专题5.1 函数的概念和图像讲义（八大题型）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题5.1 函数的概念与图像 题型1 函数关系的判断 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）（多选题）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）（多选题）以下判断正确的是（   ） A．与是同一函数 B．函数的图象与轴的交点最多有个 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 题型2 求具体函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； 1．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京丰台·阶段练习）函数的定义域是 . 5．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）函数的定义域是 . 6．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域是 题型3 求抽象函数的定义域 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 7．（21-22高一上·广东广州·期中）函数的值域是 . 8．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 题型4 求常见函数（一次函数、二次函数及反比例函数等）的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． 1．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若求 ． 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 题型5 求复杂函数（根式型、分式型）的值域 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 1．函数的值域（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 5．函数的值域为 ． 6．（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 7．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 根据函数的值域求参数的值或范围 1．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 5．（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 题型7 抽象函数与复合函数的值域 1．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 题型8 综合问题 1．（24-25高一上·上海杨浦·期末）如果函数满足对任意实数x都有成立，则称为定义在上的“Y函数”，若存在整数，使得为整数，则称为的“Y点”，则对于所有的“Y函数”，它们不同的“Y点”个数之和为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．至少3个 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 . 4．（23-24高一上·江西赣州·开学考试）规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（为整数），例如：，则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·阶段练习）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 7．（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）设正数满足，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 12．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）求函数的定义域为 . 13．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 14．（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的值域为 ． 15．函数的最大值为 . 16．函数的值域为 . 17．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若对一切实数都有意义，则实数的取值范围为 . 18．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 19．（25-26高一上·全国·课前预习）设函数的定义域为，若，则 ． 四、解答题 20．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 函数的概念与图像 题型1 函数关系的判断 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义一一判定选项即可. 【详解】集合到集合的函数即集合中的任意元素，在对应关系作用下，集合中都有唯一元素与之对应， 对于A，由图象可知符合函数的定义，即A正确； 对于B，显然定义域没有取尽集合中的元素，不符合函数定义，即B错误； 对于C，显然对于中的元素，中与之对应的元素并不唯一， 如时，对应值有2个，即C错误； 对于D，由图象，显然时，或，也不符函数定义，即D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】A中中的x没有对应的象，不符合； B符合函数定义， C也符合函数定义， D中对于的x有两个象与之对应，不符合． 所以有2个满足． 故选：B 3．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念进行判断即可. 【详解】对A：因为，，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：同理，集合中存在元素，按对应法则：，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以B不合题意； 对C：对，且唯一存在，故对应关系：能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 故选：C 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）（多选题）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）（多选题）以下判断正确的是（   ） A．与是同一函数 B．函数的图象与轴的交点最多有个 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等 【分析】利用函数相等的概念可判断AC选项；利用函数的概念可判断B选项；根据函数的定义域可得出满足的的不等式，可解出函数的定义域，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 且两个函数的对应关系相同，这两个函数是同一函数，A对； 对于B选项，若函数在处有定义， 此时，函数的图象与轴的交点有个， 若函数在处没有定义，此时，函数的图象与轴无交点， 因此，函数的图象与轴的交点最多有个，B对； 对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一函数，C错； 对于D选项，因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，D对. 故选：ABD. 题型2 求具体函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； 1．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得或， 所以所求定义域为. 故选：B 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】利用二次根式的性质建立不等式，进而求解定义域即可. 【详解】因为函数有意义，所以， 解得，故C正确. 故选：C 3．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】依据根号下的数非负以及分母不为零即可求出. 【详解】由题意得，则，故的定义域为， 故选：C． 4．（25-26高三上·北京丰台·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根式和分式的意义列式求解. 【详解】根据题意，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域是 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可 【详解】由， 得，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 题型3 求抽象函数的定义域 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由的定义域得到，即可求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 即，解得， 即的定义域是. 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】利用抽象函数定义域可得的定义域，结合分母不为零可得答案. 【详解】因为的定义域为 ，所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C 5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 6．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】已知函数的定义域为，则要使得函数有意义， 则当且仅当，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7．（21-22高一上·广东广州·期中）函数的值域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 8．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 题型4 求常见函数（一次函数、二次函数及反比例函数等）的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． 1．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 3．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若求 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据一元二次不等式的解法求集合，再根据二次函数的性质求集合. 【详解】由，得，解得， 所以 二次函数的对称轴为， 因为 所以当时，，当时，， 所以 所以 故答案为： 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解. 【详解】因为， 则又 故函数的值域为 故答案为： 题型5 求复杂函数（根式型、分式型）的值域 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 1．函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 4．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法设，可得，结合二次函数性质可得值域. 【详解】设，，则， 所以， 所以当时，取最大值为， 即函数的值域为. 故选：D. 5．函数的值域为 ． 【答案】且. 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由题意得，其中且，由此即可得解. 【详解】，其中且， 所以， 所以且， 所以函数的值域为且. 故答案为：且.. 6．（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 7．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 题型6 根据函数的值域求参数的值或范围 1．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、根据值域求参数的值或者范围 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 2．（22-23高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】讨论，，三种情况，列式求的取值范围. 【详解】当时，，函数的值域是，满足条件， 当时，，解得：， 当，不满足条件， 综上可知，. 故选：A 3．若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果. 【详解】当时，，即值域为，满足题意； 若，设，则需的值域包含， ，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【难度】0.85 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   5．（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、已知函数的定义域求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立. 【详解】由,得, 由，得若，则, 即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得. 当时,也符合题意, ∴. 故答案为：5；5. 题型7 抽象函数与复合函数的值域 1．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域、抽象函数的定义域 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 2．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复合函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用换元法得到对勾函数，再根据单调性求最值，得值域即可. 【详解】令，则， 所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 得当时取得最小值2，当或4时取得最大值，故值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数的值域求法，考查了换元法，属于中档题. 3．若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复合函数的值域、抽象函数的值域 【解析】根据函数与函数的关系，即可求得值域． 【详解】因为的值域是［1，2］， 而与函数定义不同，值域相同， 所以的值域是［1，2］， 所以的值域为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题． 4．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域、抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 题型8 综合问题 1．（24-25高一上·上海杨浦·期末）如果函数满足对任意实数x都有成立，则称为定义在上的“Y函数”，若存在整数，使得为整数，则称为的“Y点”，则对于所有的“Y函数”，它们不同的“Y点”个数之和为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．至少3个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数新定义 【分析】求出存在“Y点”则会有无数个，结合题目中可知只能不存在“Y点”，即可求得结果. 【详解】假设存在“Y点”即，其中k为整数，又任意的实数x，都有成立，则， 又因为，，所以， 得若是“Y点”，则，也是“Y点”， 所以所有的“Y点”构成以公差为1 的等差数列，故若存在一个“Y点”，就会有无数个“Y点”， 若不存在“Y点”，自然“Y点”个数为0. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数值 【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得. 【详解】，， 令，得，又，， ， 再令，，， . 故选：B 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 . 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】函数新定义、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意直接代入运算即可得；整理可得，分和两种情况，结合的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知，； 因为， 当时，则， 可得，则或2； 当时，则， 可得，则. 综上所述：，即集合A中元素的个数是2. 故答案为：；2. 4．（23-24高一上·江西赣州·开学考试）规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（为整数），例如：，则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； 【答案】②③ 【难度】0.65 【知识点】函数新定义 【分析】由规定逐个判断即可. 【详解】解：①当时，，故①错误； ②当时，，故②正确； ③当， 同时当或时，方程不成立，故③正确； 故答案为：②③. 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·阶段练习）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数概念一个只能对应一个，逐项判断即可. 【详解】由图象可知C符合，ABD都出现一个对应多个的情况， 所以C对，ABD错误. 故选：C 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由题意可得，进而可求函数的定义域. 【详解】若函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据复合函数定义域公式可知，，即可求解函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以令，得， 所以函数的定义域为. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】由得，即，由，得，所以． 5．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 6．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 7．（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域、抽象函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 8．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）设正数满足，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再借助不等式有解求出的范围即可. 【详解】由正数满足，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又存在使不等式成立，所以，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 9．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数新定义、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分类讨论和三种情况，利用基本不等式求得的取值范围，进而利用取整函数的定义即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或2； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或1， 综上，得的值域为 故选：C. 二、多选题 10．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数关系的判断 【分析】根据函数的定义、定义域和值域的性质，结合相等函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由函数的定义可知，必须是两个非空数集，所以本选项说法不正确； B：设函数，显然值域为，所以本选项说法不正确； C：因为，所以，因此本选项说法正确； D：由相等函数的定义可知本选项正确， 故选：CD 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，即可求解. 【详解】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：② 12．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）求函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】由被开方数非负，解不等式可得答案 【详解】由，即， 解得：或， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 13．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先根据题意得替换化简结合分式不等式解得函数值域. 【详解】由题意得得则， 得，解得或． 故函数的值域为． 故答案为：. 15．函数的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求二次函数的值域或最值 【分析】令，先利用二次函数性质得到，再由反比例函数性质得到，即得解 【详解】由题意，令 故 由反比例函数性质， 故函数的最大值为 故答案为： 16．函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复合函数的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【解析】由于，可先求得的取值范围，再得结论．平方后结合二次函数性质易得解，需先求得函数定义域． 【详解】的值域为， ， 设，则，，则. 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数的值域，解题关键是　非负实数，把问题转化为求二次函数的值域．实际上还涉及到了函数的单调性． 17．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若对一切实数都有意义，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由两种情况讨论即可. 【详解】由题意可得对一切实数都有意义， 当时，成立； 当时，显然不成立， 当时，需满足，解得， 综上实数的取值范围为， 故答案为： 18．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 19．（25-26高一上·全国·课前预习）设函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数值 【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解. 【详解】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故答案为：. 四、解答题 20．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $