第3章二次根式 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第3章二次根式》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列属于最简二次根式的是（） A． B． C． D． 3．下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．若，则代数式的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 7．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如果最简二次根式与可以合并，则x= 9．不等式的解集是 ． 10．实数和在数轴上如图所示，化简的结果是 ． 11．若某长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为 ． 12．已知、都是实数，且，则 ． 13．若实数满足，则的值为 ． 14．观察下列各式： ， ， ，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)． 17．已知． (1)求的值； (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 18．阳光中学有一块矩形活动区域．为积极响应国家政策，确保学生每天获得不少于2小时的体育锻炼时间．学校计划每天组织多样化的体育活动，并将原本的活动区域扩大，在原来矩形的基础上，按如图的方式扩大成一个面积为的正方形活动区域．已知将边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积． 19．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．    (1)求长方形的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 20．阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数，当二次根式没有意义，则被开方数为负数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内没有意义， ∴ ∴， 故选：C 2．A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式的化简，熟记定义是解题关键． 直接利用最简二次根式的定义，逐项分别判断即可． 【详解】解：A．无法化简，是最简二次根式，故此选项正确； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误． 故选A． 3．B 【分析】本题考查了同类二次根式，理解其定义是解题的关键．判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并． 【详解】解：A．不能进行化简，被开方数为30，与不是同类二次根式，无法合并，故该选项不符合题意； B．，与为同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意； C．，与不是同类二次根式，无法合并，故该选项不符合题意； D．，与不是同类二次根式，无法合并，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可． 【详解】A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，二次根式计算，掌握相关知识是解决问题的关键．先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 8．2 【分析】根据同类二次根式的定义求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴2x+1=5， ∴x=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 9． 【分析】此题主要考查二次根式分母有理化，解一元一次不等式，正确理解不等式性质是解题关键．直接根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、化系数化为1进行即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了二次根式的应用．直接利用矩形面积求法结合二次根式乘法运算法则得出答案． 【详解】解：长方形的长为，宽为， 此长方形的面积为： ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】此题考查二次根式的化简求值，平方差公式，设，则有，根据平方差公式即可求出的值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 14．（为整数，且） 【分析】本题考查了二次根式有关的规律题，观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， ∴第的式子为（为整数，且）， 故答案为：（为整数，且）． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法及混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解答本题的关键． （1）将原式中的各二次根式进行化简后再合并即可； （2）原式根据平方差公式与完全平方公式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 17．(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化． （1）先求出，然后将化为，再代入求值即可； （2）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算． 【详解】（1）解：因为， ∴， ∴ ． （2）解：因为为的整数部分，为的小数部分，，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 18．学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，求得长方形的面积是解题的关键． 先根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到，据此可求出的长，则可求出长方形的面积，再用正方形面积减去长方形的面积即可解答． 【详解】解：∵正方形活动区域面积为， ∴， ，． ∴原活动区域的面积为． ． 答：学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为． 19．(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2） （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 20．(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根有理化因式的概念和题中的方法进行解答即可； （2）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （3）先分母有理化得到，进一步得到，再整体代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一） （2）解： （3）解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $