专题04 带电粒子在电场中的运动 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理期中复习

专题04 带电粒子在电场中的运动 考点01（★★）带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 3 考点02（★★★）带电粒子在电场中的偏转 6 考点03（★★★）带电粒子在电场中做圆周运动 10 考点04（★★★）带电粒子在交变电场中运动的问题 14 考点05（★★★）示波管 18 一、带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 1．带电粒子(体)在电场中运动时重力的处理 基本 粒子 如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量) 带电体 如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力 2．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动． (2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动． 3．用动力学观点分析 a＝，E＝，v2－v02＝2ad. 4．用功能观点分析 匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02 非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1 5．常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等． 6．常见的题目类型 (1)粒子做单向直线运动． (2)粒子做往返运动． 7．解题技巧 (1)按周期性分段研究． (2)将a－t图像v－t图像． 二、带电粒子在电场中的偏转 1．运动规律 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿电场力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝ ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝ 考点01（★★）带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 一、带电粒子的重力是否可忽略的条件 重力场中的有质量的物体都要受到重力的作用，只是带电粒子受到的重力远小于静电力，通常可以忽略重力的影响。 1.对于质量很小的带电粒子，如电子、质子、α粒子、离子等，虽然它们也受到重力的作用，但重力远小于电场力，可以忽略不计。对于带电粒子，若无说明或暗示，一般不计重力； 2．带电颗粒：如尘埃、液滴、油滴、小球等，若无说明或暗示，一般要考虑重力； 3．平衡问题一般要考虑重力； 4．即使题目中给出了带电粒子的质量，也不一定需要求出重力；不管是物体还是粒子，在一定条件下都可看成质点；只要是实物粒子，都有质量，不能忽略。 二、求带电粒子的速度的两种方法 1．从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 2．从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv，解得v＝。 【典例1】（2025•武冈市开学）如图所示，和为两平行金属板，板间有恒定的电压，在板附近有一电子（不计重力）由静止开始向板运动，下列说法正确的是　　 A．电子到达板时的速率，与板间电压无关，仅与两板间距离有关 B．电子到达板时的速率，与两板间距离无关，仅与板间电压有关 C．两板间距离越小，电子的加速度就越小 D．两板间距离越大，加速时间越短 【典例2】（2025春•鼓楼区校级期末）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板、、中央各有一小孔，小孔分别位于、、点，由点静止释放的电子恰好能运动到点，现将板向左平移到点，则由点静止释放的电子　　 A．运动到点返回 B．运动到和点之间返回 C．运动到点返回 D．穿过点后继续运动 【典例3】（2025•香坊区校级四模）飞行时间质谱仪，利用离子飞行的时间测量离子的质量及比荷（电荷量与质量之比）。如图甲所示，一激光脉冲照射到样品板上，瞬间产生一定数量不同种类的带正电离子。离子初速度不计，经过电压为的静电场加速后，射入长为的漂移管，在管中沿轴线做匀速直线运动。在漂移管的、两端分别置有探测装置，可测得离子在漂移管中运动的时间。不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）某种电荷量为的离子在漂移管中的运动时间为，求该离子的质量； （2）增大离子的飞行路程，加长离子的飞行时间可提高质谱仪的分辨率。如图乙所示，离子穿过漂移管后进入方向如图所示的匀强电场反射区域，在静电场的作用下离子会返回到端（离子未与极板相碰），探测器可测量离子从进入端至首次返回端的总飞行时间。已知比荷为的离子的总飞行时间为，若测得某种离子的总飞行时间为，求该离子的比荷。 【典例4】（2024秋•五华区校级期末）如图所示，真空中平行金属板、之间距离为，两板所加的电压为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从板由静止释放。不计带电粒子的重力。 （1）求带电粒子所受的静电力的大小； （2）求带电粒子到达板时的速度大小； （3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从板运动到板经历的时间。 【典例5】（2024秋•北京校级期中）如图所示，和是置于真空中的两平行金属板，所加电压为。一带负电的粒子以初速度由小孔水平射入电场中，粒子刚好能达到金属板。如果要使粒子刚好达到两板间距离的一半处，可采取的办法有　　 A．初速度为，电压不变 B．初速度为，电压为 C．初速度为，电压为 D．初速度为，电压为 考点02（★★★）带电粒子在电场中的偏转 1．运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l，极板间距离为d、电压为U。不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力。粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识分析。 (1)粒子沿初速度方向做匀速直线运动，穿过两极板的时间t＝。 (2)粒子沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝。 (3)沿初速度方向：速度：vx＝v0，位移：l＝v0t。 (4)沿电场力方向：速度：vy＝at＝·，位移：y＝at2＝··。 (5)粒子离开电场时的速度偏转角θ满足tan θ＝＝。 (6)粒子离开电场时位移与初速度方向的夹角α满足tan α＝＝。 3．几个常用推论 (1)tan θ＝2tan α。联立上边(5)(6)中公式可推出。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样。 (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同。 【典例6】（2025秋•西安月考）如图所示，某匀强电场的电场线（图中未画出）与半径为的圆所在的竖直平面平行，、、为圆周上的三个点，为圆弧的中点，，为圆心，为的中点，。粒子源可从点沿不同方向发射速率均为的带正电的粒子，已知粒子的质量为、电荷量为（不计粒子受到的重力和粒子之间的相互作用力）。若沿方向入射的粒子恰以的速度垂直于方向经过点，则下列说法正确的是　　 A．、、、、、六点中，点的电势最高 B．沿垂直于方向入射的粒子可能经过点 C．在圆周上各点中，从点离开的粒子速率最小 D．若，则匀强电场的电场强度大小为 【典例7】（2025•德宏州开学）如图所示，为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角，一带正电小球经过等势面上的点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面上的点时速度恰好为零，已知小球质量为，带电量，间的距离为，重力加速度，，，则下列说法正确的是　　 A．匀强电场强度大小为 B．小球在点的速度大小为 C．和两等势面的电势差 D．若小球从点沿方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线 【典例8】（2025•江西模拟）如图所示，在直角坐标系中有、、三点，点坐标为，点坐标为，点坐标为，在矩形区域内存在平行于平面的匀强电场，一电子以大小为、与轴负方向成角的速度从点进入电场后，在仅受电场力作用下恰好经过点，已知、、三点的电势分别为，，，下列说法正确的是　　 A．该匀强电场的电场强度大小为 B．该匀强电场的电场强度大小为 C．电子经过点时的速度大小为 D．电子经过点时的速度大小为 【典例9】（2025•安徽二模）在如图所示的平面内轴正方向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带正电的小球自坐标原点沿轴正方向竖直向上抛出，它的初动能为，不计空气阻力，当它上升到最高点时，它的动能仍为。则带电小球落回到轴时的动能为　　 A． B． C． D． 【典例10】（2025秋•大兴区校级月考）如图，带电荷量之比为的带电粒子、以相等的速度从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在、点，若，忽略粒子重力的影响，则　　 A．和在电场中运动的时间之比为 B．和运动的加速度大小之比为 C．和的质量之比为 D．和的位移大小之比为 考点03（★★★）带电粒子在电场中做圆周运动 1．运动情况 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力(或者库仑力)，电场力(或者库仑力)提供向心力 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷 速度方向与库仑力的方向垂直 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力(匀强电场)和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力 电子偏转器的剖面图 速度方向与电场力的方向垂直 2．“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 (1)“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 (2)等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 【典例11】（2025秋•云岩区校级期中）如图所示，一条长为的细线上端固定，下端拴一个质量为，电荷量为的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从点静止释放，当细线离开竖直位置偏角时，小球速度为0。 （1）求小球带电性质和电场强度； （2）若小球恰好完成竖直圆周运动，求小球在点应有的初速度的大小（可含根式）。 【典例12】（2024秋•合肥月考）如图所示，半径为的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑绝缘水平面相切于点，整个空间存在水平向右的匀强电场。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）从水平面上的点以某一初速度水平向左运动，小球能沿轨道运动至点飞出并最终落回水平面。已知带电小球经过点时对圆弧轨道无压力，与竖直方向夹角为，重力加速度大小为，取，。求： （1）匀强电场电场强度的大小； （2）带电小球经过轨道上的点时对圆弧轨道的压力大小； （3）带电小球落回水平面时离点的距离。 【典例13】（2025•河南一模）如图所示，半径为的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，是圆心，是水平方向的直径，是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为、电荷量为的小球套在圆环上，从点由静止释放，小球运动到点时的动能最大，。已知重力加速度大小为，取，，下列说法正确的是　　 A．小球可以沿圆环运动到点 B．匀强电场的电场强度大小为 C．、两点间的电势差为 D．小球运动到点时，向心加速度大小为 【典例14】（2025•孝感开学）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长的绝缘细线的一端固定在电场中的点，另一端系住一质量、带电量的小球，小球静止时细线与竖直方向成角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现它恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知，，，则　　 A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得的初速度大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了 D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先增大后减小 【典例15】（2025春•丽水期末）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长为的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量为的带正电小球，电荷量大小为。现将细线拉直至水平，小球静止释放，可运动至与竖直方向夹角为的最大摆角处，则该电场的场强为　　 A． B． C． D． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意 考点04（★★★）带电粒子在交变电场中运动的问题 1．解决带电粒子在交变电场中运动的问题常用的分析方法 (1)在两个相互平行的金属板间加交变电压时，两板中间便可获得交变电场。此类电场从空间看是匀强电场，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间的变化而变化。 ①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定粒子的运动情况，粒子做周期性的运动； ②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。 (2)研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 (3)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 做好两个分析(受力分析和运动分析)，抓住粒子的运动具有周期性、空间上有的具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的临界条件。 【典例16】（2024秋•思明区校级期末）如图甲所示，在水平放置平行金属板、左侧有一线状粒子发射源（图中未画出），能发出宽度为、速度相同的带正电粒子束，时刻该粒子束恰好完全水平进入平行金属板间。已知粒子束的速度，比荷，两板间距为，板长，极板间加如图乙所示的交变电压。不考虑电容器的边缘效应，也不考虑击中极板的粒子对板间电压的影响，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。则粒子射出电场时的位置到板的距离至少为　　 A． B． C． D． 【典例17】（2025•全国四模）如图甲，一长为、板间距离为的平行板电容器水平放置，一正离子源放置在电容器左端中轴线处，离子源能够源源不断地在单位时间内释放相同数目、速度方向均沿中轴线水平向右、速度大小为的正离子，正离子的质量为、电荷量为。从时刻起加一如图乙所示的周期性电场，此时板电势高于板。已知，且，不计离子的重力，下列说法正确的是　　 A．时刻进入的正离子刚好击中板右端点 B．时刻进入的正离子离开电容器时偏离轴线的距离为 C．时刻进入的正离子击中金属板的右端点 D．离子源发射的正离子被平行板电容器收集的比例为 【典例18】（2025•保定二模）如图甲所示，两正对平行板、水平放置，在其右侧有汇聚状的电场，电场线的延长线的交点在点的中点），在两平行板间加上周期为的交变电压，两板间电势差的绝对值为，时刻，一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端（视为点）以水平向右的速度射入匀强电场，时刻从下极板点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达点，到达点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是　　 A．平行板的长度为 B．时刻，粒子的速度大小为 C．两平行板间的距离为 D．粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为 【典例19】（2025•汕头三模）如图甲所示，某多级直线加速器由个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极、上，序号为的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，、两极加上如图乙所示的电压，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为、电荷量为，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则　　 A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第个圆筒瞬间速度为 C．各金属筒的长度之比为 D．质子在各圆筒中的运动时间之比为 【典例20】（多选）（2025春•辽宁期末）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线以速度平行于极板进入（记为时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为，带电粒子只受电场力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出，则下列说法中正确的是 A．若粒子在时未射出，则粒子在垂直极板方向的速度不为0 B．粒子射出时的速度大小一定为 C．若粒子在时未射出，则粒子在垂直极板方向的位移大小为为极板间距） D．极板间距离需满足，粒子才不会与极板碰撞 ，不得复制发布日期：20 书面同意 考点05（★★★）示波管 1．示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 2．示波管的原理 (1)扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 (2)灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 3．示波管实际工作时，偏转电极YY′和偏转电极XX′都加上电压，一般地，加在偏转电极YY′上的电压是要研究的信号电压，加在偏转电极XX′上的电压是扫描电压。若两者周期相同，在荧光屏上就会显示出信号电压在一个周期内随时间变化的波形图。 【典例21】（2025秋•长寿区校级月考）有一种电子仪器叫做示波器，可以用来观察电信号随时间变化，如图是它核心部件示波管的原理图，由电子枪、偏转电极、荧光屏等组成，管内抽真空。电子枪产生热电子，当两对偏转电极不加偏转电压时，电子正好打在荧光屏中心。设热电子初速度为零，经过加速电压加速后进入偏转电极，电子最终打在荧光屏上某处出现亮点以便观察，不计电子重力、电子间相互作用。下列说法正确的是　　 A．电子加速后进入两对偏转电极后，均做匀速圆周运动 B．电子到达荧光屏的动能大小只与加速电压有关，与偏转电极电压无关 C．图中沿轴线射入的电子，当偏转电极、，电子有可能击中荧光屏幕正中心 D．电子经加速电压加速后垂直进入区间，则经过的时间与两对偏转电极电压无关 【典例22】（2025春•重庆校级月考）如图为示波器的结构图。电子枪持续释放无初速度的电子，经过电压为的加速电场后，沿中轴线依次经过电压为的竖直匀强偏转电场、的水平匀强偏转电场（两个偏转电场间存在一定距离）。最后打在荧光屏上形成亮斑。竖直、水平偏转电极间距均为，长度均为。下列说法正确的是　　 A．若、，则所有电子均能射出两个偏转电场 B．若想光斑位置在荧光屏连线与连线的角平分线上，则要求 C．偏转电压越大，电子在偏转电场中的运动时间越长 D．经过偏转电场时，电子会向带负电的电极方向偏转 【典例23】（2025•桂林模拟）示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出（初速度为零），经加速电压加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点，建立坐标系。若在电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是　　 A．若在水平电极不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像 B．若在水平电极不加电压，所有的电子打在荧光屏中心点 C．若在水平电极加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线 D．若在水平电极如图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆 【典例24】（多选）（2025•广东开学）某示波器的部分结构如图所示，电子枪中金属丝上逸出的电子在加速电场中加速后进入偏转电场，最后打在荧光屏上。、间的电压为，、间的电压为，不计电子受到的重力，下列说法正确的是　　 A．仅增大、间的距离，可增大电子进入偏转电场时的速度 B．仅增大，可增大电子进入偏转电场时的速度 C．仅增大、间的距离，可增大、间的电场强度 D．仅增大，可增大电子在偏转电极间的偏转距离 【典例25】（多选）（2024秋•成都期末）图（a）为示波管的部分原理图，电子经加速电压加速后，向右进入水平偏转电极，电极、间加上图（b）所示的扫描电压，内部可视为匀强电场（竖直偏转电极未画出）。已知加速电压为，水平偏转电极长，间距，电极右端到荧光屏距离为。当扫描电压周期为，峰值为时，荧光屏上可见一亮点在水平方向上移动。电子比荷为，不计电子重力及电子间的相互作用力，电子通过水平偏转电极的时间极短。关于扫描过程，下列说法正确的是　　 A．电子射入偏转电极时的速度大小为 B．入射的电子有可能打到图（a）所示亮点的位置 C．若要在荧光屏上看到一条水平亮线，应该降低扫描频率 D．荧光屏上亮点移动的速度为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 带电粒子在电场中的运动 考点01（★★）带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 3 考点02（★★★）带电粒子在电场中的偏转 10 考点03（★★★）带电粒子在电场中做圆周运动 17 考点04（★★★）带电粒子在交变电场中运动的问题 26 考点05（★★★）示波管 35 一、带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 1．带电粒子(体)在电场中运动时重力的处理 基本 粒子 如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量) 带电体 如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力 2．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动． (2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动． 3．用动力学观点分析 a＝，E＝，v2－v02＝2ad. 4．用功能观点分析 匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02 非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1 5．常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等． 6．常见的题目类型 (1)粒子做单向直线运动． (2)粒子做往返运动． 7．解题技巧 (1)按周期性分段研究． (2)将a－t图像v－t图像． 二、带电粒子在电场中的偏转 1．运动规律 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿电场力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝ ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝ 考点01（★★）带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 一、带电粒子的重力是否可忽略的条件 重力场中的有质量的物体都要受到重力的作用，只是带电粒子受到的重力远小于静电力，通常可以忽略重力的影响。 1.对于质量很小的带电粒子，如电子、质子、α粒子、离子等，虽然它们也受到重力的作用，但重力远小于电场力，可以忽略不计。对于带电粒子，若无说明或暗示，一般不计重力； 2．带电颗粒：如尘埃、液滴、油滴、小球等，若无说明或暗示，一般要考虑重力； 3．平衡问题一般要考虑重力； 4．即使题目中给出了带电粒子的质量，也不一定需要求出重力；不管是物体还是粒子，在一定条件下都可看成质点；只要是实物粒子，都有质量，不能忽略。 二、求带电粒子的速度的两种方法 1．从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 2．从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv，解得v＝。 【典例1】（2025•武冈市开学）如图所示，和为两平行金属板，板间有恒定的电压，在板附近有一电子（不计重力）由静止开始向板运动，下列说法正确的是　　 A．电子到达板时的速率，与板间电压无关，仅与两板间距离有关 B．电子到达板时的速率，与两板间距离无关，仅与板间电压有关 C．两板间距离越小，电子的加速度就越小 D．两板间距离越大，加速时间越短 【答案】 【分析】由动能定理列式判断速率与哪些因素有关；由结合电场力公式及牛顿第二定律和运动学公式判断加速度与时间的变化情况。 【解答】解：由动能定理，解得，可知电子到达板时的速率与极板间距离无关，与加速电压有关，故错误，正确； 由题意可知，极板之间的电压不变，则由可知两极板距离越小，场强越大，则电场力越大，由牛顿第二定律，则加速度越大，姑错误； 同理，两极板距离越大，场强越小，则电场力越小，由牛顿第二定律，则加速度越小，则由，可知加速时间越长，故错误。 故选：。 【典例2】（2025春•鼓楼区校级期末）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板、、中央各有一小孔，小孔分别位于、、点，由点静止释放的电子恰好能运动到点，现将板向左平移到点，则由点静止释放的电子　　 A．运动到点返回 B．运动到和点之间返回 C．运动到点返回 D．穿过点后继续运动 【答案】 【分析】根据电容的定义式以及电容的决定式，分析、之间电压的变化，再结合动能定理列式分析。 【解答】解：由点静止释放的电子恰好能运动到点，表明电子在薄板、之间做加速运动，电场力做正功，电场方向向左，在薄板、之间做减速运动，电场力做负功，电场方向向右，到达点时速度恰好为0，之后，电子向左加速至点，再向左减速至点速度为0，之后重复先前的运动。 电子从点到点，根据动能定理有 解得： 当板向左平移到点时，、间距减小，由电容的决定式知电容增大，由电容的定义式，结合电荷量不变，知、之间电压减小，则有 结合上述有： 可知，电子减速运动到的速度不等于0，即电子穿过点后继续向右运动，故错误，正确。 故选：。 【典例3】（2025•香坊区校级四模）飞行时间质谱仪，利用离子飞行的时间测量离子的质量及比荷（电荷量与质量之比）。如图甲所示，一激光脉冲照射到样品板上，瞬间产生一定数量不同种类的带正电离子。离子初速度不计，经过电压为的静电场加速后，射入长为的漂移管，在管中沿轴线做匀速直线运动。在漂移管的、两端分别置有探测装置，可测得离子在漂移管中运动的时间。不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）某种电荷量为的离子在漂移管中的运动时间为，求该离子的质量； （2）增大离子的飞行路程，加长离子的飞行时间可提高质谱仪的分辨率。如图乙所示，离子穿过漂移管后进入方向如图所示的匀强电场反射区域，在静电场的作用下离子会返回到端（离子未与极板相碰），探测器可测量离子从进入端至首次返回端的总飞行时间。已知比荷为的离子的总飞行时间为，若测得某种离子的总飞行时间为，求该离子的比荷。 【答案】（1）该离子的质量为； （2）该离子的比荷为。 【分析】（1）根据动能定理结合运动学规律解答； （2）根据粒子运动时间的特点分析解答。 【解答】解：（1）设离子经加速电场加速后的速度为，根据动能定理 离子在漂移管中做匀速直线运动，运动时间为 联立可得离子的质量 （2）设标准离子的电荷量为、质量为，则其比荷为 结合（1）可知，标准离子进入漂移管的速度大小 离子在漂移管中来回做两段匀速直线运动，每段匀速直线运动时间 离子在反射区中做匀减速和匀加速两段运动，每段运动时间 离子的总飞行时间 解得 同理，未知离子的飞行总时间 解得 答：（1）该离子的质量为； （2）该离子的比荷为。 【典例4】（2024秋•五华区校级期末）如图所示，真空中平行金属板、之间距离为，两板所加的电压为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从板由静止释放。不计带电粒子的重力。 （1）求带电粒子所受的静电力的大小； （2）求带电粒子到达板时的速度大小； （3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从板运动到板经历的时间。 【答案】（1）带电粒子所受的静电力的大小为； （2）带电粒子到达板时的速度大小为； （3）该粒子从板运动到板经历的时间为。 【分析】（1）先根据求出场强的大小，再结合计算出粒子所受到的静电力的大小； （2）根据动能定理求解粒子到达板时的速度大小； （3）撤去电压前，带电粒子做匀加速直线运动，之后做匀速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式分段计算出粒子的运动时间，最后相加即可。 【解答】解：（1）金属板、之间电场强度大小为 则带电粒子受到的静电力的大小为 （2）带电粒子从板到板的过程，根据动能定理得 解得： （3）带电粒子在撤去电压前做匀加速直线运动，之后做匀速直线运动，则 其中 该粒子从板运动到板经历的时间为 联立解得： 答：（1）带电粒子所受的静电力的大小为； （2）带电粒子到达板时的速度大小为； （3）该粒子从板运动到板经历的时间为。 【典例5】（2024秋•北京校级期中）如图所示，和是置于真空中的两平行金属板，所加电压为。一带负电的粒子以初速度由小孔水平射入电场中，粒子刚好能达到金属板。如果要使粒子刚好达到两板间距离的一半处，可采取的办法有　　 A．初速度为，电压不变 B．初速度为，电压为 C．初速度为，电压为 D．初速度为，电压为 【答案】 【分析】先根据动能定理，确定带电粒子从进入电场到开始返回运动的距离的表达式，再结合题意，分别将的四种情况代入到该表达式中，即可分析判断。 【解答】解：设、两板间距离为，粒子带电荷量大小为，带电粒子从进入电场到开始返回运动的距离为， 当、间电压为时，粒子刚好能到达板，根据动能定理有：， 整理得：，此时， 当带电粒子从、两板的正中间处返回时，，即变为原来的； 由可知，当变为原来的、不变时，变为原来的，不满足要求，故错误； 由可知，当和都变为原来的时，变为原来的，满足要求，故正确； 由可知，当不变、变为原来的时，变为原来的2倍，不满足要求，故错误； 由可知，当不变、变为原来的倍时，变为原来的，不满足要求，故错误； 故选：。 考点02（★★★）带电粒子在电场中的偏转 1．运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l，极板间距离为d、电压为U。不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力。粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识分析。 (1)粒子沿初速度方向做匀速直线运动，穿过两极板的时间t＝。 (2)粒子沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝。 (3)沿初速度方向：速度：vx＝v0，位移：l＝v0t。 (4)沿电场力方向：速度：vy＝at＝·，位移：y＝at2＝··。 (5)粒子离开电场时的速度偏转角θ满足tan θ＝＝。 (6)粒子离开电场时位移与初速度方向的夹角α满足tan α＝＝。 3．几个常用推论 (1)tan θ＝2tan α。联立上边(5)(6)中公式可推出。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样。 (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同。 【典例6】（2025秋•西安月考）如图所示，某匀强电场的电场线（图中未画出）与半径为的圆所在的竖直平面平行，、、为圆周上的三个点，为圆弧的中点，，为圆心，为的中点，。粒子源可从点沿不同方向发射速率均为的带正电的粒子，已知粒子的质量为、电荷量为（不计粒子受到的重力和粒子之间的相互作用力）。若沿方向入射的粒子恰以的速度垂直于方向经过点，则下列说法正确的是　　 A．、、、、、六点中，点的电势最高 B．沿垂直于方向入射的粒子可能经过点 C．在圆周上各点中，从点离开的粒子速率最小 D．若，则匀强电场的电场强度大小为 【答案】 【分析】根据粒子速率变化情况，分析电场力方向，判断电场强度方向，进而确定等势面，再分析各点电势高低；结合电场方向判断沿垂直于方向入射的粒子能否经过点；在圆周上各点中，根据电场力做功大小分析离开电场时速率大小；若，根据类平抛运动规律求解匀强电场的电场强度大小。 【解答】解：、因为沿方向入射的粒子恰好垂直于方向以的速度经过点，则粒子沿平行于方向的速度不变，沿垂直于方向的速度减小到零，所以粒子所受电场力方向平行于向下，粒子带正电，则其电场强度方向平行于向下，由和均垂直于电场线，可知和均为等势面，则、、、、、六点中，点的电势最高，故错误； 、电场方向垂直向下，则沿垂直方向入射的粒子做直线运动，不可能经过点，故错误； 、在圆周上各点中，从点离开的粒子电场力做正功，且做的功最大，根据动能定理可知，从点离开的粒子的速率最大，故错误； 、如图所示： 若，由几何关系可知，， 由类平抛运动的规律可知 ， 解得匀强电场的电场强度大小为，故正确。 故选：。 【典例7】（2025•德宏州开学）如图所示，为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角，一带正电小球经过等势面上的点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面上的点时速度恰好为零，已知小球质量为，带电量，间的距离为，重力加速度，，，则下列说法正确的是　　 A．匀强电场强度大小为 B．小球在点的速度大小为 C．和两等势面的电势差 D．若小球从点沿方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线 【答案】 【分析】根据小球在复合场中作直线运动，可知其受合力与速度共线，结合重力方向、等势线特点，即可判断电场力方向、电场方向、电场强度大小；小球从到的过程，根据动能定理，可计算小球在点的速度大小；根据电场强度、间距，即可计算间电势差；小球从点沿方向射入时，根据受力分析，即可判断小球受到的合力与速度方向关系，判断其轨迹。 【解答】解：、根据小球在复合场中作直线运动，可知其受合力与速度共线，结合重力方向、等势线特点，可知小球受力如下图： 由图可知，电场力方向垂直于等势面斜向右上方，电场强度大小满足：，解得：，故正确； 、小球从到的过程，根据动能定理，可得：，解得小球在点的速度大小为：，故错误； 、根据电场强度，间距，可得间电势差：，解得：，故错误； 、小球从点沿方向射入时，对小球受力分析，可知其受合力仍水平向左，沿指向，即小球受到的合力与速度同向，其轨迹为直线，故错误。 故选：。 【典例8】（2025•江西模拟）如图所示，在直角坐标系中有、、三点，点坐标为，点坐标为，点坐标为，在矩形区域内存在平行于平面的匀强电场，一电子以大小为、与轴负方向成角的速度从点进入电场后，在仅受电场力作用下恰好经过点，已知、、三点的电势分别为，，，下列说法正确的是　　 A．该匀强电场的电场强度大小为 B．该匀强电场的电场强度大小为 C．电子经过点时的速度大小为 D．电子经过点时的速度大小为 【答案】 【分析】根据公式求匀强电场在方向和方向的分电场强度大小，再合成求出电场强度大小；分析电子的运动情况，根据分运动规律求解电子经过点时的速度大小。 【解答】解：、设该匀强电场在方向的分电场强度大小为，在方向的分电场强度大小为，则有 代入数据解得， 该匀强电场的电场强度大小为，故错误； 、电子经过点时垂直于电场方向的分速度大小为，平行于电场方向的分速度大小为，则垂直于电场方向有 平行于电场方向有 联立解得 故电子在点的速度大小，故正确，错误。 故选：。 【典例9】（2025•安徽二模）在如图所示的平面内轴正方向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带正电的小球自坐标原点沿轴正方向竖直向上抛出，它的初动能为，不计空气阻力，当它上升到最高点时，它的动能仍为。则带电小球落回到轴时的动能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，抓住竖直方向上上升的时间和下降的时间相等，结合等时性求出水平方向上两段时间内的位移之比，从而求出电场力做功之比，对全过程运用动能定理求出到达轴的动能。 【解答】解：带正电小球在运动时，既受到重力作用还受到电场力作用，在水平方向上的分运动为初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上的分运动先做竖直上抛运动后做自由落体运动； 设上升阶段的水平位移为，下降阶段的水平位移为； 根据运动的合成与分解，小球在水平方向做匀加速直线，在竖直方向做竖直上抛运动；且上升阶段所用时间与下落阶段所用的时间相同，即； 由初速度为零的匀加速直线运动，相同的时间内位移之比为；得； 小球到达最高点时，竖直方向的动能为零，水平方向获得的动能即为电场力在上升阶段对小球所做的功，即 则电场力对小球做的总功为； 小球从点到落回到轴由动能定理得：，，代入数据得，故正确，错误； 故选：。 【典例10】（2025秋•大兴区校级月考）如图，带电荷量之比为的带电粒子、以相等的速度从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在、点，若，忽略粒子重力的影响，则　　 A．和在电场中运动的时间之比为 B．和运动的加速度大小之比为 C．和的质量之比为 D．和的位移大小之比为 【答案】 【分析】带电粒子垂直射入电场中做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，根据求运动的时间之比；竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据求加速度大小之比，根据牛顿第二定律求解质量之比。根据位移合成求位移之比。 【解答】解：、和两个粒子垂直射入电场中均做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有，因初速度相等，故和在电场中运动的时间之比，故错误； 、粒子竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有，相同，则和运动的加速度大小之比为，故错误； 、根据牛顿第二定律得，则粒子的质量为，可得和的质量之比为，故正确； 、根据几何关系可知，、的位移大小之比为，故错误。 故选：。 考点03（★★★）带电粒子在电场中做圆周运动 1．运动情况 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力(或者库仑力)，电场力(或者库仑力)提供向心力 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷 速度方向与库仑力的方向垂直 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力(匀强电场)和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力 电子偏转器的剖面图 速度方向与电场力的方向垂直 2．“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 (1)“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 (2)等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 【典例11】（2025秋•云岩区校级期中）如图所示，一条长为的细线上端固定，下端拴一个质量为，电荷量为的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从点静止释放，当细线离开竖直位置偏角时，小球速度为0。 （1）求小球带电性质和电场强度； （2）若小球恰好完成竖直圆周运动，求小球在点应有的初速度的大小（可含根式）。 【答案】（1）小球带正电，电场强度的大小为，方向向右。 （2）小球在点的初速度的大小为。 【分析】（1）通过对小球受力分析，判断小球带正电。以小球为研究对象，根据平衡条件，结合力的分解，推导出电场强度。 （2）将重力和电场力等效为新的“重力”，分析小球做竖直圆周运动的临界情况。利用牛顿第二定律和动能定理，联立求解出小球在点的速度。 【解答】解：（1）对小球受力分析如图所示： 小球所受电场力方向水平向右，电场强度方向也水平向右，可知小球带正电荷。 由题意可知，细线离开竖直位置偏角的角平分线的位置即为小球平衡位置，以小球为研究对象，分析受力，作出受力示意图如图： 根据平衡条件得，可得。 （2）小球除受拉力外，还受到电场力与重力作用，由于这两个力不变，可等效成新的重力。要小球恰好完成竖直圆周运动，则小球必须能以最小速度通过新的重力对应的最高点。 根据牛顿第二定律有 从点到新的重力对应的最高点，根据动能定理得 联立解得。 答：（1）小球带正电，电场强度的大小为，方向向右。 （2）小球在点的初速度的大小为。 【典例12】（2024秋•合肥月考）如图所示，半径为的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑绝缘水平面相切于点，整个空间存在水平向右的匀强电场。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）从水平面上的点以某一初速度水平向左运动，小球能沿轨道运动至点飞出并最终落回水平面。已知带电小球经过点时对圆弧轨道无压力，与竖直方向夹角为，重力加速度大小为，取，。求： （1）匀强电场电场强度的大小； （2）带电小球经过轨道上的点时对圆弧轨道的压力大小； （3）带电小球落回水平面时离点的距离。 【答案】答：（1）匀强电场电场强度的大小为； （2）带电小球经过轨道上的点时对圆弧轨道的压力大小为； （3）带电小球落回水平面时离点的距离为。 【分析】（1）小球在点的受力分析可求出匀强电场电场强度； （2）在点受力分析由牛顿第二定律求出小球在点的速度，自点运动至点由动能定理求出小球在点的速度，在点由牛顿第二定律求出轨道对球的支持力，在结合牛顿第三定律求出小球经过轨道上的点时对轨道的压力； （3）小球自点飞出后，在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做匀加速直线运动，结合运动学公式和牛顿第二定律求出带电小球落回水平面时离点的距离。 【解答】解：（1）小球恰好能经过轨道上的点且此时对圆弧轨道无压力，小球在点的受力如图所示 由题意可知 解得 （2）小球在点所受合外力 设小球在点的速度为，在点由牛顿第二定律得 解得 设小球在点的速度为，自点运动至点由动能定理可得 解得 在点由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律得小球经过轨道上的点时对轨道的压力 （3）小球自点飞出后，在竖直方向做自由落体运动，设小球经时间落回水平面，有 在水平方向做匀加速直线运动，有 又 解得 答：（1）匀强电场电场强度的大小为； （2）带电小球经过轨道上的点时对圆弧轨道的压力大小为； （3）带电小球落回水平面时离点的距离为。 【典例13】（2025•河南一模）如图所示，半径为的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，是圆心，是水平方向的直径，是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为、电荷量为的小球套在圆环上，从点由静止释放，小球运动到点时的动能最大，。已知重力加速度大小为，取，，下列说法正确的是　　 A．小球可以沿圆环运动到点 B．匀强电场的电场强度大小为 C．、两点间的电势差为 D．小球运动到点时，向心加速度大小为 【答案】 【分析】、根据点动能最大，结合小球的受力分析求出电场强度； 、假设小球能够沿圆环运动到点，根据动能定理列式得出点动能为负，再进行判断； 、根据求解； 、小球从点运动到点，根据动能定理列式，再根据向心加速度公式列式。 【解答】解：．假设小球能够沿圆环运动到点，根据动能定理有 分析上式可知，显然这是不可能的，即假设错误，故错误； ．小球运动到点时的动能最大，即重力和电场力的合力沿着方向，对小球受力分析有 解得 故错误； ．、两点间的电势差，故正确； ．小球从点运动到点，根据动能定理有 此时小球的向心加速度大小，故错误。 故选：。 【典例14】（2025•孝感开学）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长的绝缘细线的一端固定在电场中的点，另一端系住一质量、带电量的小球，小球静止时细线与竖直方向成角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现它恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知，，，则　　 A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得的初速度大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了 D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先增大后减小 【答案】 【分析】根据平衡条件计算；先计算出重力和电场力的合力，根据牛顿第二定律和动能定理计算；根据机械能的变化量等于电场力做的功计算；根据电场力做功情况分析。 【解答】．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球受力分析如图所示： ， 根据平衡条件有 可代入数据解得，故错误； ．小球受重力和电场力的等效合力为 小球恰能经过等效最高点，则在点时满足 从开始到点由动能定理有 解得小球获得的初速度大小为，故正确； ．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中电场力做功为，代入数据解得，则小球的机械能减小了，故错误； ．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，电场力先做负功，再做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小，再增大，故错误。 故选：。 【典例15】（2025春•丽水期末）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长为的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量为的带正电小球，电荷量大小为。现将细线拉直至水平，小球静止释放，可运动至与竖直方向夹角为的最大摆角处，则该电场的场强为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对小球，由动能定理列式即可求解。 【解答】解：小球从水平位置释放到与竖直方向夹角为的过程中，根据动能定理可得：，解得：，故正确，错误。 故选：。 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意 考点04（★★★）带电粒子在交变电场中运动的问题 1．解决带电粒子在交变电场中运动的问题常用的分析方法 (1)在两个相互平行的金属板间加交变电压时，两板中间便可获得交变电场。此类电场从空间看是匀强电场，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间的变化而变化。 ①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定粒子的运动情况，粒子做周期性的运动； ②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。 (2)研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 (3)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 做好两个分析(受力分析和运动分析)，抓住粒子的运动具有周期性、空间上有的具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的临界条件。 【典例16】（2024秋•思明区校级期末）如图甲所示，在水平放置平行金属板、左侧有一线状粒子发射源（图中未画出），能发出宽度为、速度相同的带正电粒子束，时刻该粒子束恰好完全水平进入平行金属板间。已知粒子束的速度，比荷，两板间距为，板长，极板间加如图乙所示的交变电压。不考虑电容器的边缘效应，也不考虑击中极板的粒子对板间电压的影响，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。则粒子射出电场时的位置到板的距离至少为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】粒子束在水平方向做匀速直线运动，粒子在竖直方向做匀变速运动，求解粒子射出电场所需总时间，然后根据受力情况，求解其在竖直方向的加速度和位移，由此分析。 【解答】解：粒子束在水平方向做匀速直线运动，射出电场所需时间为 时刻射入电场的粒子从靠近板进入电场且能射出电场，时间内，板带正电，板带负电，粒子向下做类平抛运动，加速度大小为 在竖直方向的位移为 在时间内，板带负电，板带正电，且电压大于时间内电压，则粒子先向下做类斜抛运动，然后向上做类斜抛运动，粒子的加速度大小为 第一段类平抛运动的末速度和第二段类斜抛运动的初速度相同，第二段竖直方向做减速运动，则有 解得 可知第二段类斜抛运动在竖直方向向下和向上的时间相等， 第二段类斜抛运动在竖直方向的位移为 当类斜抛运动轨迹与板如下图所示相切时， 射出电场时粒子到板距离最小，最小距离为，故正确，错误。 故选：。 【典例17】（2025•全国四模）如图甲，一长为、板间距离为的平行板电容器水平放置，一正离子源放置在电容器左端中轴线处，离子源能够源源不断地在单位时间内释放相同数目、速度方向均沿中轴线水平向右、速度大小为的正离子，正离子的质量为、电荷量为。从时刻起加一如图乙所示的周期性电场，此时板电势高于板。已知，且，不计离子的重力，下列说法正确的是　　 A．时刻进入的正离子刚好击中板右端点 B．时刻进入的正离子离开电容器时偏离轴线的距离为 C．时刻进入的正离子击中金属板的右端点 D．离子源发射的正离子被平行板电容器收集的比例为 【答案】 【分析】根据运动学公式判断时刻进入的正离子刚好击中的位置； 根据运动学公式求时刻进入的正离子离开电容器时偏离轴线的距离； 根据运动学公式求时刻进入的正离子击中金属板的位置； 根据运动学公式和时间关系求离子源发射的正离子被平行板电容器收集的比例。 【解答】解：如图 时刻进入的正离子运动的如图线1所示，其偏移量为 离子击中板的中点，故错误； 时刻进入的正离子的如图线2所示，其离开电容器时偏离轴线的距离为 离子沿中心轴线离开，故错误； 时刻进入的正离子的如图线3所示 故正确； 设时刻进入电场的离子刚好打到板上的如图线4所示 解得 又因为时刻进入电容器的离子刚好打到，板右端点，所以能够击中电容器两极板的离子进入电容器的百分比为 故错误。 故选：。 【典例18】（2025•保定二模）如图甲所示，两正对平行板、水平放置，在其右侧有汇聚状的电场，电场线的延长线的交点在点的中点），在两平行板间加上周期为的交变电压，两板间电势差的绝对值为，时刻，一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端（视为点）以水平向右的速度射入匀强电场，时刻从下极板点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达点，到达点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是　　 A．平行板的长度为 B．时刻，粒子的速度大小为 C．两平行板间的距离为 D．粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为 【答案】 【分析】粒子在平行板间水平方向匀速运动，竖直方向受交变电场作用做周期性变速运动。平行板长度由水平速度和时间决定。竖直方向运动具有对称性，粒子在时刻恰好从下极板射出，可确定板间距离。粒子进入汇聚电场后做匀速圆周运动，电场力提供向心力，结合圆周运动半径可求出电场力大小。 【解答】解：、由于粒子在水平方向做匀速直线运动，平行板的长度应为，故错误。 、在时间内：粒子在水平方向做匀速直线运动，速度。 竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：，竖直方向速度：，竖直方向位移：。 在时间内，粒子在水平方向仍做匀速运动，竖直方向做加速度大小不变的减速运动，根据运动对称性可知，粒子到达点时竖直方向速度为零，位移大小仍为，故有， 解得：。时刻竖直方向速度：，此时粒子速度大小：，故错误。 、粒子在电场中做匀速圆周运动的半径：。电场力提供向心力，根据牛顿第二定律：，解得电场力大小：，故正确。 故选：。 【典例19】（2025•汕头三模）如图甲所示，某多级直线加速器由个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极、上，序号为的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，、两极加上如图乙所示的电压，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为、电荷量为，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则　　 A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第个圆筒瞬间速度为 C．各金属筒的长度之比为 D．质子在各圆筒中的运动时间之比为 【答案】 【分析】根据质子受力情况，分析质子运动情况； 质子经过次加速，根据动能定理，求速度大小； 根据匀加速直线运动位移—时间公式，求各金属筒的长度。 【解答】解：．金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，合力为零，故质子做匀速运动，故错误； ．质子进入第个圆筒时，经过次加速，根据动能定理 解得 故错误； ．依题意分析，只有质子在每个圆筒中匀速运动时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，故错误； ．根据匀加速直线运动位移—时间公式，第个圆筒长度 则各金属筒的长度之比为，故正确。 故选：。 【典例20】（多选）（2025春•辽宁期末）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线以速度平行于极板进入（记为时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为，带电粒子只受电场力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出，则下列说法中正确的是 A．若粒子在时未射出，则粒子在垂直极板方向的速度不为0 B．粒子射出时的速度大小一定为 C．若粒子在时未射出，则粒子在垂直极板方向的位移大小为为极板间距） D．极板间距离需满足，粒子才不会与极板碰撞 【答案】 【分析】粒子在平行于极板方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律得到平行板间的电压为和时粒子的加速度大小关系，作出粒子进入平行板电容器后在垂直于极板方向运动的图像，根据此图像解答选项；粒子在时未射出，由垂直于极板方向运动的图像求解时粒子在垂直极板方向的位移大小；由垂直于极板方向运动的图像可知，求得粒子在垂直极板方向的位移最大值，根据粒子不与极板碰撞的条件解答选项。 【解答】解：、当平行板间的电压为时，根据牛顿第二定律得粒子的加速度大小为：为极板间距），当平行板间的电压为时，粒子的加速度大小为：，可得：，由此作出粒子进入平行板电容器后在垂直于极板方向运动的图像如下图所示： 可知粒子在时未射出，则粒子在垂直极板方向的速度为零，故错误； 、粒子在平行于极板方向做匀速直线运动，已知粒子以平行极板方向的速度射出，可知粒子射出时垂直于极板方向的分速度为零，粒子射出时的速度大小一定为，故正确； 、若粒子在时未射出，则由垂直于极板方向运动的图像可知，粒子在垂直极板方向的位移大小等于时间内的位移大小，可得时粒子在垂直极板方向的位移大小为：△，其中：△，解得：，故正确； 、由垂直于极板方向运动的图像可知，粒子在垂直极板方向的位移最大值等于时的位移大小，可得在垂直极板方向的最大位移为：，而△，△。 解得： 要使粒子不与极板碰撞需满足：，解得：，故错误。 故选：。 ，不得复制发布日期：20 书面同意 考点05（★★★）示波管 1．示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 2．示波管的原理 (1)扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 (2)灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 3．示波管实际工作时，偏转电极YY′和偏转电极XX′都加上电压，一般地，加在偏转电极YY′上的电压是要研究的信号电压，加在偏转电极XX′上的电压是扫描电压。若两者周期相同，在荧光屏上就会显示出信号电压在一个周期内随时间变化的波形图。 【典例21】（2025秋•长寿区校级月考）有一种电子仪器叫做示波器，可以用来观察电信号随时间变化，如图是它核心部件示波管的原理图，由电子枪、偏转电极、荧光屏等组成，管内抽真空。电子枪产生热电子，当两对偏转电极不加偏转电压时，电子正好打在荧光屏中心。设热电子初速度为零，经过加速电压加速后进入偏转电极，电子最终打在荧光屏上某处出现亮点以便观察，不计电子重力、电子间相互作用。下列说法正确的是　　 A．电子加速后进入两对偏转电极后，均做匀速圆周运动 B．电子到达荧光屏的动能大小只与加速电压有关，与偏转电极电压无关 C．图中沿轴线射入的电子，当偏转电极、，电子有可能击中荧光屏幕正中心 D．电子经加速电压加速后垂直进入区间，则经过的时间与两对偏转电极电压无关 【答案】 【分析】电子在电场中受力方向与电场强度的方向相反，根据电子在电场中受力情况分析电子的运动情况。 【解答】解：．电子加速后进入偏转电极，在电场中受到恒定的电场力的作用，电子做匀变速运动，故错误； ．电子经过偏转电极时，偏转电极对电子做正功，电子离开电场后做匀速直线运动，偏转电压不同，电子离开偏转电场的偏转角度不同，因此电子到达荧光屏的时间与偏转电压有关，故错误； ．图中沿轴线射入的电子，当偏转电极、，电子击中荧光屏幕第二象限，不可能出现在荧光屏中心，故错误； ．垂直进入区间的电子，在轴线方向做匀速直线运动，所以经过该区域时间与偏转电极电压无关，故正确。 故选：。 【典例22】（2025春•重庆校级月考）如图为示波器的结构图。电子枪持续释放无初速度的电子，经过电压为的加速电场后，沿中轴线依次经过电压为的竖直匀强偏转电场、的水平匀强偏转电场（两个偏转电场间存在一定距离）。最后打在荧光屏上形成亮斑。竖直、水平偏转电极间距均为，长度均为。下列说法正确的是　　 A．若、，则所有电子均能射出两个偏转电场 B．若想光斑位置在荧光屏连线与连线的角平分线上，则要求 C．偏转电压越大，电子在偏转电场中的运动时间越长 D．经过偏转电场时，电子会向带负电的电极方向偏转 【答案】 【分析】在加速电场中，根据动能定理结合运动学公式，求电子在竖直方向上的位移大小； 相同位移，运动时间长的，电压小； 根据运动分解，分析在各个偏转电场的运动时间； 电子受正极吸引，向正极偏转。 【解答】解：．，在加速电场中，根据动能定理： 假设电子恰好通过偏转电场，则所用时间 联立解得 根据运动学公式结合牛顿第二定律有， 电子在竖直方向上的位移大小 当时，电子能够通过偏转电场，偏转电场同理，故正确； ．光斑打在对角线上要求方向走的位移相同，由于方向先发生偏转，其在方向上运动时间更长，因此要求，故错误； ．电子前进的速度不变，在各个偏转电场的运动时间相同，故错误； ．电子受到的电场力沿电场线的反方向，因此会向带正电的极板偏转，故错误。 故选：。 【典例23】（2025•桂林模拟）示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出（初速度为零），经加速电压加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点，建立坐标系。若在电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是　　 A．若在水平电极不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像 B．若在水平电极不加电压，所有的电子打在荧光屏中心点 C．若在水平电极加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线 D．若在水平电极如图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆 【答案】 【分析】根据带电粒子在电场中的偏转和随偏转电压的变化关系进行分析解答。 【解答】解：若水平偏转电极不加电压，则电子仅在竖直方向偏转，图像为过点的竖直线，故错误； 若水平偏转电极也加正弦电压，则电子水平偏转位移和竖直偏转位移始终相等，图像为过点的满足的倾斜的直线，故正确，错误。 故选：。 【典例24】（多选）（2025•广东开学）某示波器的部分结构如图所示，电子枪中金属丝上逸出的电子在加速电场中加速后进入偏转电场，最后打在荧光屏上。、间的电压为，、间的电压为，不计电子受到的重力，下列说法正确的是　　 A．仅增大、间的距离，可增大电子进入偏转电场时的速度 B．仅增大，可增大电子进入偏转电场时的速度 C．仅增大、间的距离，可增大、间的电场强度 D．仅增大，可增大电子在偏转电极间的偏转距离 【答案】 【分析】、思考电子在加速电场中速度的决定因素，依据动能定理判断、间距离对电子进入偏转电场速度的影响；、根据加速电场中动能定理表达式，分析增大时电子进入偏转电场速度的变化情况；、依据匀强电场场强公式，判断增大、间距离时场强的变化；、推导电子在偏转电场中偏转距离的表达式，分析增大对偏转距离的影响。 【解答】解：、由可知，仅增大、间的距离时，电场强度减小，故错误； 、电子在电子枪中加速，由动能定理有 可知电子离开电子枪时的速度与、间的距离无关，越大越大，故错误，正确； 、电子在偏转电极间的偏转距离 除了，其他的都是定值，可知仅增大，可增大电子在偏转电极间的偏转距离，故正确。 故选：。 【典例25】（多选）（2024秋•成都期末）图（a）为示波管的部分原理图，电子经加速电压加速后，向右进入水平偏转电极，电极、间加上图（b）所示的扫描电压，内部可视为匀强电场（竖直偏转电极未画出）。已知加速电压为，水平偏转电极长，间距，电极右端到荧光屏距离为。当扫描电压周期为，峰值为时，荧光屏上可见一亮点在水平方向上移动。电子比荷为，不计电子重力及电子间的相互作用力，电子通过水平偏转电极的时间极短。关于扫描过程，下列说法正确的是　　 A．电子射入偏转电极时的速度大小为 B．入射的电子有可能打到图（a）所示亮点的位置 C．若要在荧光屏上看到一条水平亮线，应该降低扫描频率 D．荧光屏上亮点移动的速度为 【答案】 【分析】电子在加速电场中被加速，根据动能定理求解电子射入偏转电极时的速度；在时间内，根据电极、间电压情况判断电子受力情况，进而判断电子偏转情况；在荧光屏上看到一条水平亮线的条件需要扫描时间小于人视觉暂留效应时间，根据时间与频率关系确定频率变化；电子在水平偏转电极间做类平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，根据匀速运动和匀加速运动结合几何知识求解荧光屏上亮点移动的速度。 【解答】解：电子在加速电场中，根据动能定理可得，电子射入偏转电极时的速度，故错误。 在时间内，扫描电压为正，电子在水平偏转电极间受到沿的电场力，会向侧偏转，所以 入射的电子有可能打到图（a）所示亮点的位置，故正确。 在荧光屏上看到一条水平亮线的条件需要减小扫描时间，即提高扫描频率，使得电子在荧光屏上的位置快速变化，由于视觉暂留效应，人眼就会看到一条连续的亮线，而不是降低扫描频率，故错误。 （3）电子在水平偏转电极间做类平抛运动，水平方向，竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有，所以有，离开偏转电场竖直方向速度为，有，电子离开偏转电场，做匀速直线运动，水平方向位移，竖直方向有 ，则电子所打位置与之间的距离为，由题图可知，其偏转电场与时间在0—内关系由题图结合数学知识可知为 将其代入，整理有，由速度的定义可知，其是物体运动的位移与其时间的比值，在数学上的表示即为位移与时间函数的一阶导，可得荧光屏上亮斑移动的速度，故正确。 故选：。 学科网（北京）股份有限公司 $