专题5.3 函数的单调性（八大题型精练）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题5.3 函数的单调性 重难点题型1 定义法证明或判断函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）求证：函数在上是减函数. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， 有， ， ，，， ，即. 函数在上是减函数. 2．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 4．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 重难点题型2 求函数的单调区间 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 2．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 3．（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、分段函数的单调性 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段练习）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．    【答案】 和 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、根据图像判断函数单调性 【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可. 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， 5．（2025高一·全国·专题练习）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）先求出函数的定义域，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，则， 即，解得， 所以函数的定义域是． （2）由，则 解得或， 所以的定义域为， 而二次函数开口向上，对称轴为， 从而函数的单调递增区间为． 故答案为：；. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性. 【详解】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 重难点题型3 根据函数的单调性求参数的值或取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据函数的单调性求参数值、一次函数的图像和性质 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的单调性，结合函数定义域，列出不等关系，即可求得的范围. 【详解】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】求出函数的定义域，根据为定义域的子集列不等式求得，再分离常数可知在区间上为增函数，利用反比例函数的单调性可得，即可得解. 【详解】，定义域为， 故，所以，所以， 又函数在区间上为增函数， 所以在区间上为增函数， 而函数的图象是由的图象平移得到的， 故函数在区间上为增函数， 由反比例函数性质可知，所以， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将函数化成，根据反比例函数的单调性列出不等式组求解即得. 【详解】由可知当时，均不符合题意， 当时，函数的单调递增区间为和， 依题意，需使，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 重难点题型4 根据函数的单调性求最值或值域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 3．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，，则的最值为（    ） A．13， B．13，1 C．13， D．1， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】将二次函数解析式平方，可得抛物线对称轴方程，结合即可得答案. 【详解】由， 其图象为开口向上且对称轴为的抛物线， 又，所以函数在上递减，在上递增， 所以当时有最大值为13， 当时有最小值为． 故选：A． 4．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 5．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】先确定定义域，再分别分析定义域内不同区间函数的单调性，进而求出最小值． 【详解】函数的定义域为． ①当时，因为与在上均是增函数， 所以在上是增函数，故； ②当时，， 因为与在上均是增函数， 所以在上是增函数，且最大值为， 故在上是减函数， 所以在上是减函数， 故． 综上，函数的最小值为． 故答案为：． 6．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】首先得，分和两种情况讨论，在时，可对进一步分类讨论得函数单调性、值域情况，从而可列方程组求解，同理可得时的情况. 【详解】的对称轴为，开口向下， 在上单调递增，在上单调递减， 由题意，所以， 情形一：若， （i）当，可得值域为， 所以，可得,不合题意； 若，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，时，可得在处取得最大值， 最小值在或处取得， 所以，解得， 若，可得（舍去，因为与矛盾）， 若，即，解得，（舍去，因为与矛盾）， 所以， 情形二：若，则，可得,不合题意； 故答案为：. 7．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值 【分析】令，化简得，令，，利用对勾函数的性质求解最值即可． 【详解】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 重难点题型5 根据函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】由解得． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 5．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的定义域及函数的单调性化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在单调递增，， 所以，解得， 所以使得不等式成立的的取值集合为, 故答案为：. 6．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递增， ，所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 重难点题型6 函数不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和两种情况，参变分离，得到. 【详解】由，求出， 在上恒成立， ， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性，求出最小值即可得答案. 【详解】解：因为对于一切恒成立， 则在上恒成立， 又因为和在上单调递减， 故在上单调递减， . 即. 故选：D. 3．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果. 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 4．（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】令，根据x的范围，可得y的范围，由题意即可，代入计算，即可得答案. 【详解】令， 因为，所以，则， 由恒成立，得的最小值， 又， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】二次函数的图象分析与判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】考虑，和三种情况，得到前两种不合要求，分析出为方程的正实根，故，求出. 【详解】①，要想，即， 故，解得，不满足，舍去； ②，，，要想， 需满足在恒成立， 但的图象为抛物线，它的开口向上，故矛盾，舍去； ③，当时，，； 当时，，， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解，， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故，故， 故答案为：． 6．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】分离参数得，再利用对勾函数性质得到其最值即可. 【详解】对任意恒成立，即当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以． 故答案为：. 7．（25-26高三上·吉林长春·开学考试）已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】令，代入，可得，进而验证可以取到即可. 【详解】令，，则不等式为对于任意恒成立， 取，则，即，解得， 当时，则，即， 由于的最小值为， 当时，则满足恒成立，此时符合题意， 故可以取到， 故答案为： 重难点题型7 函数不等式能成立（有解）问题 1．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、对勾函数求最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求. 【详解】，， 即，， ∴，其中在上单调递减， 在上单调递增， 其中时，，当时，， 故，即， 由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”， 其他选项均不合要求. 故选：A 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】因为存在，有成立， 所以在上有解，所以， 记，，令，则，， 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且, 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由题意确定为真命题，则只需，设，根据二次函数的性质求得在上的最大值，即可求得答案. 【详解】若是假命题，则为真命题，故， 只需， 设，则在上单调递减， 在上单调递增，其中， 故，所以,即实数的取值范围是, 故答案为: 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由参变量分离法可知，在有解，则，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】原不等式等价于在有解，则， 又因为函数在上单调递增，则，所以． 故答案为：. 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 6．（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用基本不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解， （2）将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解. 【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立. 方法一  分离参数得在时恒成立， 故�� 需小于等于函数在区间上的下确界. ，故当时，， 所以. 方法二  在时恒成立（*）. 令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. （2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得. 故答案为：； 重难点题型8 综合问题 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性直接可得. 【详解】因为对定义域内任意实数，都有成立，所以在定义域上单调递增. 当时，，所以的图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 函数要在上单调递增，得. 当时，，函数要在上单调递增，得. 根据分段函数的单调性可得，，解得. 故选：A. 2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】求出命题“，”为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，恒成立. 令， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在当时，取得最大值6，可得， 所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件， 即是“，”为真命题的一个充分不必要条件. 故选:D. 3．（2025高三·全国·专题练习）记函数的定义域为R，I为定义域内的某个区间，若存在，使得，则称为I上的“局部奇函数”．若函数为R上的“局部奇函数”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数新定义 【分析】根据“局部奇函数”的定义可知，有实数解；通过换元法可求的取值范围. 【详解】由“局部奇函数”的定义得，使得方程成立， 即有实数解； 方程变形为， 令，则， 故方程在区间上有解， 令， 则或 ； 解得或． 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是． 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课后作业）事实上，函数在区间内是减函数，在区间上是增函数． (1)若函数在区间内是减函数，在区间上是增函数，求； (2)当时，求在区间内的单调区间． 【答案】(1) (2)在区间内单调递减，在内单调递增 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）整理可得，换元令，结合题意即可得单调性. 【详解】（1）因为函数在区间内是减函数，在区间上是增函数， 由题意可得，解得． （2）当时，， 令，，则，此时若设，则. 据已知条件，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增. 从而在区间内单调递减，在内单调递增． 6．设函数，为常数 (1)对任意，当时，有，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求在区间上的最小值，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】（1）根据单调性的定义，结合分段函数的单调性，列不等式即可求解， （2）根据二次函数的性质，结合分类讨论可得，进而根据的单调性求解. 【详解】（1）由可得函数在定义域上单调递增，则， 所以； （2），对称轴为， 由（1）得， 当，即时，在单调递减，此时， 当，即时，在单调递减，在单调递增， 此时， 故， 当时，单调递减，故， 当时，单调递减，故， 综上可得 7．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数a的值； (3)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】求函数值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由解析式可得答案； （2）考虑与大小关系，可得相应情况下实数a的值； （3）令，可将转化为， 恒成立， 然后由单调性可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，； （2）因为是开口向上的抛物线，对称轴为， 则自变量离对称轴越远，函数值越大. 因，则区间中点对应数字为. ①当，即时， ，解得：，满足要求： ②当，即时， ，解得：，满足要求； 综上：或． （3） ，令，当且仅当时取等号. 题意即为，恒成立， 又在上单调递减，所以当时，， 所以，即． 8．已知是二次函数，且满足 (1)求函数的解析式，并证明在上单调递增; (2)设函数，求函数的最小值. 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式 【分析】（1）利用待定系数法即可求得，再由单调性定义即可证明； （2）令，则可得，，再利用二次函数性质分类讨论即可得出结论. 【详解】（1）设，由可得； 再由可得， 即，解得； 所以, 又可得， 即函数的解析式为； 取，且， 可得， 因为，则， 所以，即， 可得在上单调递增; （2）令，则由（1）可知， 可得。 记，， 当时，； 当时，； 当时，，‘ 因此可得. 一、单选题 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 4．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 5．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性及定义域得到不等式组，解得即可. 【详解】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，对任意，，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】根据二次函数在给定区间上恒成立，可求参数的取值范围，再进行判断. 【详解】由得： . 设，则在上恒成立， 则. 所以. 故的最小值为：. 故选：C 7．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】分离参数，把不等式恒成立转化为函数求最值，根据函数单调性求出最值即可 【详解】因为不等式恒成立， 所以恒成立， 又，且函数在上单调递减， 所以当时， 所以， 故选：C 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据给定条件，分离参数构造函数并求出最小值，再利用有解的条件求出范围. 【详解】不等式，当时，， 则，依题意，， 所以实数的取值范围是. 故选：B 9．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由，将问题转化为存在，使得，求出的最值得解. 【详解】由，得， 又， 故存在，使得， 令，，则， ， . 故选：B. 10．（2025高三·全国·专题练习）函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数不等式恒成立问题 【分析】对分三种情况讨论：时，时，时，分别求出对应的取值范围，最后综合到一起即可得最终结果. 【详解】由题得：， 取特值代入上面的不等式得，∴， (1)当时，， 恒有成立，记， ∴，，， ∴，∴； (2)当时，， 恒有， ∴在上恒成立， 又在时，根据二次函数的特征可知的最小值为5， ∴； (3)当时，， 恒有， ∴， ∴； 综上，， 故选D． 二、填空题 11．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 12．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 13．已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 14．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 15．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】由定义代入，可求出的值，代入可求出对应的的值，根据题意对不等式变形可得，根据单调性可列出关于的不等关系，结合定义域可求出结果. 【详解】解：令，则有，所以， 因为，所以，所以， 不等式等价于， 函数是定义在上的严格减函数，则， 即，又，且，所以. 故答案为： 17．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在上的函数 满足 ，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，将转化为，则在上单调递减，将所求不等式转化为，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】设，由， 得，又， 所以，即， 设，则，所以在上单调递减. 由，得， 由，得，即， 即，得，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是将转化为，判断的单调性，结合单调性解不等式即可. 18．（24-25高一上·上海·期中）若对于任意的实数，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】将不等式在区间上有解问题转化为函数最值问题，将任意的实数a不等式总有解问题转化为恒成立问题求解可得. 【详解】设，. 则关于x的不等式在区间上有解. 由函数图象可知，                ，即. 设， 由题意，对于任意的实数a，关于x的不等式在区间上总有解， 则恒成立，故. 作出函数的图象，则，所以.    故实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：借助函数图象确定函数在上的最大值时解题的关键. 三、解答题 19．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 20．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 21．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 22．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是定义在上的增函数. (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得到结果. （2）由第一问的结果增函数即可求解不等式的解集. （3）首先将函数恒成立问题转化成立，就是关于t的不等式求解，再构造函数进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以， 设则由得到， 即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数. （2）由（1）知函数是定义在上的增函数，且； 则有,解得，所以不等式的解集为 （3）因为，所以，若对所有， 恒成立，则成立，且， 所以对恒成立，即，恒成立， 令，则,即,解得，故实数的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 函数的单调性 重难点题型1 定义法证明或判断函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）求证：函数在上是减函数. 2．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 4．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 重难点题型2 求函数的单调区间 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段练习）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．    5．（2025高一·全国·专题练习）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的单调递增区间为 ． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 重难点题型3 根据函数的单调性求参数的值或取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 8．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 重难点题型4 根据函数的单调性求最值或值域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 3．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，，则的最值为（    ） A．13， B．13，1 C．13， D．1， 4．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 6．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 7．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 重难点题型5 根据函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 6．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 重难点题型6 函数不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为 ． 6．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ． 7．（25-26高三上·吉林长春·开学考试）已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 重难点题型7 函数不等式能成立（有解）问题 1．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 6．（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 重难点题型8 综合问题 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）记函数的定义域为R，I为定义域内的某个区间，若存在，使得，则称为I上的“局部奇函数”．若函数为R上的“局部奇函数”，则a的取值范围是 ． 4．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）事实上，函数在区间内是减函数，在区间上是增函数． (1)若函数在区间内是减函数，在区间上是增函数，求； (2)当时，求在区间内的单调区间． 6．设函数，为常数 (1)对任意，当时，有，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求在区间上的最小值，并求的最小值． 7．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数a的值； (3)若，恒成立，求实数a的取值范围． 8．已知是二次函数，且满足 (1)求函数的解析式，并证明在上单调递增; (2)设函数，求函数的最小值. 一、单选题 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 4．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，对任意，，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 12．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 13．已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 15．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ． 17．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在上的函数 满足 ，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为 . 18．（24-25高一上·上海·期中）若对于任意的实数，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的取值范围是 . 三、解答题 19．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 20．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 21．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 22．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $