MON＝30° , A 在 OM 上，OA ＝2 ，D 在 ON 上，OD ＝4 ，C 是 OM 上任意一点，B 是 ON 上任意一点，则折线 ABCD 的最短长度为 ． 16 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠A ＝90° , AB ＝12 ，AC ＝5 ，M、N、P 分别是边 AB 、AC、BC 上的动点，连接 PM、PN 和 MN，则 PM+PN+MN 的最小值是 ． 三．一定两动型（点线）（共 7 小题） 17 ．如图，在锐角△ABC 中，AC ＝10 ，S△ABC ＝25 ， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，点 M，N 分别是 AD和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 ． 18 ．如图，在△ABC 中，BA ＝BC，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D ，点 M、N 分别为 BD 、BC 上的动点，若 BC ＝4 ， △ABC 的面积为 6 ，则 CM+MN 的最小值为 ． 19 ．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠BAC ＝120° , S△ABC ＝8 3 ，点 M，P ，N 分别是边 AB ，BC，AC 上任意一点，则 （1）AB 的长为 ． （2）PM+PN 的最小值为 ． 20 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° , AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，P 、Q 分别是 AD、AC上的动点，则 PQ+PC 的最小值是 ． 21 ．如图，在△ABC 中， ∠C ＝90° , ∠A ＝30° , AB ＝9 ，BD 是△ABC 的角平分线，点 P 、点 N 分别是线 段 BD 和边 AC 上的动点，点 M 在边 BC 上，且 BM＝2 ，则 PM+PN 的最小值是 ． 22．在锐角△ABC 中，∠ABC ＝45° , CD丄AB，D 是垂足，BD ＝4，M、N 分别是 BD、BC 上动点，则 CM+MN的最小值是 ． 23 ．如图，在△ABC 中，AB丄EC 于点 E ， ∠ABC ＝45° , BD 平分∠ABC 且与 CE 交于点 F，BE ＝a ，FE =b ，点 M，N 分别是 BD ，BC 上的动点，当 MN+MC 最小时，此时动点 N 与点 C 的距离为 ． 初二上必考专题 3 ：最短路径问题之“将军饮马” 参考答案与试题解析 一．选择题（共 7 小题） 题号 1 2 3 10 11 12 13 答案 B D D D B B A 一．两定一动型（基础）（共 9 小题） 1 ．已知如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，则 DN+MN 的最小值为 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】B 【分析】要使 DN+MN 最小，首先应分析点 N 的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点 D 的对称点是点 B ，连接 MB 交 AC 于点 N，此时 DN+MN 最小值即是 BM 的长． 【解答】解：根据题意，连接 BD 、BM，则 BM 就是所求 DN+MN 的最小值，在 Rt△BCM 中，BC ＝8 ，CM＝6 根据勾股定理得：BM= 62 + 82 = 10，即 DN+MN 的最小值是 10； 故选：B． 【点评】此题的难点在于确定满足条件的点 N 的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理． 2 ．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 8 ，面积是 24 ，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 于 E， F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】D 【分析】先根据对称性判断点 M 的位置，再根据等腰三角形的性质得 AD丄BC ，进而根据三角形的面积求出AD ，即可求出答案． 【解答】解： ∵EF 是 AC 的垂直平分线， :点A 与点 C 关于 EF 对称． 连接 AD 与 EF 的交点为 M，则此时点 M 为使△CDM 周长最小时的位置． ∵点 D 是底边 BC 上的中点，且△ABC 是等腰三角形， :AD丄BC ．CD = BD ∵S△ABC ＝24 ，BC ＝8， ∵MA ＝MC， :△CDM 的周长＝MC+MD+CD ＝AD+DC ＝6+4 ＝10． 故选：D． 【点评】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点 M 的位置是解题的关键． 3 ．如图，等腰三角形 ABC 底边 BC 的长为 4cm ，面积是 12cm2 ，腰 AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F，若 D 为 BC 边上的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△BDM的周长最短为 ( ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．8cm 【答案】D 【分析】连接 AD ， 由于△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 AD丄BC，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据 EF 是线段 AB 的垂直平分线可知，点 B 关于直线 EF 的对称点为点A ，故AD 的长为 BM+MD 的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接 AD． ∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， :AD丄BC， :S△ABC= BC•AD= ×4×AD ＝12 ，解得 AD ＝6cm， ∵EF 是线段 AB 的垂直平分线， :点 B 关于直线 EF 的对称点为点 A， :AD 的长为 BM+MD 的最小值， :△BDM 的周长最短＝（BM+MD）+BD ＝AD+BC ＝6+ ×4 ＝6+2 ＝8cm． 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称 - 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 4 ．如图，AB丄BC，CD丄BC，垂足分别为 B ，C，P 为线段 BC 上一点，连结 PA ，PD ．已知AB ＝5 ，DC =4 ，BC ＝12 ，则 AP+DP 的最小值为 15 ． 【答案】15． 【分析】作A 点关于 BC 的对称点 A'，连接 A'D 交 BC 于点 P，过 A 点作 AM⊥CD 交于点 M，此时 AP+PD的值最小，在 Rt△A'DM 中，A'D= DM2 + A ,M2 = 15 ，则 A'D 即为所求． 【解答】解：作 A 点关于 BC 的对称点 A' ，连接 A'D 交 BC 于点 P ，过 A 点作 AM⊥CD 交于点 M， ∵AP ＝A'P， ∴AP+PD ＝A'P+PD ＝AD ，此时 AP+PD 的值最小， ∵AB ＝5 ，DC ＝4 ，BC ＝12， ∴AM＝12 ，DM＝5+4 ＝9， 在 Rt△A'DM 中，A'D= DM2 + A ,M2 = 122 + 92 = 15， ∴AP+PD 的最小值是 15， 故答案为：15． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键． 5 ．已知在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90° , BC= 3 ，AC ＝3 ，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E 是边 AC 上一点，则DE+BE 的最小值为 3 ． 【答案】3． 【分析】作 B 关于 AC 的对称点 B'，连接 B′D，易求∠BAB' ＝30° , 则 AB ＝AB'，且△ABB'为等边三角形，证明 B′D ＝AC，当 B 、E、D 三点共线时，BE+DE 的值最小为 B ′D ，由此便可得结果． 【解答】解：作 B 关于 AC 的对称点 B' ，连接 B′D ，AB′ ，如图， 」∠ACB ＝90° , BC= 3 ，AC ＝3， :tan∠BAC= = ， : ∠BAC ＝30° , : ∠ABC ＝60° , 」AB ＝AB'， :△ABB'为等边三角形， :AB ＝B′B ＝AB′， 」D 是 AB 的中点， :B′D丄AB， :BB′ ＝AC ＝3， 」BE ＝B′E， :BE+DE ＝DE+EB'≤B′D， :当 B 、E、D 三点共线时，BE+DE 的值最小为 B′D ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 6 ．已知矩形 ABCD ，AB ＝3 ，AD ＝4 ，点 P 在 AD 边上移动，点 Q 在 BC 边上移动，且满足 PBⅡDQ ，则AP+PQ+QB 的最小值是 7 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】四边形 PDBQ 是平行四边形，则 AP+PQ+QB ＝AP+PD+PQ ＝AD+PQ ，根据垂线段最短即可求解． 【解答】解： ∵平行四边形 ABCD 中，ADⅡBC，又∵PBⅡDQ， ∴四边形 PDBQ 是平行四边形， ∴QB ＝PD， ∴AP+PQ+QB ＝AP+PD+PQ ＝AD+PQ， 当 PQ 于 BC 垂直时 AD+PQ ＝AD+AB ＝7 最小． 故答案为：7． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和垂线的性质，注意到四边形 PDBQ 是平行四边形是关键． 7 ．已知：如图，由边长均为 1 个单位的小正方形组成的网格图中，点 A 、点 B 、点 C 都在格点（正方形的顶点）上． （1） △ABC 的面积等于 3 个平方单位； （2）画出△ABC 关于直线 l 的对称图形； （3）在直线 l 上找一点 P ，使 PB+PA 的长最短． 【答案】（1）3． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3），连接 BD ，交直线 l 于点 P ，则点 P 即为所求． 【解答】（1）S△ABC = 2 × 4 - × 1 × 2 - × 2 × 2 - × 1 × 4 = 3．故答案为：3． （2）如图， △DEC 即为所求． （3）如图，连接 BD ，交直线 l 于点 P ，连接 AP，此时 PB+PA ＝PB+PD ＝BD ，为最小值， :点 P 即为所求． 【点评】本题考查作图 - 轴对称变换、轴对称 - 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 8 ．如图，在一条东西向的马路上有广场 A 和医院 C，在各自正北方向上分别有汽车站 B 和汽车站 D ，已知 AC ＝14km ，AB ＝4km ，CD ＝8km ，市政府打算在马路 AC 段之间建造一个加油站 P． （1）若要使得加油站 P 到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图 1 中作出加油站 P 的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号） （2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图 2 中作出加油站 P 的位置，并求出此时 PA 的距离．（作图请保留痕迹） 【答案】（1）作图见解析部分， 340km； （2）作图见解析部分，km． 【分析】（1）作点 B 关于 AC 的对称点 B ′ ，连接 DB′交 AC 于点 P ，连接 PB ，此时 PB+PD 的值最小，利用勾股定理求出最小值； （2）连接 BD ，作线段 BD 的垂直平分线交 AC 于点 P ，连接 PB ，PD ，点 P 即为所求，设 PA ＝x km，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）如图 1 中，点 P 即为所求． 过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E ．则四边形 ACDE 是矩形， ∴AC ＝DE ＝14（km），CD ＝AE ＝8（km）， ∵AB ＝AB′ ＝4km， ∴EB′ ＝AE+AB′ ＝12（km）， ∴PB+PD 的最小值＝DB （2）如图 2 中，点 P 即为所求， 设 PA ＝x km ，CP ＝（ 14 - x）km， ∵ ∠A = ∠C ＝90° , 在 Rt△ABP 和 Rt△PCD 中，PB ＝PD， ∴42+x2 ＝82+（14 - x）2， 解得 x 【点评】本题考查作图与应用设计作图，轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会利用参数构建方程解决问题． 9 ．一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A 、B 处距河岸的距离分别是 AC ＝500m ，BD ＝700m ，且 C、D 两地间距离也为 500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短． （1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来． （2）请你求出他至少要走 1300m 路程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将此题转化为轴对称问题，作出 A 点关于河岸的对称点 A ′ ，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程； （2）根据（1）中所化图象，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）作 A 点关于河岸的对称点A ′ ，连接 BA′交河岸与 P，则 PB+PA ＝PB+PA′ ＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的 P 地点． （2）作 DB′ ＝CA′ ，且 DB′丄CD ， “DB′ ＝CA′ ，DB′丄CD ，BB′ⅡA′A， :四边形 A′B ′DC 是矩形， :B'A' ＝CD， 在 Rt△BB′A′中， 连接 A′B ′ ，则 BB′ ＝BD+DB′ ＝1200， BA′ = 12002 + 5002 = 1300（m）．故答案为：1300m． 【点评】此题考查了轴对称 - - 最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用． 二．一定两动型（点点）（共 7 小题） 10 ．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点， ∠AOB ＝30° , OP ＝8 ，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ． 8 【答案】D 【分析】作点 P 关于直线 OA 、OB 的对称点 E、F，连接 PE 、PF、OE 、OF、EF、EM、FN，则 OE = OF＝OP ＝8 ，PM＝EM，PN＝FN， ∠POE ＝2∠POA ， ∠POF＝2∠POB ，PM+MN+PN＝EM+MN+PN，推导出∠EOF ＝2∠AOB ＝60° , 则△EOF 是等边三角形，所以 EF ＝OE ＝8 ， 由 EM+MN+PN≥EF ，得PM+MN+PN≥8 ，所以 PM+MN+PN 的最小值为 8 ，于是得到问题的答案． 【解答】解：作点 P 关于直线 OA 、OB 的对称点 E、F，连接 PE 、PF、OE 、OF、EF、EM、FN， ∵OA 垂直平分 PE ，OB 垂直平分 PF， ∴OE ＝OF＝OP ＝8 ，PM＝EM，PN＝FN， ∴ ∠POA = ∠EOA ， ∠POB = ∠FOB ，PM+MN+PN＝EM+MN+PN， ∴ ∠POE ＝2∠POA ， ∠POF＝2∠POB， ∵ ∠AOB ＝30° , ∴ ∠EOF= ∠POE+∠POF＝2 (∠POA+∠POB）＝2∠AOB ＝60° , ∴△EOF 是等边三角形， ∴EF＝OE ＝8， ∵EM+MN+PN≥EF， ∴PM+MN+PN≥8， ∴PM+MN+PN的最小值为 8， ∴△PMN 周长的最小值为 8 ，故选：D． 【点评】此题重点考查轴对称 - 最短路线问题、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 11 ．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB ＝40° , 点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN的度数为 ( ) A ．140° B ．100° C ．50° D ．40° 【答案】B 【分析】分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 P1 、P2 ，连 P1 、P2 ，交 OA 于 M，交 OB 于 N，△PMN 的周长＝P1P2 ，然后得到等腰△OP1P2 中， ∠OP1P2+∠OP2P1 ＝100° , 即可得出∠MPN= ∠OPM+∠OPN = ∠OP1M+∠OP2N＝100° . 【解答】解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 P1 、P2 ，连接 P1P2 ，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则OP1 ＝OP ＝OP2 ， ∠OP1M= ∠MPO ， ∠NPO = ∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得 MP ＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2 ＝2∠AOB ＝80° , :等腰△OP1P2 中， ∠OP1P2+∠OP2P1 ＝100° , :∠MPN= ∠OPM+∠OPN= ∠OP1M+∠OP2N＝100° ,故选：B． 【 点 评】 本 题 考 查 了 轴 对 称 - 最 短 路 线 问 题 ， 正 确 正 确 作 出 辅 助 线 ， 得 到 等 腰 △OP1P2 中∠OP1P2+∠OP2P1 ＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 12 ．如图．在五边形 ABCDE 中， ∠BAE ＝136° , ∠B = ∠E ＝90° , 在 BC、DE 上分别找一点 M、N，使得 △AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ( ) A ．84° B ．88° C ．90° D ．96° 【答案】B 【分析】取点 A 关于 BC 的对称点 P ，关于 DE 的对称点 Q，连接 PQ 与 BC 相交于点 M，与 DE 相交于点 N，根据轴对称的性质可得 AM＝PM，AN＝QN，然后求出△AMN 周长＝PQ ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ 的长度即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和等于 180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN＝2∠P，∠ANM＝2∠Q，然后求解即可． 【解答】解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 P ，关于 DE 的对称点 Q ，连接 PQ 与 BC 相交于点 M，与 DE 相交于点 N， 则 AM＝PM，AN＝QN， 所以， ∠P = ∠PAM， ∠Q = ∠QAN， 所以， △AMN 周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ， 由轴对称确定最短路线，PQ 的长度即为△AMN的周长最小值， ∵ ∠BAE ＝136° , :∠P+∠Q ＝180° - 136° =44° , ∵ ∠AMN= ∠P+∠PAM＝2∠P ， ∠ANM= ∠Q+ ∠QAN＝2∠Q， : ∠AMN+∠ANM＝2 (∠P+∠Q）＝2×44° = 88° , 故选：B． 【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点 M、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 13 ．如图，已知∠AOB 的大小为α , P 是∠AOB 内部的一个定点，且 OP ＝6 ，点 E 、F 分别是 OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于 6 ，则α = ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A 【分析】要使△PEF 的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．设点P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D ，当点 E、F 在 CD 上时，△PEF 的周长为 PE+EF+FP = CD ，此时周长最小，根据 CD ＝6 可求出α 的度数． 【解答】解：如图，作点 P 关于 OA 的对称点 C，关于 OB 的对称点 D ，连接 CD ，交 OA 于 E ，OB 于F．此时， △PEF 的周长最小． 连接 PE ，OC，OD ，PF． ∵点 P 与点 C 关于 OA 对称， ∴OA 垂直平分 PC， ∴ ∠COA = ∠AOP ，OC ＝OP ，PE ＝CE， 同理，可得 PF＝DF， ∠DOB = ∠BOP ，OD ＝OP． ∴OC ＝OD ＝OP ＝6 ， ∠COA+∠DOB = ∠AOP+∠BOP = ∠AOB = α , ∴ ∠COD ＝2α . 又∵△PEF 的周长为：PE+EF+FP ＝CE+EF+FD ＝CD ＝6， ∴OC ＝OD ＝CD ＝6， ∴△COD 是等边三角形， ∴2α =60° , ∴α =30° . 故选：A． 【点评】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，本题找到点 E 和 F 的位置是解题的关键． 14 ．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6 ， ∠BAC ＝120° , 点 D ，点 P 分别在 AB ，BC 上运动，则线段 AP和线段 DP 之和的最小值是 3 3 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】作点 A 关于直线 BC 的对称点 E ，连接 AE 交 BC 于点 H，过 E 作 ED⊥AB 于 D 交 BC 于 P，则此时，线段 AP 和线段 DP 之和的值最小，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：作点 A 关于直线 BC 的对称点 E ，连接 AE 交 BC 于点 H，过 E 作 ED⊥AB 于 D 交 BC 于 P， 则此时，线段 AP 和线段 DP 之和的值最小， ∵AB ＝AC ＝6 ， ∠BAC ＝120° , AE丄BC， ∴ ∠B ＝30° , ∠BAE ＝60° , ∴AH= AB ＝3， ∴AE ＝2AH＝6， ∴线段 AP 和线段 DP 之和的最小值是 3 3，故答案为：3 3． 【点评】本题考查了轴对称 - 最短路线问题，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键． 15 ．如图， ∠MON＝30° , A 在 OM 上，OA ＝2 ，D 在 ON 上，OD ＝4 ，C 是 OM 上任意一点，B 是 ON 上任意一点，则折线 ABCD 的最短长度为 2 5 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据两点之间，线段最短确定 C，B 二点的位置，则折线ABCD 的最短长度转化为一条线段的长度．然后运用勾股定理求出其值． 【解答】解：作 D 关于 OM 的对称点 D ′ ，作 A 作关于 ON 的对称点 A′ ，连接 A′D′与 OM，ON 的交点就是 C，B 二点． 此时 AB+BC+CD ＝A ′B+BC+CD′ ＝A′D′为最短距离． 连接 DD′ ，AA′ ，OA′ ，OD′． ∵OA ＝OA′ ， ∠AOA ′ ＝60° , ∴ ∠OAA′ = ∠OA′A ＝60° , ∴△ODD′是等边三角形． 同理△OAA′也是等边三角形． ∴OD' ＝OD ＝4 ，OA′ ＝OA ＝2， ∠D′OA′ ＝90° . ∴A′D′ = 42 + 22 =2 5． 【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键．综合运用了等边三角形的知识． 16 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠A ＝90° , AB ＝12 ，AC ＝5 ，M、N、P 分别是边 AB 、AC、BC 上的动点，连接 PM、PN 和 MN，则 PM+PN+MN 的最小值是 ． 【答案】． 【分析】如图，作点 P 关于 AB ，AC 的对称点 E ，F，连接 PE ，PF，PA ，EM，FN，AE ，AF．首先证明 E ，A ，F 共线，则 PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出 EF 的值最小时，PM+MN+PN 的值最小，求出 PA 的最小值，可得结论． 【解答】解：如图，作点 P 关于 AB ，AC 的对称点 E ，F，连接 PE ，PF，PA ，EM，FN，AE ，AF． ∵ ∠BAC ＝90° , AB ＝12 ，AC ＝5， ∴BC= AB2 + AC2 = 13， 由对称的性质可知，AE ＝AP ＝AF， ∠BAP = ∠BAE ， ∠CAP = ∠CAF， ∵ ∠PAB+∠PAC = ∠BAC ＝90° , ∴ ∠EAF＝180° , ∴E ，A ，F 共线， ∵ME ＝MP ，NF＝NP， ∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF， ∵EM+MN+NF≥EF， ∴EF 的值最小时，PM+MN+PN 的值最小， ∵EF＝2PA， ∴当 PA⊥BC 时，PA 的值最小，此时 PA= = ， ∴PM+MN+PN 的最小值为 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短． 三．一定两动型（点线）（共 7 小题） 17 ．如图，在锐角△ABC 中，AC ＝10 ，S△ABC ＝25 ， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，点 M，N 分别是 AD和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据 AD 是∠BAC 的平分线确定出点 B 关于 AD 的对称点 B′在 AC 上，根据垂线段最短，过点B ′作 B′N⊥AB 于 N 交 AD 于 M，根据轴对称确定最短路线问题，点 M 即为使 BM+MN 最小的点，B ′N =BM+MN，过点 B 作 BE⊥AC 于 E，利用三角形的面积求出 BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得 B′N＝BE ，从而得解． 【解答】解：如图， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴点 B 关于 AD 的对称点 B′在 AC 上， 过点 B′作 B′N⊥AB 于 N 交 AD 于 M， 由轴对称确定最短路线问题，点 M 即为使 BM+MN 最小的点，B ′N＝BM+MN，过点 B 作 BE⊥AC 于 E， ∵AC ＝10 ，S△ABC ＝25， 解得 BE ＝5， ∵AD 是∠BAC 的平分线，B′与 B 关于 AD 对称， ∴AB ＝AB′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴B′N＝BE ＝5， 即 BM+MN 的最小值是 5．故答案为：5． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点 M 的位置是解题的关键． 18 ．如图，在△ABC 中，BA ＝BC，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D ，点 M、N 分别为 BD 、BC 上的动点，若 BC ＝4 ， △ABC 的面积为 6 ，则 CM+MN 的最小值为 3 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先连接 AM，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D ，再根据等腰三角形的性质得 BD 是线段 AC 的垂直 平分线，从而得 CM＝AM，则 CM+MN＝AM+MN，然后根据“垂线段最短”得 AM+M≥AD ，据此可得出当点 M 在线段 AD 上时，AM+M 为最小，最小值为线段 AD 的长，最后根据三角形的面积求出 AD 即可． 【解答】解：连接 AM，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，如图： ∵BA ＝BC，BD 平分∠ABC， ∴BD⊥AC 且平分 AC， ∴BD 是线段 AC 的垂直平分线， ∴CM＝AM， ∴CM+MN＝AM+MN， 根据“垂线段最短”得：AM+MN≥AH， 即当点 M 在线段 AH 上时，AM+MN 为最小，最小值为线段 AH的长， ∵△ABC 的面积为 6 ，BC ＝4， ∴S△ABC= BC•AH＝6， ∴AH= = =3， ∴CM+MN的最小值为 3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键． 19 ．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠BAC ＝120° , S△ABC ＝8 3 ，点 M，P ，N 分别是边 AB ，BC，AC 上任意一点，则 （1）AB 的长为 4 2 ． （2）PM+PN 的最小值为 2 6 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点 A 作 AG⊥BC，垂足为 G ，依据等腰三角形的性质可得到∠BAC ＝30° , 设 AB ＝x，则 AG= x ，BC= 3x ，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可； （2）作点 A 关于 BC 的对称点 A′ ，取 CN＝CN′ ，则 PN＝PN′ ，过点 A′作 A′D⊥AB ，垂足为 D ，当 N′、 P 、M 在一条直线上且 MN′⊥AB 时，PN+PM 有最小值，其最小值＝MN′ ＝DA′． 【解答】解：（1）如图所示：过点A 作 AG⊥BC，垂足为 G． ∵AB ＝AC， ∠BAC ＝120° , ∴ ∠ABC ＝30° . 设 AB ＝x ，则 AG= x ，BG= x ，则 BC= 3x． ∴BC•AG= •x• 3x ＝8 3 ，解得：x ＝4 2． ∴AB 的长为 4 2． 故答案为：4 2． （2）如图所示：作点 A 关于 BC 的对称点 A′ ，取 CN＝CN′ ，则 PN＝PN′ ，过点 A′作 A′D⊥AB ，垂足为 D． 当 N′ 、P 、M 在一条直线上且 MN′⊥AB 时，PN+PM 有最小值．最小值＝MN′ ＝DA′ = AB ＝2 6． 故答案为：2 6． 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、轴对称 - 最短路径、垂线段的性质，将 PM+PN 的长度转化为A ′D 的长度是解题的关键． 20 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° , AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，P 、Q 分别是 AD、AC 上的动点，则 PQ+PC 的最小值是 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】作点 Q 关于 AD 的对称点 Q′ ，连接 PQ′ ，则 PQ ＝PQ′ ，利用点到直线垂直线段最短可得出当CQ′⊥AB ，点 P 为 CQ′与 AD 的交点时，PC+PQ′取得最小值，最小值为 CQ′ ，再利用面积法可求出 CQ′的值，进而可得出PC+PQ 的最小值． 【解答】解：作点 Q 关于 AD 的对称点 Q′ ，连接 PQ′ ，如图所示. ∵AD 平分∠BAC， ∴点 Q′在直线 AB 上，PQ ＝PQ′， ∴PC+PQ ＝PC+PQ′， ∴当 CQ′⊥AB ，点 P 为 CQ′与 AD 的交点时，PC+PQ′取得最小值，最小值为 CQ′． 在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° , AC ＝6 ，BC ＝8， ∴AB= AC2 + BC2 = 10， ∴AC•BC= AB•CQ′ ，即 ×6×8= ×10•CQ′， ∴PC+PQ 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短，找出当 PC+PQ 取得最小值时点 P ，Q 的位置是解题的关键． 21 ．如图，在△ABC 中， ∠C ＝90° , ∠A ＝30° , AB ＝9 ，BD 是△ABC 的角平分线，点 P 、点 N 分别是线 段 BD 和边 AC 上的动点，点 M 在边 BC 上，且 BM＝2 ，则 PM+PN 的最小值是 3.5 ． 【答案】3.5． 【分析】作点 M 关于 BD 的对称点 M' ，连接 PM' ，则 PM' ＝PM，BM＝BM' ＝1 ，当 N，P ，M'在同一直线上，且 M'N丄AC 时，PN+PM'的最小值等于垂线段 M'N 的长，利用含 30°角的直角三角形的性质，即可得到 PM+PN 的最小值． 【解答】解：如图所示，作点 M 关于 BD 的对称点 M' ，连接 PM' ，则 PM' ＝PM，BM＝BM' ＝1， :PN+PM＝PN+PM'， 当 N，P ，M'在同一直线上，且 M'N丄AC 时，PN+PM'的最小值等于垂线段 M'N 的长， 在 Rt△AM'N 中， ∠A ＝30° , :M'N＝AM' = ×（9 - 2）＝3.5， :PM+PN 的最小值为 3.5， 故答案为：3.5． 【点评】本题主要考查了轴对称 - 最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 22．在锐角△ABC 中，∠ABC ＝45° , CD丄AB，D 是垂足，BD ＝4，M、N 分别是 BD、BC 上动点，则 CM+MN的最小值是 4 2 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】作△ABC 关于直线 AB 的对称△ABC′ ，C′是 C 的对称点，连接 C′N 交 AB 于 M′ ， 由于∠ABC =45° , 所以∠CBC′ ＝90° , 所以点 N 在点 B 时，CM+MN 有最小值， 再根据 BC ＝4 2 ，即可求出 BC′的长． 【解答】解：作△ABC 关于直线 AB 的对称△ABC′ ，C′是 C 的对称点，连接 C′N 交 AB 于 M′， ∵ ∠ABC ＝45° , ∴ ∠ABC′ ＝45° , ∴ ∠CBC′ ＝90° , ∴点 N 在点 B 时，CM+MN 有最小值，则 BC′即为 CM+MN 的最小值， ∵C′是 C 的对称点，CD⊥AB， ∴C、D 、C′三点共线， ∴△CBC′是等腰直角三角形， ∴BC′ ＝BC， ∵ ∠ABC ＝45° , CD⊥AB ，BD ＝4， ∴△BDC 是等腰直角三角形， ∴BC= 2BD ＝4 2， ∴BC′ ＝4 2， 故答案为 4 2． 【点评】本题考查的是轴对称 - 最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形求解是解答此题的关键． 23 ．如图，在△ABC 中，AB⊥EC 于点 E ， ∠ABC ＝45° , BD 平分∠ABC 且与 CE 交于点 F，BE ＝a ，FE =b ，点 M，N 分别是 BD ，BC 上的动点，当 MN+MC 最小时，此时动点 N 与点 C 的距离为 b ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据两点之间线段最短可知：当 M 与 F 重合，N 点是 E 点关于 BD 的对称点时，MN+MC 值最小，此时 MN+MC ＝CE ，作 FN′⊥BC 于 N′ ，证得 CN′ ＝FN′ ，然后根据角平分线的性质求得 EF＝FN′ =b ，即可求得当 MN+MC 最小时动点 N 与点 C 的距离为b． 【解答】解：根据两点之间线段最短可知：当 M 与 F 重合，N 点是 E 点关于 BD 的对称点时，MN+MC值最小，此时 MN+MC ＝CE， 作 FN′⊥BC 于 N′， ∵AB⊥EC 于点 E ， ∠ABC ＝45° , ∴ ∠BCE ＝45° , ∴△FN′C 是等腰直角三角形， ∴CN′ ＝FN′， ∵BD 平分∠ABC，FE⊥AB ，FN′⊥BC， ∴EF＝FN′ ＝b， ∴CN′ ＝b， ∴当 MN+MC 最小时动点 N 与点 C 的距离为b． 故答案为b． 【点评】此题主要考查轴对称 - - 最短路线问题，等腰直角三角形的判断判定和性质，角平分线的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． $