河南省叶县高级中学2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(一)

2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(一)(解析版) （人教A版选择性必修一前两章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 【答案】A 【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案. 【详解】由，得， 所以． 故选：A． 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的运算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为，其坐标为． 故选：D. 3．直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，利用空间向量基本定理可得，再结合模长及数量积运算律求出的余弦值即可. 【详解】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以. 故选：A. 4．已知直线，，若，则（   ） A．或2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】根据一般式下两直线垂直的充要条件得到方程，求解可得. 【详解】因为直线，，且， 所以，解得. 故选：D 5．已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．既不充分又不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】先由两直线平行求出参数，再由充要条件定义进行判断. 【详解】若“”，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：D 6．满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为，设直线的斜率为，则直线方程为，求得直线与轴和轴的交点，再结合三角形面积公式，对斜率的取值，进行分类讨论，即可求解. 【详解】根据题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为， 设直线的斜率为，则直线方程为，即， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积，即， 当时，，即，， 所以二次方程有两个不同的实数根， 即存在条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 当时，，即，， 所以二次方程不存在实数根， 即不存在直线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 综上所述，经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线有条. 故选：B 7．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 即曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆在轴及轴上方部分的半圆， 直线经过定点，如图， 当直线与半圆相切时，， 所以直线与曲线恰有两个公共点时，由图可知，， 即. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题不正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面所成角为 D．两个平面的法向量分别是，则 【答案】BCD 【分析】选项A、D可根据对应向量是否共线进行判断；选项B可根据向量数量积是否为零进行判断；由空间向量的线面角公式可得C错误. 【详解】对于A，由题意可得，所以，则，故A正确； 对于B，，所以， 则或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，，则，故C错误； 对于D，由，所以不共线，则也不平行，故D错误. 故选：BCD. 10．下列说法不正确的是（   ） A．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 D．若直线与平行，则与的距离为 【答案】AC 【分析】对于A，要考虑截距为0，从而即可判断；对于B，只需考虑圆与圆的位置关系即可进一步判断公切线条数；对于C，由直线垂直的充要条件列方程即可；对于D，由直线平行的充要条件列方程，再结合平行线间的距离公式验算即可. 【详解】对于A，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程也可以是，故A错误； 对于B，由配方得，其圆心为半径为， 圆的圆心为半径为，两圆的圆心距为， 因，则两圆相交，故它们有两条公切线，故B正确； 对于C，“直线与直线互相垂直”的充要条件是，即或，故C错误； 对于D，若直线与平行，则，即， 则直线与的距离为，故D正确. 故选：AC. 11．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．当为等边三角形时， B．的最小值为4 C．的最小值为 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理和勾股定理计算可判断A，B，根据三角形等面积法计算得，可计算并判断C，通过设点的坐标为，可得以线段为直径的圆的方程为，与圆方程联立可得交线的方程为，从而可得出定点判断D. 【详解】 对于A，若为等边三角形，则， 又，根据余弦定理，，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，在中，根据等面积法，可得， 得，故C正确； 对于D，设点的坐标为， 以线段为直径的圆的方程为，整理得， 将代入可得直线的方程为，可知点一定在直线上，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面法向量，点在面内，若点到距离为，则 【答案】或 【分析】先求向量的坐标，利用空间向量的点面距离公式，列方程即可求解． 【详解】由点在平面内，点，得， 因为平面的一个法向量，点到的距离为， 所以，即，解得或. 故答案为：或 13．已知直线与直线，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 14．已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，由可得，再判断点在圆内，即可求解. 【详解】设，由可得， 化简可得：，则动点轨迹为圆，圆心为，半径为， 又，所以点在该圆内， 所以动点与点距离的最大值为. 故答案为：. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量和； (2)求. 【答案】(1)，； (2)2 【分析】（1）根据给定的图形，利用空间向量的一个基底表示和. （2）利用空间向量数量积的运算律及数量积的定义求解. 【详解】（1）如图，；. （2）由，， 得；， 所以 . 16．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，.    设平面的一个法向量为， 又，，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. （2）解：由（1）知，，. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. （3）解：由（1）知平面的一个法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 又， 所以，即二面角的正弦值为. 17．已知直线的方程为. (1)求直线过定点的坐标； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1) (2)时，到直线的距离最大，最大距离是. 【分析】（1）化简直线为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到当与直线垂直时，点到直线的距离最大，列出方程，求得的值，得到直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立方程组，解得， 所以直线过定点的坐标为. （2）当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，解得，即的方程为， 则点到直线的最大距离为， 故当时，到直线的距离最大，最大距离是. 18．已知点，点B在x轴负半轴上，直线AB在两坐标轴上的截距相等. (1)求直线AB的方程； (2)已知点和，点P在直线AB上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由题意设直线AB的方程为（）代入点求得即得； （2）设点C关于直线AB对称的点为，根据对称得，求出即可. 【详解】（1）因为点B在x轴的负半轴上，所以设直线AB的方程为（）， 将点A的坐标代入，得，解得 所以直线AB的方程为. （2）设点C关于直线AB对称的点为，则， 由（1）知直线AB的方程为，其斜率为， 则，解得，即. 所以， 所以的最小值为10. 19．已知圆，，为坐标原点. (1)若，求圆与圆的公共弦长； (2)若圆上存在点，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两圆的公共弦的方程，利用圆的弦长公式求得答案； （2）设，由可求得M的轨迹方程，结合M在圆C上，可判断两圆有公共点，列出不等式即可求得答案. 【详解】（1）当时，圆即为圆， 的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 则，即两圆相交， 将与相减得， 即两圆公共弦的方程为， 到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为； （2）设，由，得， 即得， 即M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 又因为M在圆上，即圆D和圆C有公共点， 故，即，即， 解得， 即a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(一)(原卷版) （人教A版选择性必修一前两章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，，若，则（   ） A．或2 B．1 C．1或 D． 5．已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．既不充分又不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 6．满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题不正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面所成角为 D．两个平面的法向量分别是，则 10．下列说法不正确的是（   ） A．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 D．若直线与平行，则与的距离为 11．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．当为等边三角形时， B．的最小值为4 C．的最小值为 D．直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面法向量，点在面内，若点到距离为，则 13．已知直线与直线，若，则 ． 14．已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量和； (2)求. 16．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 17．已知直线的方程为. (1)求直线过定点的坐标； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18．已知点，点B在x轴负半轴上，直线AB在两坐标轴上的截距相等. (1)求直线AB的方程； (2)已知点和，点P在直线AB上运动，求的最小值. 19．已知圆，，为坐标原点. (1)若，求圆与圆的公共弦长； (2)若圆上存在点，使得，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $