三角函数与解三角形专题检测卷——2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习三角函数与解三角形专题检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）（人教A（2019）版） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2（2024上海）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且b=1，，，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 4（2024新课标全国Ⅰ）已知，则（    ） A． B． C． D． 5（2024新课标全国Ⅰ）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 7（2024全国甲）在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9（2024新课标全国Ⅱ）对于函数和，下列说法正确的有（    ） A.与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域是 11（2025全国1）已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12．已知角的终边经过点，则 ． 13．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为 14．在中，，，，为边上的高，则的长是 ． 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数. (1)求的最小正周期；对称中心. (2)将图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，（），所得图象关于轴对称，求值. 16（2024新课标全国Ⅰ）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1).求角B； (2).若的面积为，求c． 17（2025天津）在中，角的对边分别为．已知，，． （1） 求A的值； （2） 求c的值； （3）求的值． 18．（2024北京）在△ABC中，，A为钝角，． (1) 求； (2) 从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积． ①； ②； ③． 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． 19．已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 解析： 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由三角函数定义求出和，再由诱导公式结合两角差的正弦公式计算即可. 解析：由题意得，， 则. 故选：B 2（2024上海）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 解析：对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误，故选：A． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且b=1，，，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由，利用正弦定理求得，再根据余弦定理，可得的值，从而求得△ABC的面积. 解析：在△ABC中，∵，∴利用正弦定理可得， 由余弦定理得， 解得， . 故选：C. 点睛：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题. 4（2024新课标全国Ⅰ）已知，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 解析：因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5（2024新课标全国Ⅰ）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 分析：画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 解析：因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 6．若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 答案：A 分析：利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得， 进而求得，即可判断. 解析：利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 7（2024全国甲）在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 解析：因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为内角，则，则.故选：C. 8．在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的周长为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求得，结合角的范围，可求得，应用正弦定理求得外接圆的半径，利用圆的周长公式即可求得结果. 解析：在中，由余弦定理，得， 因为，， 所以，即，可得， 化简得，即，因为，所以， 又由正弦定理，得，其中为外接圆的半径， 所以，所以外接圆的周长． 故选：C. 点睛:该题考查的是有关求解三角形外接球周长的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式，圆的周长公式，在解题的过程中，一定要注意角的范围不能丢. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9（2024新课标全国Ⅱ）对于函数和，下列说法正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 答案：BC 分析：根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 解析：A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域是 答案：BC 分析：根据函数图象的平移可得的表达式，即可利用整体法，结合选项逐一求解. 解析：由题意可知， 故，故A错误， 对于B，，故是的一个对称中心，B正确， 对于C,当时，，故函数在上单调递增，C正确， 对于D, 当，则，故，故，D错误，故选：BC 11（2025全国1）已知的面积为， 若，则（ ） A. B. C. D. 答案：ABC 分析：对由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况比较和的大小，亦可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 解析：，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，，展开可得， 即， 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾，故不成立，则 由，由，则，即， 则，同理，注意到是锐角，则， 不妨设，则，即， 由两角和差正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12．已知角的终边经过点，则 ． 答案： 分析：先由三角函数定义求出，再结合诱导公式化简即可求值. 解析：由题得， 则. 故答案为： 13．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为 . 答案：直角三角形 分析：利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状. 解析：，由正弦定理得， 即， ，则，，，. 因此，为直角三角形. 故答案为：直角三角形. 点睛:本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题. 14．在中，，，，为边上的高，则的长是 ． 答案： 分析：在中，已知，由余弦定理可求得；又因为为直角三角形，由正弦定理即可求得的长. 解析：因为，所以，所以. 故答案为：. 点睛:本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中等题型. 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数. (1)求的最小正周期；对称中心. (2)将图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，（），所得图象关于轴对称，求值. 分析：（1）据诱导公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解周期，利用整体法即可求解对称中心， （2）根据函数图象的伸缩平移变换得函数表达式，即可根据三角函数的奇偶性求解. 解析：（1） ， 所以的最小正周期. 令,则， 故对称中心， （2）将图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再将向左平移个单位长度，得到函数（）， 由于的图象关于轴对称，故, 则， 由于，故或 16（2024新课标全国Ⅰ）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 分析：（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 解析：（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以，从而， 又因为，即，注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而，由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得，所以. 17（2025天津）在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 分析：（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 解析：（1）已知，由正弦定理， 得，显然，得，由，故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理，则， 解得（舍去），故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 18（2024北京）在△ABC中，，A为钝角，． (3) 、求； (4) 、从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积． ①；②；③． 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． 分析：（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 解析：（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得，因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则， 则 19．已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 分析：（1）整理函数的解析式，利用三角函数的性质即可求出 的对称中心； （2）①由题意首先求得， 对化简得，应用余弦定理得，进而判断形状； ② 利用余弦定理和重要不等式求得，再根据三角形面积公式求得面积最大值. 解析：（1）因为，， ，， 令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）①因为，所以， 因为，所以， 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即 所以，又，所以为等边三角形. ②因为，， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 所以面积的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $