2.2.1直线的倾斜角与斜率 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，从倾斜角定义及范围切入，通过正切函数建立与斜率的关联，明确斜率存在条件及两点式计算公式，延伸至方向向量、法向量的几何意义，最终整合两直线夹角的计算方法，构建连贯知识体系。 资料通过概念辨析题（如例1）强化推理意识，动态问题（如例8）培养几何直观，表格与图示结合助学生理解斜率与倾斜角关系。课中辅助教师突破重难点，课后分层练习覆盖计算、应用等，助力学生巩固知识，查漏补缺，体现用数学思维思考和用数学眼光观察的核心素养。

2.2.1直线的倾斜角与斜率 一、知识点 1.直线的倾斜角 1）定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与轴相交，将轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所旋转的最小角记为，则称为这条直线的倾斜角；如果这条直线与轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为. 2）范围：（） 2.直线的斜率 1）定义：一般的，如果直线的倾斜角为，则当时，称（定义式）直线的斜率，当时，则称直线的斜率不存在. 2）公式：若，是直线上两个不同的点，则当时，直线的斜率为；当时，直线的斜率不存在. 3）斜率与倾斜角的变化 直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，二者关系如下， 斜率 不存在 倾斜角 锐角 钝角 图示 在分析直线倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数的单调性来判断，如图所示： ①当时，随着由增大并趋向于， ②当时，随着由增大并趋向于. 3.直线的方向向量 1）定义：一般的，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作 2）性质结论： ①如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线； ②如果，是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量； ③当为直线倾斜角时，一定是直线的一个方向向量； ④如果为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为；当时，直线的斜率是存在的，而且此时与都是直线的一个方向向量，即，倾斜角满足. 4.直线的法向量 定义：一般的，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂垂直，则称向量为直线的一个法向量，记作. 一条直线的方向向量与法向量一定互相垂直. 5.两直线夹角 设直线的一个方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角 ，则； 设直线的斜率为，直线的斜率为，与的夹角为，则. 二、题型训练 1.直线的倾斜角 例1.（多选）在下列四个命题中，正确的是（ ） A.若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于 B.任意直线都有倾斜角，且当时，斜率 C.若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D.直线的倾斜角越大，则其斜率越大 练习： 1.（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转得到后得到直线，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图所示，在直线的倾斜角为________. 2.直线的斜率 例2.（多选）在下列四个命题中，不正确的有（ ） A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 例3.经过下列两点的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率. （1），； （2），； （3），. 例4.如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，, 其对应的斜率分别为，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 例5.已知直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 例6.若过，两点的直线的倾斜角是，则________. 例7.若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 例8.已知，，. （1）求直线和的斜率； （2）若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 练习： 1.以下四个命题，正确的是（ ） A.若直线的斜率为，则其倾斜角为或 B.经过点，的两点的直线的倾斜角为锐角 C.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 2.直线经过点，，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3.已知，，则当_________时，直线的倾斜角为直角？ 4.图中直线，，的斜率分别为，， ， 则有（ ） A. B. C. D. 5.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 6.设直线的斜率为，且，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.过不重合的点，两点的直线的倾斜角为，则的取值为________. 8.若过点，的直线倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9.已知两点，求： （1）直线的斜率为； （2）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围. 10.已知，，三点. （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）是否存在，使得，，三点共线？若存在，求的值，若不存在，说明理由 11.若，，三点共线，则________. 12.已知点，，直线过点且斜率存在，且与线段相交，则直线的斜率满足（ ） A. 或 B. 或 C. D. 13.若点在以，，为顶点的内运动（不包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14.已知实数，满足，当时，的最大值和最小值的差为_________. 2.直线的方向向量与法向量 例9.已知是直线的一个方向向量，点和点均在直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 例10.一直直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为_______. 练习： 1.已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线的一个方向向量为，则直线的法向量为（ ） A. B. C. D. 4.以，，为顶点的三角形是（ ） A.以为直角的直角顶点的直角三角形 B.以为直角顶点的直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.已知，，，求满足，的点的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $