3.1二次根式的概念及性质 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《3.1二次根式的概念及性质》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C． D．11 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 5．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．6 D．108 6．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 二、填空题 8． ， ． 9．使有意义的x的取值范围是 ． 10．将二次根式化为最简二次根式 ． 11．已知，，估计的值约为 ．（结果精确到两位小数） 12．已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ． 13．已知、为实数，，则的平方根为 ． 14．将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 三、解答题 15．把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知的三边长、、满足，求的周长． 17．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 18．学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． (1)根据上述规律，__________； (2)请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； (3)按此规律，若（为正整数），求的值． 19．先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 20．阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、当时，被开方数为负数，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D. 3．C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴n的最小正整数值是：3． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 8． 【分析】本题考查的是求一个数的平方根及二次根式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键，根据法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：，． 9．且 【分析】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，根据分式的分母不为0及二次根式的被开方数大于或等于0进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， ∴且； 故答案为：且． 10． 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式的性质及算术平方根的估算，解题的关键是利用二次根式的性质，其中，将待求的算术平方根转化为已知的算术平方根进行计算． 观察可知可分解为与的乘积，而是完全平方数，因此可利用二次根式的性质将转化为，再结合已知的和进行估算． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式的性质，可得： ． ∵，， ∴． 故答案为：． 12．1 【分析】本题考查了二次根式的性质：，分情况讨论即可确定a的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上知，当时，的值是一个常数，这个常数为1； 故答案为：1． 13． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根．根据二次根式的有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 即且， 所以， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前五行共有个数，第个数为，从而可得第六行左起第1个数是第个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前五行共有个数，第个数为， 则第六行左起第1个数是， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把27写成，然后化简； （2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简； （3）分子分母都乘以5，然后化简； （4）先把分母化简，然后分子分母同乘以，然后化简． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 16．14 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和非负数的性质得到，，，求出，，，进而求解即可． 【详解】解：， ∴ ∴， ，，， ，，， ． ∴的周长为14． 17．（1）1（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，理解题意熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据隐含条件得出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴得，，，进一步判断出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ， ； （2）由数轴得，，， ，， ． 18．(1) (2) (3)71 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，证明如下： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是找出规律． （1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据给出的式子，写出第n个等式即可 （3）根据题目中的规律计算即可得到结论． 【详解】（1）解：第7个等式为； 故答案为：； （2）第 n个等式为； 故答案为：； （3） ， ∴不超过m的最大整数是2024． 20．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． （1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时， 原式； （2）解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 学科网（北京）股份有限公司 $