河南省叶县高级中学2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(三)

2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(三)(解析版) （人教A版选择性必修一前两章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的三角形法则，将所求向量分解为已知向量或可转化为已知向量的组合，再根据向量的线性运算规则进行计算即可. 【详解】由已知. 故选：D. 2．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由向量不能构成基底，可得向量共面，根据空间向量基本定理，待定系数求解即可. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数、使得， 即， 即， 因为是空间的一个基底， 则，解得． 故选：． 3．在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 4．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 5．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定方程，按的取值情况分类，结合直线斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】当时，直线的倾斜角为； 当时，，则； 当时，，则， 所以所求倾斜角的取值范围是. 故选：D 6．已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点P为直线与直线的交点时，取得最小值为，利用距离公式即可求解. 【详解】如图，    可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点， 则， 所以取得最小值为， 因为，直线为，所以，点， 所以， 所以的最小值是4. 故选：C 7．一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据光线反射的性质，结合圆的性质、直线的两点式方程进行求解即可. 【详解】由，因此该圆的圆心坐标为， 因为光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长， 所以反射光线经过圆心， 点关于轴对称的点， 根据光反射的性质可知点必在反射光线所在的直线上， 由直线的两点式，可知反射光线所在的直线的方程为：， 令，得，即经过轴上点反射， 由直线的两点式，可知入射光线所在的直线的方程为：， 故选：D 8．若对圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为点到直线的距离，然后根据直线和圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】设， 则表示到与到的距离之和的倍． 因为的取值与无关，所以上述距离之和与点在圆上的位置无关． 如图，当直线m平移时，点P到直线m，l的距离之和均为m与l两直线的距离，即此时圆在两直线之间．    当直线m与圆相切时，，化简得，解得或（舍）， 所以，即. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】ABC 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A，若，则，解得，故选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C，若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：ABC. 10．下列四个命题中正确的是（ ） A．向量是直线的一个方向向量 B．直线与直线之间的距离为 C．若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【分析】直线方向向量的定义、平行线间距离公式，结合互相垂直两直线的性质、正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：直线的方向如果是，它的斜率为， ，所以直线的斜率为，因此选项不正确； B：， 所以直线与直线之间的距离为，因此选项正确； C：因为直线与直线相互垂直， 所以有，或，因此选项正确； D：由直线的方程可知该直线的斜率为， 因为，所以， 设直线的倾斜角为，则有， 解得，或，所以选项不正确， 故选：BC 11．已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若，则直线的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】先由圆心到直线距离得到直线与圆相离，由即可判断A；以P为圆心、为半径的圆与圆C作差即可求解判断B；设，由将问题转化为当取最大值时取最小值，接着在由即可求解判断C；由结合C即可求解判断D. 【详解】由题圆心，半径， 过圆心作，垂足为，则，直线与圆相离， 所以，故A错误； 当时，，则， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 依题意，直线即圆与圆的公共弦，故直线的方程为，即B正确； 设，因为， 所以，所以当取最大值时，取最小值， 而，所以当取最大值时，取最小值． 在， 此时，的最小值为，故C正确； 由C项，，当时等号成立，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解． 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为． 因为，，，， 所以， 所以，即． 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，    则有，，，，由此可得，， 设异面直线与所成的角为，则． 故答案为： 13．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 14．已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则 . 【答案】 【分析】先求出圆的圆心和半径，由于直线将圆的面积平分，所以可得直线过圆心，从而可求出的值，再利用勾股定理求出的值. 【详解】由圆，即， 则圆心，半径为， 因为直线将圆的面积平分， 所以圆心在直线上， 则，解得，故， 则， 所以． 故答案为：. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. （2）由（1）可知，，，则. （3）因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 16．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可证明平面. （2）分别求出平面和平面的法向量，再利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，则，即. 因为，，所以， 因为平面，所以平面. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，则，即. 设二面角的平面角为， 则， 因为为锐角，所以二面角的余弦值为. 17．已知直线经过点，分别求出满足下列条件的直线的方程. (1)与直线垂直； (2)在轴上的截距为3； (3)在坐标轴上的截距相等. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据直线的斜截式方程，结合代入法进行求解即可； （3）根据截距是否为零分类讨论进行求解即可. 【详解】（1），因此直线的斜率为， 因此直线的斜率为， 所以直线的方程为； （2）因为直线在轴上的截距为3， 所以设直线的方程为，把代入方程得， 因此直线的方程为； （3）因为直线在坐标轴上的截距相等， 所以设直线在坐标轴上的截距为， 当时，设直线的方程为，把代入方程得， 此时直线的方程为， 当时，设直线的方程为，把代入方程得， 此时直线的方程为， 因此直线的方程为，或. 18．已知圆． (1)已知定点，圆上任意一点，求线段的中点的轨迹方程； (2)直线与圆交于不同的两点、，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点的坐标，再利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）取的中点，利用圆的性质及点到直线距离公式列式求出范围. 【详解】（1）设点，由，为线段的中点，得点， 而点为圆上任意一点，则，化简得， 所以线段的中点的轨迹方程为. （2）取的中点，由，得，则， 又，，因此， 解得，由直线与圆相交，得，因此， 实数的取值范围是.    19．已知圆，圆. (1)当时，圆与圆有什么位置关系？ (2)是否存在实数，使得圆与圆内含？ 【答案】(1)相离 (2)不存在 【分析】（1）将代入圆，求出圆、圆的圆心和半径，求出两圆的圆心距，判断圆心距与两个半径的和或差的绝对值的大小关系得解； （2）求出圆、圆的圆心和半径，若圆与圆内含，得到两圆的圆心距与两个半径差的绝对值的不等式，计算得到无解，从而得到结论. 【详解】（1）当时，圆，即， 圆心，半径， 又圆，圆心，半径， 两圆的圆心距，， ，当时，圆与圆相离. （2）圆，化为， 则圆心，半径， 若圆与圆内含，则，即， 可得，显然无解， 不存在实数，使得圆与圆内含. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(三)(原卷版) （人教A版选择性必修一前两章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 2．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 3．在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 4．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．4 D． 7．一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．若对圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 10．下列四个命题中正确的是（ ） A．向量是直线的一个方向向量 B．直线与直线之间的距离为 C．若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D．直线的倾斜角的取值范围是 11．已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若，则直线的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    13．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是 ． 14．已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 16．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 17．已知直线经过点，分别求出满足下列条件的直线的方程. (1)与直线垂直； (2)在轴上的截距为3； (3)在坐标轴上的截距相等. 18．已知圆． (1)已知定点，圆上任意一点，求线段的中点的轨迹方程； (2)直线与圆交于不同的两点、，且，求实数的取值范围． 19．已知圆，圆. (1)当时，圆与圆有什么位置关系？ (2)是否存在实数，使得圆与圆内含？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $