期中押题卷（测试范围：第21章～第24章）-2025-2026学年九年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

2025-2026学年九年级数学上学期期中押题卷 【人教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：第21章 一元二次方程—第24章 圆。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 2．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3 4．（3分）关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 5．（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（　　） A．37° B．38° C．39° D．40° 6．（3分）下列说法中，正确的是（　　） ①同圆中，所有的半径都相等；②圆中的直径是弦，弦是直径；③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；④相等的圆心角所对的弧相等． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 7．（3分）根据下表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 ﹣2 … A．yx2x B．yx2x C．yx2x D．yx2x 8．（3分）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，﹣m），B（1，m），C（﹣2，n），D（3，m），其中m，n为常数，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD．若BD＝4，CD＝2，AD＝10，则三角形ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为 　 　 ． 12．（3分）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　 　 ． 13．（3分）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为　 　 ． 14．（3分）如图，点A，B，C在圆O上，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若∠BPC＝130°，则∠BMC＝ 　 　 ． 15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a为常数），下列四个结论：①若a＞1，则该二次函数图象与x轴有两个交点；②该二次函数图象经过定点；③该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；④若a＞0，该二次函数图象与直线y＝x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＜2a．其中正确的结论序号是 　 　 ． 16．（3分）点C在以AB为直径的圆上，∠CAB＝30°，点E为线段AC的中点，点D在BE的延长线上，∠ADB＝30°，若AD＝2，则DB＝ 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（1）解方程：（3x+2）（x+3）＝x+14； （2）解方程：（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0． 18．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个长方形鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1米宽的门，两个鸡场总面积为96平方米，求AB的长． 19．（8分）已知函数y＝﹣x2+4x﹣3． （1）该函数图象的顶点坐标是 　 　 ；与y轴交点坐标是 　 　 ； （2）当y＞0时，则自变量x的取值范围是 　 　 ； （3）当0＜x＜4时，则函数y的取值范围是 　 　 ． 20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接AC、BC、OD，DF⊥AB于点F，∠CBA+2∠BAD＝90°． （1）求证：点D是的中点； （2）若BF＝1，DF＝2，求AC的长． 21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边AC与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再在线段AB上画点N，使得∠AMN＝45°； （2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转90°得到点C，再画点B关于直线PM的对称点Q． 22．（10分）如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式； （2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由； （3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度． 23．（10分）【问题背景】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BD＝CE； 【尝试运用】如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，E为边BC上不与点C重合的点，且DE＝DC，M为BE的中点，连接AM，DM．求∠DAM的度数； 【拓展创新】如图3，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC＝a，DA＝DE＝b，连接BD，CE，点F，G分别为CE，BD的中点，若∠CAE＝30°，请直接写出线段FG的长（用含a和b的式子表示）． 24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）直接写出A，B，C点的坐标； （2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； （3）如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，OM•ON＝n．当n为定值时，直线PQ是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中押题卷 【人教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：第21章 一元二次方程—第24章 圆。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【解答】解：将方程转化为一般形式得：， ∴常数项为﹣4， 故选：D． 2．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣1， 再向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2+1． 故选：C． 4．（3分）关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（　　） A．37° B．38° C．39° D．40° 【分析】先利用旋转的性质得∠A′＝∠A＝26°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，再利用等腰三角形的性质得∠B′＝∠CBB′，则根据三角形外角性质得∠CBB′＝70°，所以∠B′＝70°，然后利用三角形内角和定理计算∠BCB′的度数即可． 【解答】解：∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上， ∴∠A′＝∠A＝26°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′， ∴∠B′＝∠CBB′， ∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝26°+44°＝70°， ∴∠B′＝70°， ∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴α＝40°， 故选：D． 6．（3分）下列说法中，正确的是（　　） ①同圆中，所有的半径都相等；②圆中的直径是弦，弦是直径；③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；④相等的圆心角所对的弧相等． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【分析】根据半径的定义对①进行判断；根据弦和直径的定义对②进行判断；根据垂径定理的推论对③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对④进行判断． 【解答】解：同圆中，所有的半径都相等，所以①正确； 圆中的直径是弦，弦不一定是直径，所以②错误； 在圆中，弦的垂直平分线经过圆心，所以③正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以④错误． 故选：B． 7．（3分）根据下表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 ﹣2 … A．yx2x B．yx2x C．yx2x D．yx2x 【分析】根据表中数据得到抛物线过点（0，）和（2，），则利用抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＝1时，y＝﹣2，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），于是设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣2，然后把（﹣1，﹣1）代入求出a的值即可． 【解答】解：∵抛物线过点（0，）和（2，）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2） 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， 把（﹣1，﹣1）代入得4a﹣2＝﹣1，解得a， ∴抛物线解析式为y（x﹣1）2﹣2x2x． 故选：A． 8．（3分）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【分析】根据勾股定理和垂径定理求解． 【解答】解：如图， 根据题意得，D在OE上，OE⊥AB，DE＝2cm， ∴AB＝2AD， ∵OA＝OE10＝5cm， ∴OD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， ∴52＝32+AD2， ∴AD＝4cm（负值已舍）， ∴AB＝8cm， 故选：D． 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，﹣m），B（1，m），C（﹣2，n），D（3，m），其中m，n为常数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由B（1，m），D（3，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，从而2，则b＝﹣4a，又由题意可得，c＝﹣m，a+b+c＝m，4a﹣2b+c＝n，从而a﹣4a﹣m＝m，可得am，bm，最后可得n＝4a﹣2b+cmm﹣m＝﹣9m，进而可以判断得解． 【解答】解：由B（1，m），D（3，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴2． ∴b＝﹣4a． 又由题意可得，c＝﹣m，a+b+c＝m，4a﹣2b+c＝n． ∵a﹣4a﹣m＝m． ∴am，bm． ∴n＝4a﹣2b+cmm﹣m＝﹣9m． ∴． 故选：D． 10．（3分）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD．若BD＝4，CD＝2，AD＝10，则三角形ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】可将△BCD绕点C顺时针旋转60°，再利用勾股定理逆定理证明直角三角形，最后利用特殊角的三角函数值即可解决问题． 【解答】解：将△BCD绕点C顺时针旋转60°，则点B与点A重合，点D的对应点为点E，连接DE， 由旋转可知，△ACE≌△BCD，∠DCE＝60°， ∴AE＝BD＝4，CE＝CD＝2， ∴△CDE为等边三角形， ∴DE＝CD＝2． 过点C作DE的垂线，垂足为F， 则EF， ∴CFEF＝3， 则S△CDE， 又∵102+（2）2＝（4）2， 则AD2+DE2＝AE2， ∴△ADE是直角三角形，且∠ADE＝90°， ∴S△ACE10×210， ∴S△ACE+S△ACD＝107， 即S△BCD+S△ACD＝7， 过点C作AD的垂线，垂足为G， ∵∠ADE＝90°，∠CDE＝60°， ∴∠CDG＝30°， ∴CGCD， 则DGCG＝3， ∴AG＝10﹣3＝7， 在Rt△ACG中， AC2， 过点A作BC的垂线，垂足为H， 则CHBC， ∴AHCH， ∴S△ABC213， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为 　﹣12　 ． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而代入得出答案． 【解答】解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b）， ∴a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2， 解得：a＝﹣6，b＝2， 则ab的值为：﹣6×2＝﹣12． 故答案为：﹣12． 12．（3分）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣m， ∵2x1＝x2， ∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1， ∴x2＝﹣2， ∴﹣m＝x1•x2＝2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 13．（3分）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为　　 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意A与B的比赛，和B与A的比赛是同一场比赛，即可求解． 【解答】解：∵有x个队参赛， ∴， 故答案为：． 14．（3分）如图，点A，B，C在圆O上，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若∠BPC＝130°，则∠BMC＝ 　80°或100°　 ． 【分析】由三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB＝50°，由角平分线定义得到∠ABC+∠ACB＝100°，由三角形内角和定理求出∠BAC＝80°，当M在优弧BC上时，由圆周角定理得到∠BMC＝∠BAC＝80°，当M在劣弧BC上时，由圆内接四边形的性质得到∠M＝100°，于是得到∠BMC的度数． 【解答】解：∵∠BPC＝130°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣130°＝50°， ∵PB平分ABC，PC平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝100°， ∴∠BAC＝180°﹣100°＝80°， 当M在优弧BC上时， ∠BMC＝∠BAC＝80°， 当M在劣弧BC上时， 由圆内接四边形的性质得到：∠M＝180°﹣80°＝100°， ∴∠BMC＝80°或100°． 故答案为：80°或100°． 15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a为常数），下列四个结论：①若a＞1，则该二次函数图象与x轴有两个交点；②该二次函数图象经过定点；③该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；④若a＞0，该二次函数图象与直线y＝x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＜2a．其中正确的结论序号是 　①③　 ． 【分析】计算出所给二次函数的根的判别式，根据所给a的范围可得根的判别式的符号，即可判断二次函数图象与x轴的交点个数；把所给二次函数中的a看成任意数，整理后根据0乘任何数都得0可得二次函数图象经过的定点；把所给二次函数整理成顶点式，取顶点的横坐标为0，看纵坐标能否为正数即可；取抛物线和直线的解析式联立，利用根与系数的关系判断出x1﹣x2的值即可判断④是否正确． 【解答】解：Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）， ∵a＞1， ∴4a（a﹣1）＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点， 故①正确，符合题意； ∵y＝x2﹣2ax+a， ∴2ax﹣a＝x2﹣y， a（2x﹣1）＝x2﹣y， ∵a为任何数，0乘任何数都得0， ∴， 解得：， ∴该二次函数图象经过定点（，）， 故②错误，不符合题意； ∵y＝x2﹣2ax+a＝（x2﹣2ax+a2）+a﹣a2＝（x﹣a）2+a﹣a2， ∴抛物线的顶点为（a，a﹣a2）， 当a＝0时，a﹣a2＝0， ∴该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上， 故③正确，符合题意； ， ∴x2﹣2ax+a＝x， x2﹣（2a+1）x+a＝0， 设方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝2a+1，x1x2＝a， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2a+1）2﹣4a＝4a2+1， ∵（2a）2＝4a2，2a＞0， ∴|x1﹣x2|＞2a， 故④错误，不符合题意， 故答案为：①③． 16．（3分）点C在以AB为直径的圆上，∠CAB＝30°，点E为线段AC的中点，点D在BE的延长线上，∠ADB＝30°，若AD＝2，则DB＝ 　　 ． 【分析】由AB为直径得∠C＝90°，由∠CAB＝30°得ACAB，根据点E为线段AC的中点得AEAB，证明△ABD∽△EBA，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：方法一：∵AB为直径， ∴∠C＝90°， ∵∠CAB＝30°， ∴ACAB， ∵点E为线段AC的中点， ∴AEAB， ∵∠CAB＝∠ADB＝30°，∠ABD＝∠EBA， ∴△ABD∽△EBA， ∴， ∴， ∴DB． 故答案为：． 方法二：如图，设BD与圆交于点N，连接AN，过A作AF∥BC于点F， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠CBE，∠FAE＝∠BCE， ∵EF是AC中点， ∴AE＝CE， ∴△AFE≌△CBE（AAS）， ∴BE＝EF，S△AEF＝S△CBE， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∠ANB＝90°， 在Rt△ADN中，∠ADN＝30°，AD＝2， ∴ANAD＝1， ∴DN， 设AB＝2R， 在Rt△ACB中，∠CAB＝30°， ∴BCAB＝R，ACR， ∴CEACR， 在Rt△BCE中，BER， ∵S△AEFEF•AN，S△BCE， ∴EF•AN＝BC•CE，即EF＝RRR2， ∵BE＝EF， ∴RR2， 解得R， ∴BE，AE＝BE， 在Rt△AEN中，EN， ∴BD＝DN+EN+BE． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（1）解方程：（3x+2）（x+3）＝x+14； （2）解方程：（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0． 【分析】利用因式分解法依次对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）（3x+2）（x+3）＝x+14， 3x2+9x+2x+6﹣x﹣14＝0， 3x2+10x﹣8＝0， （x+4）（3x﹣2）＝0， 则x+4＝0或3x﹣2＝0， 所以． （2）（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0， （x+5﹣1）（x+5﹣3）＝0， （x+4）（x+2）＝0， 则x+4＝0或x+2＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝﹣2． 18．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个长方形鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1米宽的门，两个鸡场总面积为96平方米，求AB的长． 【分析】设AB的长为x米，则BC＝BF+CF＝34﹣3x+2＝36﹣3x，根据两鸡场的总面积为96m2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据BC＜20即可确定x的值，此题得解． 【解答】解：设AB的长为x米，则BC＝BF+CF＝34﹣3x+2＝36﹣3x， 根据题意，得：x（36﹣3x）＝96， 解得：x＝4或x＝8． 当x＝4时，BC＝36﹣3x＝24＞20， ∴x＝4不合适． 故x的值为8， 所以AB＝8米． 19．（8分）已知函数y＝﹣x2+4x﹣3． （1）该函数图象的顶点坐标是 　（2，1）　 ；与y轴交点坐标是 　（0，﹣3）　 ； （2）当y＞0时，则自变量x的取值范围是 　1＜x＜3　 ； （3）当0＜x＜4时，则函数y的取值范围是 　﹣3＜y≤1　 ． 【分析】（1）化为顶点式可求出顶点坐标，令x＝0，可求出与y轴的交点坐标； （2）根据二次函数与一元二次方程的关系，令y＝﹣x2+4x﹣3＝0求出与x轴的交点坐标，再结合开口方向即可求解； （3）由顶点式求出对称轴和顶点坐标，求出与x轴的交点坐标，结合函数的增减性即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴顶点坐标为（2，1）， 当x＝0时，y＝﹣3，因此抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3）， 故答案为：（2，1），（0，﹣3）； （2）令y＝﹣x2+4x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴该函数y＝﹣x2+4x﹣3图象与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）， ∵a＝﹣1＜0， ∴该函数y＝﹣x2+4x﹣3图象开口方向是向下， ∴当y＞0时，则自变量x的取值范围是1＜x＜3， 故答案为：1＜x＜3； （3）∵y＝﹣（x﹣2）2+1， ∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）， 由（2）知：抛物线y＝﹣x2+4x﹣3开口向下， ∴当x＝2时，y取最大值1；当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小； ∵0＜x＜4，|4﹣2|＝|0﹣2|， ∴x＝4对应的y值和x＝0对应的y值相等， 当x＝4时，y＝﹣42+4×4﹣3＝﹣3， ∴当0＜x＜4时，则函数y的取值范围是﹣3＜y≤1， 故答案为：﹣3＜y≤1． 20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接AC、BC、OD，DF⊥AB于点F，∠CBA+2∠BAD＝90°． （1）求证：点D是的中点； （2）若BF＝1，DF＝2，求AC的长． 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠C＝90°，则∠CBA+∠CAD+∠BAD＝90°，而∠CBA+2∠BAD＝90°，所以∠CBA+∠CAD+∠BAD＝∠CBA+2∠BAD，则∠CAD＝∠BAD，即可证明点D是的中点； （2）连接BD，则∠ADB＝90°，可用两种方法求AB的长，一是证明△DAF∽△BDF，则，求得AF4，则AB＝5；二是由DF⊥AB于点F，BF＝1，DF＝2，求得BD，则S△ABDAD2AB，所以ADAB，由AB2，求得AB＝5，则OA＝OB，由，得OD⊥BC，EC＝EB，可证明△BOE≌△DOF，得OE＝OF，则AC＝2OE＝3． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠CBA+∠CAD+∠BAD＝∠CBA+∠CAB＝90°， ∵∠CBA+2∠BAD＝90°， ∴∠CBA+∠CAD+∠BAD＝∠CBA+2∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴点D是的中点． （2）解法一：连接BD，则∠ADB＝90°， ∵DF⊥AB于点F，BF＝1，DF＝2， ∴∠AFD＝∠DFB＝90°， ∴∠DAF＝∠BDF＝90°﹣∠ADF， ∴△DAF∽△BDF， ∴， ∴AF4， ∴AB＝2OA＝2OB＝AF+BF＝4+1＝5， ∴OA＝OB， ∵， ∴OD⊥BC，EC＝EB， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF，OB＝OD， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF＝OB﹣BF1， ∴AC＝2OE＝23， ∴AC的长是． 解法二：连接BD，则∠ADB＝90°， ∵DF⊥AB于点F，BF＝1，DF＝2， ∴∠BFD＝90°， ∴BD， ∴S△ABDAD2AB， ∴ADAB， ∵AB2＝AD2+BD2， ∴AB2， 解得AB＝5或AB＝﹣5（不符合题意，舍去）， ∴OA＝OBAB5， ∵， ∴OD⊥BC，EC＝EB， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF，OB＝OD， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF＝OB﹣BF1， ∴AC＝2OE＝23， ∴AC的长是3． 21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边AC与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再在线段AB上画点N，使得∠AMN＝45°； （2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转90°得到点C，再画点B关于直线PM的对称点Q． 【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点C的对应点D即可．利用网格特征构造等腰直角三角形ATM，TM交AN于点N，点N即为所求； （2）利用网格特征作出等腰直角三角形ACP即可，线段AB交网格线于点J，连接CJ，延长CJ交网格线于点T，连接BT，线段AB交直线PM于点K，连接CK延长CK交BT于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，线段AD，点N即为所求； （2）如图2中，点P，点C即为所求． 22．（10分）如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式； （2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由； （3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度． 【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0），易得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）取x为游船宽度的一半，求得y的值，看是否高于安全距离即可； （3）表示出彩灯PQ+MN+PM的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）， 由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，﹣0.2）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2+1.8； （2）游船能够通过． 理由：由（1）得：抛物线解析式为：yx2+1.8， 当x＝0.8时，y0.82+1.8＝1.48． ∵1.48＞1.3+0.1， ∴游船能够通过； （3）设此时彩灯与抛物线交于点M（a，a2+1.8）， ∴PM＝2a， ∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m， ∴彩灯的最低点Q在直线y＝1.2上， ∴点N为（a，1.2）， ∴MNa2+0.6， 设彩灯的长度为w， w＝PM+2MN ＝2a﹣a2+1.2 ＝﹣a2+2a+1.2， ∵﹣1＜0， ∴a＝1时，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2． 答：这串彩灯的最大长度为2.2米． 23．（10分）【问题背景】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BD＝CE； 【尝试运用】如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，E为边BC上不与点C重合的点，且DE＝DC，M为BE的中点，连接AM，DM．求∠DAM的度数； 【拓展创新】如图3，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC＝a，DA＝DE＝b，连接BD，CE，点F，G分别为CE，BD的中点，若∠CAE＝30°，请直接写出线段FG的长（用含a和b的式子表示）． 【分析】【问题背景】手拉手模型，证△ABD≌△ACE（SAS）； 【尝试运用】根据M为BE中点，做倍长中线，延长AM至点A'，使得A'M＝AM，证△AME≌△AMB（SAS），再证∠A'ED＝90°＝∠ACD，通过边角关系得到∠A'DA＝∠CDE＝30°，即可得解； 【拓展创新】有图可识别出“脚拉脚”模型，连顶点，连接BF和DF，作倍长中线证△BDF是等腰直角三角形，即可得出GFBD，由∠CAE＝30°易得∠BAD＝60°，解△ABD求出BD的长即可得解． 【解答】【问题背景】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； 【尝试运用】解：延长AM至点A'，使得A'M＝AM，连接AE，AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝150°， ∴∠ABC＝∠ACB＝15°， ∵边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，DE＝DC， ∴∠DCE＝∠DEC＝75°，∠EDC＝30°，DE＝DC＝AC＝AB，∠ACD＝90°， ∵点M为BE的中点，即EM＝BM， 又∵∠A'ME＝∠AMB，A'M＝AM， ∴△AME≌△AMB（SAS）， ∴AE＝AB＝AC，∠A'EM＝∠ABC＝15°， ∴∠A'ED＝180°﹣∠A'EM﹣∠DEC＝90°＝∠ACD， 又∵DC＝AC＝DE＝A'E， ∴A'DAD，∠A'DE＝∠ADC＝45°， ∴∠A'DA＝∠CDE＝30°， ∴∠DAM＝∠DA'M＝75°； 【拓展创新】解：连接BF、DF，延长BF到点Q，使QF＝BF，连接EQ、DQ， ∵F是CE中点， ∴EF＝CF， ∵∠BFC＝∠EFQ，BF＝QF， ∴△BFC≌△QFE（SAS）， ∴BC＝EQ，∠BCF＝∠QEF， ∴EQ∥BC， ∵AB＝BC， ∴AB＝EQ， 延长DE交BC于点H，则∠DEQ＝∠DHC， ∵∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴在四边形ABHD中，∠BAD+∠BHD＝360°﹣（∠ABC+∠ADE）＝180°， ∵∠BHD+∠DHC＝180°， ∴∠BAD＝∠DHC， ∴∠BAD＝∠DEQ， ∵AD＝DE， ∴△ABD≌△EDQ（SAS）， ∴BD＝DQ，∠ADB＝∠EDQ， ∴∠BDQ＝∠EDQ+∠BDE＝∠ADB+∠BDE＝∠ADE＝90°， ∴△BDQ是等腰直角三角形， ∵BF＝FQ， ∴DF⊥BF，即∠BFD＝90°，DF＝BF， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∵G是BD中点， ∴FGBD， ∵∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝15°， ∴∠BAD＝60°， 如图，过D作DK⊥AB于点K，则∠ADK＝30°， 在Rt△ADK中，AD＝b，∠ADK＝30°， ∴，DKb， ∵AB＝a， ∴BK＝ab， 在Rt△DBK中，BD， ∴FGBD． 24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）直接写出A，B，C点的坐标； （2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； （3）如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，OM•ON＝n．当n为定值时，直线PQ是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由． 【分析】（1）对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3，即可求解； （2）①当BC是边时，用数形结合的方法求出点T（0，﹣7），即可求解；当DE在BC上方时，同理可解；②当BC是对角线时，由S△BCD＝15DH×OB，即可求解． （3）求出OM＝3﹣a，同理可得：ON＝3﹣b，进而求解． 【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3， 当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3， 即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）； （2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，BC＝3， ①当BC是边时，如图， 当DE在BC下方时， 设DE交y轴于点T，过点T作TG⊥BC于点G， 则由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积＝BC×TG＝3GT＝30， 则GT5， 由OB＝OC＝3知，∠TCG＝45°， 则CTGT＝10， 则点T（0，﹣7）， 则直线DE的表达式为：y＝﹣x﹣7， 联立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣x﹣7并解得：x＝5或﹣2， 即点D（﹣2，﹣5）或（5，﹣12）； 点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B， 则点D向右平移3个单位向下平移3个单位得到点E或点E向右平移3个单位向下平移3个单位得到点D， 故点E（1，﹣8）或（8，﹣15）或（﹣5，﹣2）（舍）或（2，﹣9）； 当DE在BC上方时， 同理可得：直线DE的表达式为：y＝﹣x+13， 联立抛物线得：x2﹣3x+10＝0， ∴x无解； ②当BC是对角线时，如图： 则S△BCD＝15， 设点D（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， 则DH＝﹣x2+3x， 则S△BCD＝15DH×OB（﹣x2+3x）， 该方程无解； 综上，E（1，﹣8）或（8，﹣15）； （3）经过定点，理由： 设点P、Q的坐标分别为：（a，﹣a2+2a+3）、（b，﹣b2+2b+3）， 由点A、P坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（a﹣3）（x+1）， 当x＝0时，y＝3﹣a＝OM， 同理可得：ON＝3﹣b， 则（a﹣3）（b﹣3）＝n， 即ab﹣3（a+b）+9﹣n＝0， 设直线PQ的表达式为：y＝kx+m， 联立PQ和二次函数表达式并整理得：x2+（k﹣2）x+m﹣3＝0， 则a+b＝2﹣k，ab＝m﹣3， 则m﹣3﹣3（2﹣k）+9﹣n＝0， 即m＝n﹣3k， 则PQ的表达式为：y＝kx﹣3k+n＝k（x﹣3）+n， 则直线PQ过点（3，n）． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $