3.3二次根式的加法和减法 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《3.3二次根式的加法和减法》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 4．已知，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．8 5．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 6．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，则 ． 9．已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 10．若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为 ． 11．已知，那么的值是 ． 12．已知，则 的值为 ． 13．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 14．海伦—秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积是 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．计算 (1) (2) 17．已知，求代数式的值． 18．先化简，再求值：，其中． 19．某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 20．先阅读，再解答： 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请解决下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；直接写结果 (3)利用你发现的规律计算：． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，掌握同类二次根式概念和化简二次根式为最简二次根式方法是解题关键．判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同即可. 【详解】A. ，能与合并，故不符合题意； B. ，能与合并，故不符合题意； C. ，能与合并，故不符合题意； D. ，不能与合并，故符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，它们均为基础且重要知识点，应熟练掌握． 将和分别化简为最简二次根式后相减，得到，再估算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的值在1和2之间， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查平方差公式，先计算，，再代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：D 5．B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的边长，再利用“阴影面积=大长方形的面积-两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的关键． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴图中两个正方形的边长分别为：和， ∴图中最大长方形的长为，宽为， ∴图中阴影部分面积为：． 故选：C． 8． 【分析】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，再把的值代入计算即可求解，熟练运用完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．3 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出题干所给的两个二次根式是同类二次根式是解题的关键； 根据题意可得与是同类二次根式，进而可得关于a的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得； 故答案为：3. 10． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要能根据题意化简二次根式并进行计算是关键．依据题意，由三角形的边长分别为，和，则它的周长，进而得解． 【详解】解：由题意，三角形的边长分别为，和， 它的周长 ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了分式的运算，二次根式的运算，先求出，，，再根据 进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 则 ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 15．(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除，再合并即可； （2）根据二次根式、绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（1）解： ； （2）解： ． 17． 【分析】根据求得，后代入代数式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，平方差公式和代数式求值，把要求的代数式进行正确变形化简是解题的关键． 【详解】解：由得， 故 ． 18． 【分析】本题考查分式的化简求值以及二次根式的分母有理化．熟练掌握各运算法则是解答本题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，再把代入化简后的式子，最后根据分母有理化法则计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．(1) (2)1056元 【分析】本题考查二次根式混合运算解决实际问题，读懂题意，熟记矩形周长及面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由矩形性质直接求周长即可得到答案； （2）由矩形面积公式求出铺设地砖的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的绿地，绿地的长为，宽为， 矩形的周长是； （2）解：由题意得购买地砖需要花费为（元）, 答：购买地砖需要花费1056元． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）将分子分母同乘并将计算即可； （3）根据规律将原式化简后再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得的有理化因式是， 故答案为：； （2）原式 故答案为：； （3）原式 学科网（北京）股份有限公司 $