专题5.4 函数的奇偶性（七大题型精练）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题5.4 函数的奇偶性 题型1 奇偶性的判断与证明 1．（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增． 5．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 题型2 由奇偶性求函数解析式 1．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 2．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 5．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 6．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 7．（25-26高一上·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式及零点个数； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 8．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 题型3 由奇偶性求参数的值 1．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 题型4 根据函数的单调性与奇偶性解不等式 1．（2025高一·全国·专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林·期末）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 题型5 抽象函数的奇偶性 1．（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 3．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 4．已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证： (1)是偶函数； (2)是的周期； (3)当在上是减函数时，的最小正周期是． 5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 题型6 函数的对称性的应用（周期） 1．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 3．研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 题型7 综合应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 3．设，已知，． （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围． 4．已知函数是定义域为上的奇函数，且. （1）求，的值，判断函数的单调性并证明； （2）解不等式. 5．已知函数 （1）若函数在区间上的最小值为，求的表达式； （2）已知为奇函数，当时，，若对恒成立，求实数的取值范围. 6．设函数的定义域为R，对任意有，且当时有．对任意的实数，都有． （1）求的值； （2）证明在R上单调递减； （3）若，，求k的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 6．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 二、多选题 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 10．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）若函数是奇函数，则实数 . 四、解答题 11．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 12．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 14．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 函数的奇偶性 题型1 奇偶性的判断与证明 1．（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可. 【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A， 因为，定义域为 所以， 故为偶函数，排除C， 时，，排除D． 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【详解】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 4．（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由函数奇偶性的定义判断并证明； （2）利用函数单调性的定义证明． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ∵， ∴是奇函数. （2）设且， ， ∵且，∴， 则，即， 所以函数在区间上单调递增. 5．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3) 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可； （3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 或， 因此原不等式的解集为. 题型2 由奇偶性求函数解析式 1．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 4．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 5．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 6．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 7．（25-26高一上·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式及零点个数； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1)，3 (2)最小值为，最大值为 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）当时，，时，利用即可求解，令,解方程即可求出零点. （2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可. 【详解】（1）依题意，函数是定义在上的奇函数， 当时，，当时，，则， 又是奇函数，， 的解析式为 解法1：已知0是的一个零点，当时，令，得，当时，令，得， 故函数的零点个数为3. 解法2：函数的零点个数可以利用图象求解.作出函数的图象（如图），由图象知函数有3个零点.    （2）依题意可知当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，， 所以在区间上的最小值和最大值分别为和. 8．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）利用偶函数的性质可求出当时，，从而可求解； （2）利用函数单调性证明的定义法可得，从而可求解证明. 【详解】（1）当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． （2）证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增． 题型3 由奇偶性求参数的值 1．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 2．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据函数特征和分子为偶函数，得到分母也为偶函数，时满足要求，结合，求出答案. 【详解】因为为偶函数，且为偶函数， 所以为偶函数，若，则满足要求， 若，则，此时不是偶函数，不合要求， 所以.所以，又，所以. 故选：A. 3．（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数、由奇偶性求参数 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得. 【详解】由题设，可得，即函数定义域为， 由函数为奇函数，则，故， 所以，满足题设. 所以. 故答案为：2 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 题型4 根据函数的单调性与奇偶性解不等式 1．（2025高一·全国·专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数解析式，发现为偶函数，且在上为单调递增函数，将所求不等式变形为，然后利用函数性质拿掉“”，求解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高二下·吉林·期末）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 4．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题可得，在上单调递增，然后由 或，可得答案. 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 题型5 抽象函数的奇偶性 1．（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性 【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数的周期性的定义与求解、由抽象函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 4．已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证： (1)是偶函数； (2)是的周期； (3)当在上是减函数时，的最小正周期是． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、判断证明抽象函数的周期性 【分析】（1）由赋值法及偶函数的定义求解； （2）通过赋值，得到，即可判断； （3）设是的最小正周期，若，则，又在上单调递减，得，而得，则，又，则．但，矛盾，即可证明. 【详解】（1）令得， 由得，又， 得，所以是偶函数． （2）由，得，即， 故，， 所以是的周期． （3）设是的最小正周期，若，则， 又在上单调递减，，故． 在中取，得， 则，又，则． 但，矛盾，所以的最小正周期不小于， 又是的正周期，故是的最小正周期． 5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、函数新定义 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 题型6 函数的对称性的应用（周期） 1．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 2．（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且， 所以，即， 又因为，可得， 即，则，所以， 所以函数是周期为的周期函数， 因为，，可得，， 所以. 故选：C. 3．研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、奇偶函数对称性的应用 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是奇函数，则，令，则，所以，则图象的对称中心为； （4）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （5）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （6）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （7）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （8）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （9）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （10）若是偶函数，则，令，则，则，则图象的对称轴是； （11）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （12）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； 破招方法2：用严格推理的方法， （13）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （14）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； （15），则，则，则的图象关于直线对称； （16），则，则，则的图象关于点对称 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，. 题型7 综合应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数图像的识别、基本不等式求积的最大值、奇偶函数对称性的应用 【分析】利用函数图象的对称性排除B，D两项；根据A，C项中函数的结构，利用基本不等式和二次函数的性质判断其最值情况结合图象即可判断. 【详解】由图可知，“心形”图形关于轴对称，则“心形”在轴上方部分对应的函数为偶函数， 则函数为奇函数，故B不正确； 函数的定义域为，关于原点不对称，故D不正确； 的图象过点， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为2，又“心形”在轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确； 由的图象过点， 且时，，当时，等号成立， 即函数的最大值为1，满足题意，故C正确． 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】由题可得的图象关于点成中心对称，得到即可求解. 【详解】若为奇函数， 则， 所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 则， 即，且， 所以 . 故选：C. 3．设，已知，． （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数与方程的综合应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据，即可求得的值； （2）当时，令，利用放缩法求得函数，即可证得； （3）先求的值域，得到，再根据，当时，求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数时奇函数，可得，可得， 当时，函数，可得, 所以为奇函数，满足题意，所以． （2）当时，令， 则 ， 所以． （3）先求的值域， 由，可得，得到， 即，解得． 所以． 又由任意的，当时，可得， 所以，所以， 即． 4．已知函数是定义域为上的奇函数，且. （1）求，的值，判断函数的单调性并证明； （2）解不等式. 【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，得到函数，利用函数单调性的定义，即可得出函数的单调性； （2）把转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）根据题意，函数是定义域为上的奇函数，且 可得，解得，，所以函数， 判断：函数在区间上为增函数， 证明：设且， 则， 又由，则，，则有， 所以函数在区间上为增函数. （2）由为上的增函数且是奇函数， 则等价于，即， 则，解得，故不等式的解集为. 5．已知函数 （1）若函数在区间上的最小值为，求的表达式； （2）已知为奇函数，当时，，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）讨论、、，根据的区间单调性求最小值的表达式； （2）由题设及的奇偶性求的解析式，再依据的单调性及不等式恒成立求的取值范围. 【详解】（1）①若，即时，在上是增函数，则. ②若，即时，在上是减函数，则 ③若，即时，在上先减后增，则. 综上， （2）当时，，设，则， ，又为奇函数， ， . 在上是增函数，且对恒成立， 对恒成立. 实数的取值范围是. 6．设函数的定义域为R，对任意有，且当时有．对任意的实数，都有． （1）求的值； （2）证明在R上单调递减； （3）若，，求k的取值范围． 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）； 【难度】0.65 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】（1）根据已知，有即可求；（2）根据单调性的定义证明在R上单调性即可；（3）由（2）有，根据已知条件结合基本不等式求k的范围. 【详解】（1）令，则：，又对任意有， ∴； （2）令，有：，， ∴由时有，知：，即在R上单调递减； （3），结合（2）有：， ∴，又，即，当且仅当时等号成立， 综上，有：. 【点睛】本题考查了函数，根据抽象函数的性质求函数值，利用单调性定义证明抽象函数的单调性，由单调性列方程并结合基本不等式求参数范围. 一、单选题 1．（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 2．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】先由偶函数性质求，再求. 【详解】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 4．若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题意作出函数的图像的示意图，不等式等价于或，结合图像求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图像的示意图如图所示，    由图像知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、抽象函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上为单调递减函数， 当在定义域内不是单调递减函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又由函数在定义域上为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，其图象如图所示， 函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，所以D符合题意. 故选：CD.    8．（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】A选项，得到，A错误；BC选项，定义域关于原点对称，且满足；D选项，定义域不关于原点对称，D错误. 【详解】A选项，的定义域为R，且， 所以为偶函数，A错误； B选项，的定义域为， ， 所以是奇函数，B正确； C选项，是定义在R上的分段函数， 当时，，； 当时，，， 且x＝0时，，所以是奇函数，C正确； D选项，的定义域为且，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 10．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为，且为奇函数， 则，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求解析式中的参数值 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 12．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. （2）有分段函数解析式，画出函数图像，根据函数图形的单调区间，列出参数的不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是 13．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 14．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $