精品解析：江苏省常州市第二中学2025-2026学年高一上学期10月阶段教学情况调研数学试卷

常州市第二中学高一年级阶段 教学情况调研数学试卷 命题人 王莉芹 2025年10月 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 8. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数的零点是和 B. 正实数满足，则不等式的最小值为 C. “”是“关于的方程有一正一负两根”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 11. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则的最小值为4 C. 若，，，则 D. 若实数，满足，，，则的最小值为2 三、填空题 12. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________________ 13. 已知，，用含、的式子表示______． 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15. 求值： （1）； （2）． 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，使得，求实数的取值范围. 17. 已知命题，命题：关于的不等式的解集为， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 18. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. 已知函数 （1）若该函数恰有一个零点，求实数的值； （2）若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第二中学高一年级阶段 教学情况调研数学试卷 命题人 王莉芹 2025年10月 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用并集的定义可求得集合. 【详解】由题意可知，，因此，. 故选：B. 3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断. 【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合. 故选：D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法判断A、C、D，应用作差法比较大小判断B. 【详解】A：取，，则，错； B：由，则，故，对； C：若，则，错； D：取，则，错. 故选：B 5. 关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集可得是方程的两根，利用韦达定理求得，从而可得，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为关于x的不等式的解集为， 可知是方程的两根， 且，且， 可得， 则， 可得， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 6. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，即，解得. 故选：D. 7. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 【答案】B 【解析】 【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B 8. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数的零点是和 B. 正实数满足，则不等式的最小值为 C. “”是“关于的方程有一正一负两根”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据零点的概念判断A的真假；利用基本不等式求和的最小值，判断B的真假；根据充要条件的概念判断C的真假；利用特例判断D的真假. 【详解】对A：函数的零点是和5， 即函数的零点是数，不是点，故A错误； 对B：因为， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 对C：因为方程有一正一负两根，故C正确； 对D：当时，满足，但不成立，故“”不是“”的充分条件； 当时，满足，但不成立，所以“”不是“”的必要条件. 综上“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：AB 11. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则的最小值为4 C. 若，，，则 D. 若实数，满足，，，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合特例法、换元法逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然满足，但是不成立，所以本选项的命题是假命题； B：因为，，， 所以，即， 当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为4，因此本选项的命题是真命题； C：因为，，， 所以，即， 当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，因此本选项的命题是真命题； D：设， 因为，，， 所以， 因此， 因为，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号，因此本选项命题是真命题， 故选：BCD 三、填空题 12. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________________ 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，然后根据集合补集和交集定义求解可得. 【详解】解不等式得或，所以或， 则， 图中阴影部分属于集合，但不属于集合，表示， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知，，用含、的式子表示______． 【答案】 【解析】 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【详解】，， 则，故，， 则. 故答案为：. 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可求解； （2）利用对数的运算法则化简计算即可得解. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集并集运算得到答案； （2）由充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，是的真子集，从而解得的取值范围； （3）由解得的取值范围，取补集得到时的取值范围. 【小问1详解】 时，，所以，； 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 因为恒成立，所以恒成立，所以， 由，解得， 当时，，不符合是的真子集，舍去， 当时，是的真子集，符合题意， 所以要使得，则的取值范围是； 【小问3详解】 由“，使得”得， 若，则或，解得， 所以要使得，的取值范围是. 17. 已知命题，命题：关于的不等式的解集为， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性求值域，可得实数的取值范围. （2）先求出为真命题时的取值范围，再分情况讨论满足条件的实数的取值范围. 【小问1详解】 当命题为真命题时，，. 因为（当时取等号），所以. 所以命题为真命题，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题为真命题，则或，所以. 若真假，则；若真假，则. 所以命题有且仅有一个真命题时，. 18. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1） （2）3万元 【解析】 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19. 已知函数 （1）若该函数恰有一个零点，求实数的值； （2）若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用二次函数根的分布情况进行求解即可； （3）分、和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时：函数为，恰有一个零点，符号题意； 当时： 函数是二次函数，， 化简得，解得或. 综上，或或. 【小问2详解】 函数， 函数有两个零点，故，即， ，即，解得且；  对称轴为，需满足，解得或， ， ，解得或，  综上的取值范围为：. 【小问3详解】 不等式对恒成立， 对恒成立， 分情况讨论： 当时： 即或， 当时，不等式变为，对恒成立。 当时，不等式变为，即，不满足对恒成立； 当时： 此时函数是二次函数，要使其对恒大于，需满足， 由得或， 计算，即， 解得或， 结合或，得到或， 综上，实数的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $