7.2.2 复数的乘、除运算 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学学案聚焦复数乘除运算这一核心知识点，系统梳理复数乘法法则、除法法则、乘法运算律及iⁿ周期性。通过复习复数概念与加减运算导入，衔接乘除运算学习，构建“概念回顾-法则探究-运算律类比-应用拓展”的知识支架，结合思考问题引发对复数运算特殊性的深度思考。 资料以问题链驱动数学思维，通过“|z|²=z²是否正确”等思考培养抽象能力，例题总结“多项式展开-化简i²”“分母实数化”等技巧提升运算能力。习题分层设计，课堂练习分类型巩固乘除乘方运算，课后练习综合应用，帮助学生用数学语言表达运算逻辑，发展推理意识与创新意识，有效提升课堂学习效率。

7.2.2 复数的乘、除运算 【知识点概况】 一、复数乘法和除法的运算法则 设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R且c+di≠0)， 则有z1·z2= ； . 二、复数乘法的运算律 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 对任意z1，z2，z3∈C，有 三、in的周期性 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i.(n∈N*) 思考：1.|z|²=z²，正确吗？ 2.复数除法的实质是什么？ 【课堂练习】 一、复数的乘法 【例1】计算：(1-i)(1+i)+(2+i)². 总结：复数乘法运算的技巧 （1）复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成-1，最后合并同类项即可. （2）三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致. （3）在进行复数乘法运算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算. 【练习】 1.计算：(1-i)²-(2-3i)·(2+3i)等于（ ） A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i 2.已知(x+i)(1-i)=y，则实数x，y满足（ ） A.x=-1，y=1 B.x=-1，y=2 C.x=1，y=1 D.x=1，y=2 二、复数除法 【例2】（1）计算： （2）计算： （3）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（ ） A.2 B.0 C.-2 D. 总结：（1）根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似. （2） 复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成z=a+bi(a，b∈R)的形式，即实部与虚部都要完全分开的形式. （3）设z1，z2都是复数，则|z1·z2|=|z1|·|z2|，（z2≠0） 【练习】（1）计算： （2）复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （3）【多选题】下面关于复数的四个命题中，真命题是（ ） A.|z|=2 B.z²=2i C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1 三、复数的乘方运算 【例3】计算下列各题 （1）； （2） 总结：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，从而达到迅速简捷、少出错的效果. 【练习】 1.计算： （1）(1+i)12+(1-i)12 （2）i+i3+i5+…+i33 【课后练习】 1.若复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ） A.-1+i B.1+i C.-1-i D.1-i 2.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知z(1+2i)=4+3i，则|z|=（ ） A. B. C.2 D. 4. . 5.计算： （1）； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $