3.2二次根式的乘法和除法 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《3.2二次根式的乘法和除法》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各数中，与的乘积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若，则运算符号“”表示（   ） A． B． C． D． 6．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 7．如果，那么下面各式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： = ． 9．计算的结果是 ． 10．若的值是一个整数，则正整数a的最小值是 ． 11．等式成立的条件是 ． 12．计算的结果为 ． 13．已知长方体的体积，高，则它的底面积为 ． 14．我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算． (1) (2) 19．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________；…… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 20．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法及有理数的定义，根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据有理数的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、为无理数，故本选项不符合题意； B、为无理数，故本选项不符合题意； C、为无理数，故本选项不符合题意； D、为有理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．根据二次根式的乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法运算，正确化简计算是解题的关键． 将转化为含和的表达式，结合已知条件，进行化简． 【详解】解： 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据算式特点和运算结果判断即可． 【详解】解：∵． ∴符号“”表示． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、直角三角形面积公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据直角三角形的面积公式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的面积为 ． 故选：B． 7．C 【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键． 由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可． 【详解】解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数． A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误； B、 ，故选项错误； C、 ，故选项正确；     D、 ，故选项错误； 故选：C 8． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再计算二次根式的乘法，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 故答案为：x 9． 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，根据二次根式的除法计算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查了二次根式的乘法； 先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则进行判断． 【详解】解：， 因为的值是一个整数， 所以正整数a的最小值是3， 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案．理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴等式成立的条件是． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了二次根式除法在计算长方体底面积中的应用，根据长方体的底面积等于体积除以高列式计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，则，再进一步化简计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 16．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 18．(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘、除法，算术平方根． （1）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 19． 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $