精品解析：浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（B卷）

浙江强基联盟2025年10月高一联考 数学试题（B卷） 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因集合，，所以. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由“存在量词命题，的否定为，”判断. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以所求否定是：，. 故选：A 3. 集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 4. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例即可判断ACD，利用不等式性质证明B即可. 【详解】对于A，若，，则，，，∴A错； 对于B，若，两边同时除以不为0的，则，∴B对； 对于C，若，，，但，∴C错； 对于D，若，，则，，∴，∴D错. 故选：B. 5. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可. 【详解】设集合，， 由题意因为是的充分不必要条件， 则是的真子集，∴∴. 故选：D. 6. 已知，，则M，N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与x的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】将两函数进行作差进而判断大小. 【详解】已知，， 则. 故选：C. 7. 若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象用表示出和，再代入不等式求解即得. 【详解】由图可知，，，， 所以，， 所以，， 所以等价于， 因为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：B. 8. 给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（ ） A. 是规范数集，不是规范数集 B. 是规范数集，是规范数集 C. 不是规范数集，是规范数集 D. 不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【解析】 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】由题意知集合中两个数相减最小值若为1，则该集合是规范数集. 集合，当时，， 即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集； 集合， 因为， 即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集； 综上：不是规范数集，是规范数集. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则集合N可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据子集、真子集关系，逐个选项判断即可. 【详解】A选项，符合； B选项，不符合； C选项，符合； D选项，不符合； 故选：AC. 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，B，∵（当且仅当时，等号成立）， ∴，∴，∴A错B对； 对于C，， （当且仅当时等号成立，与联立可得，时等号成立），∴C对； 对于D，，由B选项知，∴D对 故选：BCD. 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先将不等式化为一元二次不等式的标准形式，再根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识来逐一分析选项. 【详解】由题可知，是方程的两根，∴，，A选项正确； 由图可知，当时，，，B选项错误； 当时，，.C选项错误； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选:AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程的两根为，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用韦达定理即可求解. 【详解】∵方程的两根为，， ∴，，. 故答案为：3 13. 若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】令. ∵函数对称轴为直线， ∴要使有两个正整数实根， 这两个根只能， 则当时，,且时，， 解得. 故答案为： 14. 已知实数满足，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造同解方程，利用韦达定理，代入化简即可. 【详解】已知实数满足，. 将两边同除以得， 又∵，∵，∴， ∴，是方程的两个根. ∴，. ∴. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 将下列各式分解因式. （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用提公因式和平法差因式分解； （2）利用十字相乘法因式分解； （3）利用拆项后分组分解法因式分解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 .. 16. 已知集合，. （1）若，求和； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）， （2）或或. 【解析】 【分析】（1）计算出集合、后利用并集、补集与交集定义计算即可得； （2）分及，结合集合间关系讨论并计算即可得. 【小问1详解】 若，则，则， 又， 所以，； 【小问2详解】 若，则，显然满足； 若，则，， 由得，或，故或； 综上：或或. 17. 若且. （1）求的最小值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）9. （2）. 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式，得到关于的不等式，求解即可； （2）结合基本不等式，得到关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由于，则（当且仅当时取等号）， 得，故或（舍），所以， 所以的最小值是9. 【小问2详解】 由于，则（当且仅当时取等号）， 得，故或（舍），. 所以的取值范围是. 18. 已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接. （1）设，，请写出x与a的关系式（用x表示a）； （2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值. 【答案】（1）； （2）的最大值是，. 【解析】 【分析】（1）作于，根据给定条件，结合勾股定理列式求解. （2）证明，求出与的函数关系，利用基本不等式求出最大值. 小问1详解】 在直角梯形中，，过点D作的垂线，垂足为F， 则四边形是矩形，由，，得，， 在中，，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，，得， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，此时. 19. 已知二次函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据开口向上，只需要即可； （2）讨论对称轴与0，1的关系，讨论最值即可； （3）根据二次函数性质，讨论端点情况以及对称轴、判别式的情况，列不等式求解即可. 【小问1详解】 恒成立，故，所以. 【小问2详解】 对称轴， ①当，即时，当时，，故，所以； ②当，即时，当时，，故，所以，舍去. ③当，即，当时，，故，所以或（舍去）. 综上：或. 【小问3详解】 当时，；当时，； （i）当，即时，符合题意； （ⅱ）当时，此不等式组无解. 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2025年10月高一联考 数学试题（B卷） 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 设，则下列选项中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则M，N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与x的取值有关 7. 若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（ ） A. 是规范数集，不是规范数集 B. 是规范数集，是规范数集 C. 不是规范数集，是规范数集 D. 不是规范数集，不是规范数集 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则集合N可以是（ ） A. B. C. D. 10 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 最小值为 D. 的最小值为 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程的两根为，，则______. 13. 若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______. 14. 已知实数满足，，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 将下列各式分解因式. （1）； （2）； （3）. 16. 已知集合，. （1）若，求和； （2）若，求实数的值. 17. 若且. （1）求的最小值； （2）求取值范围. 18. 已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接. （1）设，，请写出x与a关系式（用x表示a）； （2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值. 19. 已知二次函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $