第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 一、单选题 1．在平行六面体中，设．若点为棱的中点，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在平行六面体中，设且点为棱的中点， 可得． 故选：D.    2．已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 3．在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以. 故选：D 4．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，两边平方得到，求出的长；，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】，，，，，， ， ， ，，， ， ， ． 故选：A. 5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得． 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，，，则与不垂直，故C错误； 对于D，由，得，，，则，故D正确. 故选：D 6．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】在直四棱柱中，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 所以，，， 所以，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 7．如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点到直线的距离即可. 【详解】设正方形的中心分别为，棱的中点为H，连接，易证两两垂直， 则以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正四棱台的体积是28，所以， 即，解得，则， 所以，故点E到直线的距离．    故选：C 8．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】 由题意，因为为正方形，且底面， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以，设，， 则，所以，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 因为单调递增，所以当时，最大， 此时，即直线与平面所成角的最大值为. 故选:C 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 【答案】CD 【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得，即可判断B项；根据空间向量可以平移，即可判断C项；只有“，不共线”，四点才共面，可判断D. 【详解】对于A，，注意前者是零向量，后者是实数0，故A错误； 对于B，注意向量相等时，向量所在直线互相平行或重合， 因此当时，，四点可能在一条直线上，故B错误； 对于C，空间中的任意两个非零向量都可以平移到同一起点， 则这两个向量可以是共面向量,故C正确； 对于D，若“，不共线”，有四点共面， 若“，共线”，则四点在同一直线上，则有四点共面， 故D正确． 故选：CD. 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误. 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．当时，平面BDF C．存在，使得AC与平面BDF所成的角为 D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为 【答案】BCD 【分析】根据，结合变化时，不是定值，可判定A错误；当时，即点与点重合，证得和，得到平面，可判定B正确；求得平面的法向量为，结合向量的夹角公式，得到与平面所成角为，满足，进而得到直线与平面所成角范围，可判定C正确；求得平面的法向量为，得到球心到平面的距离，结合球的截面圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，在正方体中，可得平面， 即到平面的距离为， 由， 因为，当变化时，不是定值， 所以三棱锥的体积不是定值，所以A不正确； 对于B中，当时，即点与点重合， 在正方体中，连接，可得， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证：，因为，且平面， 所以平面，即平面，所以B正确； 对于C中，设平面的法向量为， 又由，则， 令，可得， 由，设与平面所成角为 可得， 又由，可得， 所以，因为，且平面， 所以平面， 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值， 此时直线与平面所成角小于， 当点与重合时，直线与平面所成角为， 所以存在使得直线与平面所成角为，所以C正确； 对于D中，由， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为且，可得，所以平面的法向量为， 又由球心为，则到平面的距离为， 外接球的半径为，所以截面圆的半径的平方为， 所以该正方体的外接球所得到的截面的面积为，所以D正确. 故选：BCD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是 ．    【答案】 【分析】利用向量运算表示出,求出模长即可. 【详解】由题意, 因为以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是， 所以, 所以， 即. 故答案为： 13．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 【答案】 【分析】设，由点在直线上求出，表示出和，，利用二次函数求出最小值，得到点的坐标. 【详解】设，∵， 则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ， 所以，则， 所以，， 所以， 根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：. 故答案为： 14．如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则以下所有正确结论的序号是 . ①当点E与点重合时，； ②当点E与线段的中点重合时，与异面； ③无论点E在线段的什么位置，都有； ④若异面直线与AD所成的角为，则的最大值为. 【答案】①③④ 【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体棱长，利用空间向量证明垂直关系，得到①③正确；利用空间向量得到，从而得到与共面，②错误；利用异面直线的夹角公式得到，换元后结合求出余弦的最大值. 【详解】以A坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 当点E与点重合时，， 所以，故，①正确； 当点E与线段的中点重合时，， 则，，则， 所以∥，则与共面，②错误； 设，， 则， 所以， 所以无论点E在线段的什么位置，都有，③正确； ， 令，则， 当时，，此时取得最大值为，③正确； 故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 16．如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【详解】（1）以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； （2）由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 17．在三棱柱中，侧面为矩形，平面，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，可证，根据线面垂直的判定定理，即可得证. （2）由（1）得两两垂直，如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为侧面为矩形， 所以， 因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以平面. （2）由（1）得两两垂直，所以以C为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 所以，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意：，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，且四边形为梯形，且，所以与必相交， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系，因为平面，所以轴. 设，，则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 设平面的法向量为，则 ，取. 所以，，. 所以， 所以，即二面角所成平面角的正弦值为. 19．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． （1）求证：； （2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且． 【分析】（1）利用勾股定理推导出，由平面可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，由此可得出； （2）取的中点，连接，可得出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，由已知得四边形是直角梯形， 由，，可知为等腰直角三角形，所以，， ，， 在中，，，， 由余弦定理可得， ，则， 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以； （2）取的中点，连接，，则． 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，． 设，， 所以． 设平面的法向量是，则，得， 取，则，，所以，， 又是平面的一个法向量， 所以，，整理得， ，解得. 因此，在线段上，存在一点，使得二面角的大小为，且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 一、单选题 1．在平行六面体中，设．若点为棱的中点，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 4．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（   ）. A． B． C． D． 5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 7．如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 8．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．当时，平面BDF C．存在，使得AC与平面BDF所成的角为 D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是 ．    13．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 14．如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则以下所有正确结论的序号是 . ①当点E与点重合时，； ②当点E与线段的中点重合时，与异面； ③无论点E在线段的什么位置，都有； ④若异面直线与AD所成的角为，则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 16．如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 17．在三棱柱中，侧面为矩形，平面，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 19．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． （1）求证：； （2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求，如果不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $