2.3 确定二次函数的表达式（第2课时） 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦确定二次函数表达式，通过篮球投篮轨迹情境导入，衔接一次函数待定系数法及上一课时一般式基础，以问题驱动与讲练结合为支架，引导学生掌握已知三点或顶点加一点求表达式的方法。 该设计以情境激发兴趣，通过例1（三点求一般式）、练习1（交点式应用）等梯度问题，结合小组合作探究，培养学生数学眼光（观察现实世界）、数学思维（推理与方法优化）及数学语言（模型意识），提升学生分析解决问题能力，为教师提供清晰教学路径与分层资源。

2.3确定二次函数的表达式（第2课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第3节。内容包括：已知图像上三个点的坐标，求二次函数的解析式。已知图像的顶点坐标和另一个点的坐标，求二次函数的解析式。 （二）教学内容解析 这是本章的核心内容，也是学生学习函数知识的重要环节。它承接了上一课时利用待定系数法求函数解析式的思路，进一步将方法应用于更复杂和更具代表性的二次函数图像问题。 这节课的学习，不仅能让学生掌握确定二次函数表达式的两种基本方法，更能帮助他们理解函数图像与解析式之间的紧密联系，培养数形结合的思想。同时，这也是后续解决二次函数综合问题和实际应用问题的基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】会用一般式求二次函数的表达式． 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.学生能够熟练运用待定系数法，根据图像上三个点的坐标求出二次函数的解析式。 2.学生能够根据图像的顶点坐标和另一个点的坐标，求出二次函数的解析式。 3.通过对不同条件下求函数解析式的探究，让学生体验“数形结合”和“分类讨论”的数学思想。 4.培养学生分析问题、解决问题的能力，以及从数学实践中总结规律的能力。 （二）教学目标解析 1.. 达成知识目标的标志是：学生能根据所给的不同条件，选择合适的函数形式（一般式或顶点式），独立列出方程或方程组并求解，得到正确的函数表达式。 2. 达成过程目标的标志是：学生在解题时，能主动思考并讨论不同已知条件下选择哪种形式更简便，并能清晰地阐述自己的解题思路。 3. 达成情感目标的标志是：学生在课堂上能积极参与小组讨论和展示，敢于提出自己的疑问和不同见解。 三、学生学情分析 有知识基础： 学生已经学习了一次函数和反比例函数，掌握了用待定系数法求函数解析式的基本步骤。在上一课时，学生也初步接触了用待定系数法求二次函数的解析式，知道了二次函数的一般形式。 可能遇到的困难： 方法选择困难：面对不同的已知条件（如三个点、顶点加一个点），学生可能不知道选择哪种函数形式（一般式、顶点式）来解题更简便。 计算能力不足：解三元一次方程组或进行复杂的代数运算时，容易出现计算错误。 数形结合不熟练：从函数图像中准确提取关键信息（如顶点坐标、与坐标轴的交点）存在困难。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式． 四、教学策略分析 1. 情境引入法：通过一个与实际生活相关的二次函数图像问题引入新课，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 2. 问题驱动法：设计一系列有梯度的问题，引导学生思考、讨论、合作，逐步深入，自主构建知识体系。 3. 讲练结合法：教师进行必要的讲解和示范，学生通过课堂练习及时巩固所学知识，教师巡视指导，关注个体差异。 4. 小组合作探究法：对于有挑战性的问题，组织学生分组讨论，鼓励学生交流思想，互相启发，共同解决问题。 五、教学过程分析 （一）复习引入 活动1：展示一个篮球运动员投篮的轨迹图片或视频，并提问： 这个轨迹可以近似看作什么曲线？如果我们想知道球在任意时刻的高度，需要知道什么？ 设计意图：用学生熟悉的生活场景引入，直观形象，能迅速吸引学生的注意力，自然地引出本节课的主题——如何确定二次函数的表达式。 （二）主动参与、感悟新知 例1 已知二次函数的图象过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 已知三点求二次函数的解析式的一般步骤是什么？ 已知三点求二次函数的解析式的一般步骤： 设：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c； 代：把三点的坐标代入所设的函数解析式； 解：解三元一次方程组； 写：回代解析式，写成一般形式． 练习1： 1. 已知抛物线与x轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点 M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1. 这种通过设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，求二次函数表达式的方法叫做交点式法. 其步骤是： ①设函数表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)； ②先代入交点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 2.已知二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3)，求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为 y = a(x－1)(x－3), 将点(2,3)代入表达式，得 3 = a(2－1)×(2－3)解得 a = －3. 所以二次函数的表达式为y = －3(x－1)(x－3), 即 y = －3x2＋12x－9. 例2 一个二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流． 分析：A(0，1)，C(2，1) 两点纵坐标相同，为 1， ∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于(0，0)，(2，0) 两点的二次函数 y = a(x-0)(x-2)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-0)(x-2)+1. 练习2： 1.已知一个关于x的二次函数，当x分别为1,2,3时，对应函数值分别为3,0,4，求这个二次函数的表达式. 解：设该抛物线的解析式为y = ax2＋bx＋c,根据题意，得 2、已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1. 若抛物线y=(m＋1)x2－2x ＋ m2－1经过原点，则m的值为（ ） A.0 B.1 C. －1 D. ±1 2.已知二次函数y=ax2+ bx+c的x与y的部分对应值如下表:则此二次函数的表达式为___________________. 3. 已知二次函数经过点（0，2），（1，0）和（-2，3），求这个二次函数的表达式. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $