精品解析：江苏省南京师范大学附中扬子中学2025-2026学年高一上学期10月学情调研测试数学试题

2025-2026学年第一学期10月学情调研测试 高一数学 命题：张朋举 审题：卓杰 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，则集合的真子集个数是3 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 10. 已知关于的不等式的解集为，则（） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则______． 12. 若关于的一元二次不等式的解集为，则______. 13. 已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. （1）计算：； （2）已知，求的值. 15. 已知集合，且. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知正数满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 17. 已知函数. （1）若该函数恰有一个零点，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）若关于的不等式的解集为，且存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围. 18. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； （3）若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期10月学情调研测试 高一数学 命题：张朋举 审题：卓杰 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】集合是奇数集，所以. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 3. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 4. 对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案. 【详解】由，得到， 又因为，所以，故C正确； 当时，，故AD错误； ，故B错误. 故选：C 7. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过对进行赋值及利用两个性质可判断各个选项. 【详解】由于0不能作除数，所以，A正确；由性质①，取可得，B正确； 因为，所以，由性质①，即，C正确； 假设若，则，取可得与矛盾，D错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，则集合的真子集个数是3 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，化简集合A，利用公式计算；对，利用充分、必要条件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A：集合， 所以集合A的真子集个数为，A正确； 对于B：若“方程有一个正根和一个负根”， 则， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，B正确； 对于C：解，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D：若，则且，故推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知且和2是方程的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C. 【详解】关于的的不等式的解集为, 且和2是方程的两个根, ， 对，故A正确. 对可化为 ,解的, 不等式的解集为，故B错误. 对，1和2是方程的两个根, 且二次函数开口向上, 当时，，即，故C正确. 对D，不等式可化为, ,即，解得 不等式的的集为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】写出集合的所有非空子集，然后根据题意列出等式，化简即可求解. 【详解】集合的非空子集有， 依题意, 所以 故答案为：5. 12. 若关于的一元二次不等式的解集为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到判别式的值和的正负，从而解出和的值，得到的值. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且， 所以，解得， 代入一元二次方程得，解得，所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设，则， 所以 , 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】（1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 15. 已知集合，且. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分别化简两个集合，求出并集，然后可得补集； （2）利用必要条件得出集合包含关系，列出不等关系可得答案； （3）利用，列出不等关系可得答案. 【小问1详解】 由，可得，即，, 所以，所以或. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为，所以或，即或， 因为，所以或. 16. 已知正数满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式1的妙用求解； （2）题干条件可转化为，问题可转化为求的最小值. 【小问1详解】 因为都是正数 则， 当取等号，结合可知取等号，的最小值是； 【小问2详解】 由可知，又， 由，平方可得，又是正数，则， 当取得等号，此时， 即的最小值是. 17. 已知函数. （1）若该函数恰有一个零点，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）若关于的不等式的解集为，且存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或或 （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次项系数分为和讨论，当时，要使二次函数恰有一个零点，令即可求解. （2）当时，原不等式可化为，即可求解；当时，原不等式可化为.根据三个“二次”之间的关系分当和讨论，当时，根据两根大小分类讨论即可求解； （3）由不等式的解集为可得和是的两个根，且，结合韦达定理即可解得.故由题可得存在，使关于的不等式有解，分离参数可得在上有解，故.根据函数在上的单调性求最值即可求解. 【小问1详解】 当时，函数，令，解得，此时函数恰有一个零点； 当时，要使二次函数恰有一个零点，即方程只有一个解，则，解得或. 综上，或或. 【小问2详解】 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，即. 当时，解得； 当时， ①当即时，解得； ②当即时，解得或； ③当即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 ∵关于的不等式的解集为， ∴和是的两个根，且， ∴由韦达定理可得，解得. ∴存在，使关于的不等式有解， 即在上有解，∴在上有解，∴， ∵在上单调递增，∴当时，取得最小值， ∴. 18. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； （3）若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）(答案不唯一)，理由如下： ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 【解析】 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）举一个满足条件的集合，利用差倍集的定义写出其差倍集即可证明. 【小问1详解】 根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. 【小问2详解】 已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. 【小问3详解】 为满足题意的一个集合，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $