河南省叶县高级中学2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(二)

2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(二)(解析版) (人教A版选择性必修一前两章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 注意事项: 1.本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第 卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据关于平面对称,值变为相反数,其它不变这一结论直接写结论即可. 【详解】由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选:. 2.如图,在正四棱台中,分别是棱的中点.若正四棱台的体积是28,则点E到直线的距离是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】以O为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.利用空间向量法求出点到直线的距离即可. 【详解】设正方形的中心分别为,棱的中点为H,连接,易证两两垂直, 则以O为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正四棱台的体积是28,所以, 即,解得,则, 所以,故点E到直线的距离. 故选:C 3.已知向量,若向量与的夹角为锐角,则实数的取值范围为( ) A. B.且 C. D.且 【答案】B 【分析】先求出向量与的坐标,由向量与的夹角为锐角, 可以得到且与不平行,再计算求解即可. 【详解】,, ,向量与的夹角为锐角, 且向量与不平行, ,, 向量与不平行,, 的取值范围为且,选项B正确. 故选:B. 4.在棱长为1的正四面体中,为棱的中点,为棱上一点且,则直线和直线夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】以为基底得到,接着依次计算,,再计算即可得解. 【详解】以为基底,则, 而, 所以, , , 从而, 故直线和直线所成角的余弦值为. 故选:B 5.设点,,若直线与线段没有交点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意,直线过定点,且与线段没有交点,可转化为过点的直线与线段没有交点,作出图像,结合直线斜率的变化关系,即可求解. 【详解】根据题意,因为直线过定点,且斜率, 所以,, 若直线与线段没有交点,则由图可知, 直线斜率满足,解得, 即的取值范围是. 故选:C 6.若经过点的直线在轴上的截距之比为,则与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】根据题意,设的方程为,将点代入方程,求得,得到直线在坐标轴上的截距,进而求得三角形的面积. 【详解】由题意知,直线不过原点,设的方程为, 把点代入方程,可得,即,解得, 所以在轴上的截距分别为和, 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故选:C. 7.已知为圆上任意一点,,若点满足,则点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系,再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设,,由,得: ,则有, 因为为圆上任意一点, 所以,代入可得: ,整理得:, 即方程就是动点的轨迹方程. 故选:A 8.若圆上到直线的距离为的点有且仅有个,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离,再结合圆上到直线距离为的点有且仅有个这一条件,确定的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离为:, 根据题意,圆上到直线距离为的点有且仅有个,需满足:, 因此, 的取值范围为. 故选:A. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知空间向量,则( ) A.是的必要不充分条件 B.若不共面,则也不共面 C.若,且,则 D.若,则 【答案】AB 【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A;借助反证法结合空间向量共面定理可得B;举出反例可得C、D. 【详解】对A:的充要条件是的大小相等,方向相同,故由可得, 但当时,方向不一定相同,故A正确; 对B:假设共面,则存在实数,使得, 所以,所以共面,与条件矛盾,故B正确; 对C:在空间直角坐标系中,三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件, 但任何两个都不相等,故C错误; 对D:若,则不一定共线,故D错误. 故选:AB. 10.已知直线,则( ) A.点到距离的最大值为 B.若,则 C.若,则 D.若,则倾斜角的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A选项,求出过定点,到距离的最大值,验证后发现最大值取不到;B选项,根据平行关系得到方程,求出,检验后得到B正确;C选项,由垂直关系得到方程,求出;D选项,求出的斜率,进而求出倾斜角取值范围. 【详解】对于A:, 令,解得,故过定点, 到距离的最大值为, 此时,,故的斜率应为, 故,即,无解,故最大值取不到,故A错误; 对于B:由,得,解得, 经检验,当时,与不重合,故B正确; 对于C:由,得,解得,故C正确; 对于D:当时,直线的斜率, 当时,的倾斜角,故D正确. 故选:BCD 11.已知直线,圆,为圆上任意一点,则下列说法正确的是( ) A.直线恒过定点 B.的最大值为5 C.的最大值为 D.圆心到直线的距离小于4 【答案】ACD 【分析】由题可得,即可求出定点,可对A判断求解;由题可将圆化成标准式并求出圆心及半径,由可转化为原点到圆上一点距离值的平方,即可求解对B判断;作出相应图象,当直线的斜率大于零且与圆相切时,最大,即可对C判断;求出圆心到直线的距离,分情况讨论、时的取值情况即可对D判断. 【详解】A:由题可得,即,解得,所以直线恒过定点,故A正确; B:由题可得圆:,即圆心,半径, 因为圆上任意一点,则, 则等价于原点到圆上一点距离值的平方, 即,则的最大值为,故B错误; C:如图所示,当直线的斜率大于零且与圆相切时,最大, 此时,,,且,故C正确; D:圆心到直线的距离,当时,; 当时,,故D正确. 故选:ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量,若与互相垂直,则 . 【答案】或 【分析】利用向量垂直满足数量积为0,代入坐标,建立方程,计算即可求解. 【详解】因为, 故,, 若与互相垂直, 则,即,解得或. 故答案为:或. 13.直线在x轴上的截距为3,则实数m的值为 . 【答案】 【分析】由横截距为3知直线过点,将其代入直线方程,即可求解. 【详解】因为直线在x轴上的截距为3, 所以直线过,将代入直线方程得,解得. 故实数m的值为. 故答案为: 14.已知实数满足方程,则的最大值和最小值分别为 和 . 【答案】 【分析】表示圆上的一点与原点距离的平方,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 【详解】已知实数满足方程,即, 其表示以为圆心,为半径的圆. 表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 圆心与原点的距离为2, 所以的最大值是,最小值是. 故答案为:,. 4、 解答题:本题共5小题,共77分,解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15.已知空间中三点. (1)若,求a的值; (2)若与的夹角为,求a的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】(1)由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解; (2)由向量数量积的坐标运算列方程即可求解. 【详解】(1)因为,所以, 则. 因为,所以, 所以,即,解得或. (2)由(1)可知,则, . 因为与的夹角为,所以, 即,所以, 解得或. 16.已知坐标平面内直线经过、两点,直线经过、两点. (1)若直线,求实数的值; (2)若直线,求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据直线平行的条件列出方程,求解即可; (2)分与两种情况,结合直线垂直的条件列出方程,求解即可. 【详解】(1), 因为,所以,解得或 又因为,且与不能重合,所以,即, 故:. (2)当时,,解得 当时,直线斜率不存在,倾斜角为;而,倾斜角为, 满足,合题意,故:或 17.如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面为菱形,且. (1)证明:; (2)若平面底面,,求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由等边三角形的性质求得和,利用线面垂直的判定定理证得平面,从而利用线面垂直的性质定理证明即可; (2)根据面面垂直的性质定理得线面垂直,然后建立空间直角坐标系,求出平面与平面的法向量,根据面面角向量公式求解即可. 【详解】(1)取的中点,连接,,. 因为底面是菱形,,所以是正三角形,所以. 又为正三角形,所以. 因为,平面,所以平面, 又平面,所以. (2)由平面底面,,平面底面,平面, 所以底面,底面, 所以,,又,可得,,两两互相垂直, 以为坐标原点,,,的方向分别为,,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图. 设,则,,,, 所以,,, 所以. 设平面的法向量为, 则得可取. 易知平面的一个法向量为, 则, 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18.在平面直角坐标系中,三个顶点坐标分别为,, (1)求边所在直线方程; (2)求边上高线所在直线方程; (3)求的外接圆方程. 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)利用直线的两点式方程求解即可; (2)求出边所在直线方程,利用直线垂直的斜率关系,结合点斜式可得; (3)设出圆的一般式方程,将三点坐标代入求解可得. 【详解】(1)因为,, 所以,由两点式方程可得边所在直线方程为:,即. (2)因为,,所以, 记边上高线所在直线方程的斜率为,则,得, 又边上高线所在直线过点, 所以所求方程为,即. (3)设的外接圆方程为,(), 则,即, 解得,满足, 所以的外接圆方程为. 19.已知圆经过,,. (1)求圆的方程; (2)过点的直线与圆交于,两点,若,求直线的方程. 【答案】(1) (2),或 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可; (2)根据圆的弦长公式,结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】(1)设圆的一般方程为,其中, 把点,点,点的坐标代入圆的一般方程中,得 , 所以该圆的一般方程为; (2)过点的直线不存在斜率时,方程为,代入中, 得,显然只有一个交点,不符合题意; 当过点的直线存在斜率时,方程设为, ,圆心坐标为,半径为, 因为,且半径为, 所以圆心到直线的距离, 于是由点到直线距离公式,得或, 所以方程为,或. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学期中复习测试题(二)(原卷版) （人教A版选择性必修一前两章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 3．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4．在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知空间向量，则（    ） A．是的必要不充分条件 B．若不共面，则也不共面 C．若，且，则 D．若，则 10．已知直线，则（    ） A．点到距离的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则倾斜角的取值范围为 11．已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若与互相垂直，则 ． 13．直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为 ． 14．已知实数满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 16．已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 17．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且.    (1)证明：； (2)若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，， (1)求边所在直线方程； (2)求边上高线所在直线方程； (3)求的外接圆方程． 19．已知圆经过，，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $