精品解析：江苏省连云港市灌南县惠泽高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

灌南县惠泽高级中学2025～2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1.考试时长120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 3. 设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果. 【详解】由题意可知，，当时，则为钝角，且； 当时，此时，. 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 4. 直线过点,则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，，，由基本不等式结合三角形面积公式即可得结论. 【详解】由题意，，， 由基本不等式可得，∴， ∴直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积的最小值为4， 故选：D 【点睛】本题主要考查直线方程，考查三角形面积的计算，基本不等式的应用，属于中档题. 5. 若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论． 【详解】直线过定点， 又曲线可化为：，， 画出直线与曲线图象如图所示： 数形结合可得直线在，，，处产生临界条件， 设直线，，，的斜率分别为 则 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得舍去或， 要使两图象有个不同交点，则 故选：D． 6. 使直线，，不能围成三角形的m的值有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由三条直线中的任意两条平行求得m的值，再由三条直线相交于一点求得m的值，则l1，l2，l3不能围成一个三角形的m的所有取值可求． 【详解】当直线l1：4x+y﹣4＝0 平行于 l2：mx+y＝0时，m＝4． 当直线l1：4x+y﹣4＝0 平行于 l3：2x﹣3my﹣4＝0时，m， 当l2：mx+y＝0 平行于 l3：2x﹣3my﹣4＝0时，﹣m，m无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点（）代入l3：2x﹣3my﹣4＝0得 ，解得m＝﹣1或． 综上，满足条件的m为4或或﹣1或．因此不能围成三角形的m的值有4个， 故选D． 【点睛】本题考查了两直线平行的条件，考查了两直线交点坐标的求法，是基础题． 7. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】 由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上， 所以，即，所以在直线， 又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 ，（*） ，故A正确； ，故B正确； （*）两式相加，可得，故C不正确； 由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故D正确. 故选ABD 【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：将直线整理为，则有，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可. 【详解】对于选项A：将直线整理为，则有，解得， 直线恒过定点，则选项A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆上有且仅有3个点到直线距离都等于1. 则选项B正确； 对于选项C：曲线：的圆心为，半径， 曲线：的圆心为，半径， 曲线：与曲线：恰有三条公切线， ，，，则选项C正确； 对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：和，这两个圆相减得直线的方程为， 代入，得，整理得， 设，解得，即直线经过定点（1，2），则选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是圆上任意一点.则的最大值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】由题意可知：圆圆心为，半径为， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的最大值是为. 故答案为：. 13. 如图，轴，垂足为，点在延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点轨迹方程为． 故答案为： 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则______． 【答案】. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出AP的长. 【详解】由题意， 如图建立直角坐标系： 则 ，直线方程为 即， 三角形重心为 即 设 , 关于直线对称点为 解得 由光的反射可知 四点共线， 直线斜率为 , 直线方程为 过重心， 即 ， 解得 舍去， ， ∴， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，点为椭圆的左顶点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点在椭圆上， 且的面积为，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知的值及离心率，可得，再由求出即可求得椭圆方程； （2）由，可求得，代入方程，即可求得坐标． 【详解】解:(1)由已知得，， 又，， 则， 所以椭圆标准方程为. （2）)由(1)知， 的面积为， 解得， 代入椭圆的方程解得， 所以点P的坐标为. 【点睛】本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，及三角形的面积计算，属于基础题． 17. 在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点． （1）若直线的斜率为，求线段的长度； （2）当的中点为时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出直线方程，联立方程分别求出点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求解； （2）设，利用中点为可计算的值，再利用坐标求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】（1）若直线的斜率为，则， 由可得 ，所以， 由可得，所以 所以的长度为， （2）因为分别是直线与射线，的交点，所以设，， 因为的中点为，所以，，解得： ， 所以，， 所以直线的斜率为， 可得直线的方程为： 即. 18. 已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在点或，使为正三角形 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程； （2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果； （3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标. 【小问1详解】 设圆心坐标为，则，解得：， 圆的半径， 圆的方程为：. 【小问2详解】 为直角三角形，，， 则圆心到直线的距离； 当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离； 当直线斜率存在时，可设，即， ，解得：， ，即； 综上所述：直线的方程为或. 【小问3详解】 假设在直线存在点，使为正三角形，，， 设，，解得：或， 存在点或，使为正三角形. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）求圆与圆的外公切线的长;（两圆的外公切线是指与两个圆都相切，且两圆位于公切线同侧的线;公切线长度是指切线段的长） （2）过圆上的任意一点作圆的两条切线，切点分别是，，设. ①求的值； ②求圆心到直线的距离的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合公切线长的计算公式，即可求解； （2）①设点，得到，化简和，即可求得的值； ②设点，得到为直径的圆方程，公共弦所在的直线方程为，求得圆心到直线的距离为，，设，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 如图所示，因为， 所以外公切线长为. 【小问2详解】 解：①设点，则满足，可得， 所以， 由，得，所以； ②设点，以为直径的圆方程为， 即，所以两圆的公共弦所在的直线方程为， 则圆心到直线的距离为， 因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由函数的单调性，得的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南县惠泽高级中学2025～2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1.考试时长120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 直线过点,则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 使直线，，不能围成三角形的m的值有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线距离的最大值为5 10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 A B. C. D. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是圆上任意一点.则最大值是___________. 13. 如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为______． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，点为椭圆的左顶点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点在椭圆上， 且的面积为，求点的坐标. 17. 在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点． （1）若直线的斜率为，求线段的长度； （2）当的中点为时，求直线的方程. 18. 已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）求圆与圆的外公切线的长;（两圆的外公切线是指与两个圆都相切，且两圆位于公切线同侧的线;公切线长度是指切线段的长） （2）过圆上的任意一点作圆的两条切线，切点分别是，，设. ①求的值； ②求圆心到直线的距离的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $