2.2 直线的方程讲义【十大考点+十大题型】-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点2：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点3　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点4　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点5　直线各种形式方程的互化 知识点6一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 【例1】．（24-25高二上）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【跟踪训练1】．（23-24高二下·全国·课堂例题）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 题型二：直线的两点式方程 【例2】．（21-22高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，． (1)求的三边所在直线的方程； (2)求的三条中线所在直线的方程． 【跟踪训练1】．（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【跟踪训练2】．（21-22高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的两点式方程. （1），；     （2），． 题型三：直线的截距式方程 【例3】．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·广东·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为． (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距． 题型四、直线的一般式方程 【例4】．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知三角形三顶点，求： (1)直线关于轴对称的直线的一般式方程； (2)边上的高所在直线的一般式方程． 【跟踪训练1】．（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 题型五：用合适的方法求直线方程 【例5】．（25-26高二上·甘肃武威·阶段练习）（1）的三个顶点是，求边上的中线所在直线的方程； （2）的三个顶点是，，，求边上的高所在直线的方程； （3）求经过点，且平行于过和两点的直线的直线方程． 【跟踪训练1】．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边BC上的中线所在直线的截距式方程； (2)求边BC上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边BC的垂直平分线的一般式方程 【跟踪训练2】．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点，； (3)在轴、轴上的截距分别是，； (4)求过点且与直线：平行的直线的方程． 题型六：一般式下直线的平行的问题 【例6】．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【跟踪训练1】．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练2】．（23-24高二下·河南）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 题型六：一般式下直线的垂直的问题 【例6】．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练2】．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 题型七：由两条直线平行或垂直求直线方程 【例7】．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【跟踪训练1】．（25-26高二上·青海西宁·阶段练习）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相反的直线方程. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 题型八：直线过定点问题 【例8】．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【跟踪训练1】．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·浙江宁波·阶段练习）已知直线：，则直线过定点 ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条． 题型九：直线和坐标轴围成的面积问题 【例9】．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【跟踪训练2】．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 题型十：直线方程的综合问题 【例10】．（25-26高二上·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 【跟踪训练1】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． (2)若为直线上动点，为坐标原点，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【跟踪训练2】．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）设直线的方程为. (1)求出直线过的定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值. 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽合肥·阶段练习）若直线：与：平行，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东清远·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．直线在轴上截距为1 D．与直线垂直 6．（25-26高二上·天津·阶段练习）“”是“直线与直线互相垂直的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 8．（25-26高二上·河南·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃武威·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．经过不同两点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线为 D．经过点作直线分别交轴，轴的正半轴于两点，为坐标原点，当取最小值时，直线的方程为 11．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．过点并且倾斜角为的直线方程为 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）已知直线过定点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 13．（25-26高二上·湖南永州·阶段练习）已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中正确的有（   ） A．直线l在y轴上的截距为 B．l的一个方向向量为 C．l与直线垂直 D．l与直线平行 14．（25-26高二上·广东中山·阶段练习）已知直线 ，动直线 : ， 则下列结论正确的是（  ） A．存在k、使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 三、填空题 15．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知中，，线段的中点分别在轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 16．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若，，且，则经过，的直线的一般方程为 . 17．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）已知直线l过点，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的一个可能的值是 ． 18．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为 时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是 ． 19．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，则边所在直线方程为 ． 四、解答题 20．（25-26高二上·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三个顶点为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 21．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知直线，其中． (1)求直线所过定点． (2)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． (3)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 22．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）三角形中，，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求经过点将面积二等分的直线的方程； (3)直线过点，且与边有公共点，求直线的斜率的取值范围； 23．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 24．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）（1）若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率； （2）若一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （3）若直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点2：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点3　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点4　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点5　直线各种形式方程的互化 知识点6一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 【例1】．（24-25高二上）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 【跟踪训练1】．（23-24高二下·全国·课堂例题）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出直线的斜率，由平行关系得到，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到，由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以． 因为直线与直线平行，所以． 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． （2）由（1）知． 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． 题型二：直线的两点式方程 【例2】．（21-22高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，． (1)求的三边所在直线的方程； (2)求的三条中线所在直线的方程． 【答案】(1)；；； (2)边上的中线；边上的中线；边上的中线 【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可； （2）先分别求出各边的中点，再利用直线的两点式方程求解即可； 【详解】（1）由，， 知直线的方程为，整理得 直线的方程为整理得 直线的方程为，整理得 （2）的中点坐标为，又 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得 的中点坐标为，又 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得 的中点坐标为，又 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得 【跟踪训练1】．（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 【跟踪训练2】．（21-22高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的两点式方程. （1），；     （2），． 【答案】（1）；（2）； 【分析】根据直线的两点式方程求解即可. 【详解】因为直线的两点式方程为：， 因为，， 所以直线的两点式方程：； 因为，， 所以直线的两点式方程：； 题型三：直线的截距式方程 【例3】．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·广东·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求得中点的坐标，再求得线段垂直平分线的斜率，进而得到线段垂直平分线的斜截式方程； （2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程. 【详解】（1）由题意可得，， 所以线段的中点为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 则线段垂直平分线的方程为， 故斜截式方程为. （2）设直线的截距式方程为， 则   ①，  ②. 由①②解得，，， 故直线的截距式方程为. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为． (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意知直线过点，，代入两点式方程并化简，可得直线：.令，求得纵截距，再求三角形的面积即可； （2）由题知，截距一定不为，根据截距式方程，不妨设直线：，则再计算即可. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线过点，又直线过， 根据两点式，得，即. 令，得， 所以的面积. （2）由题知，截距一定不为，不妨设直线：. 则 得或或或 所以直线在轴上的截距为. 题型四、直线的一般式方程 【例4】．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知三角形三顶点，求： (1)直线关于轴对称的直线的一般式方程； (2)边上的高所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于轴对称的点，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. （2）根据垂直和直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】（1）点关于轴对称的点分别为， 则， 整理得， 所以直线关于轴对称的直线的一般式方程为. （2）直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两点式写出直线的方程，化为一般式即可； （2）根据垂直和直线AB的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】（1），， 直线AB的方程为， 化简得； （2）直线AB的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 【跟踪训练2】．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 题型五：用合适的方法求直线方程 【例5】．（25-26高二上·甘肃武威·阶段练习）（1）的三个顶点是，求边上的中线所在直线的方程； （2）的三个顶点是，，，求边上的高所在直线的方程； （3）求经过点，且平行于过和两点的直线的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得的中点坐标，结合点坐标求得斜率，代入点斜式即可求得中线方程； （2）先求得的斜率，从而根据垂直关系求得高的斜率，代入点斜式直线方程求得高的方程； （3）先求得的斜率，从而根据平行关系求得直线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】（1）的中点坐标为，又， 则边上的中线所在直线的方程为，即； （2）边的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边上的高所在直线的方程为，即； （3）过和两点的直线斜率为， 则所求直线的斜率为， 又，所以所求直线的方程为即. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边BC上的中线所在直线的截距式方程； (2)求边BC上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边BC的垂直平分线的一般式方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得BC的中点坐标，即可求得直线AD的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案； （2）先求得BC所在直线的斜率，根据两直线的位置关系，可得BC上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案； （3）根据BC上的高所在直线的斜率和BC的中点坐标，代入点斜式方程，整理即可得答案. 【详解】（1）由题意得BC的中点坐标， 所以， 所以BC上的中线AD方程为，整理得截距式方程为. （2）BC所在直线的斜率为， 所以BC上的高所在直线的斜率， 又BC上的高过点， 则BC上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与BC垂直的直线斜率为， 由（1）得BC的中点坐标， 所以BC的垂直平分线的方程为，整理得一般式方程为. 【跟踪训练2】．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点，； (3)在轴、轴上的截距分别是，； (4)求过点且与直线：平行的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解； （4）根据平行关系可得直线的斜率，应用点斜式方程即可得方程. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为； （4）因为平行于，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以由点斜式得直线方程为，即一般式方程为. 题型六：一般式下直线的平行的问题 【例6】．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 【跟踪训练1】．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 【跟踪训练2】．（23-24高二下·河南）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 题型六：一般式下直线的垂直的问题 【例6】．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 【跟踪训练2】．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 题型七：由两条直线平行或垂直求直线方程 【例7】．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·青海西宁·阶段练习）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相反的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，由于过点，代入，解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为；由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，，可得，综上，所求直线方程为或. 题型八：直线过定点问题 【例8】．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】直线，即，由得点， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 【跟踪训练1】．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·浙江宁波·阶段练习）已知直线：，则直线过定点 ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条． 【答案】 【分析】可化为，令，解出即可得空一；计算出直线横纵截距后，结合面积公式计算即可得空二. 【详解】由，得， 令，解得，所以直线l过定点； 当时，，此时直线l与x轴没有交点，所以， 在中，令，得，令，得， 依题意得，解得或， 所以满足条件的直线l有条. 故答案为：；. 题型九：直线和坐标轴围成的面积问题 【例9】．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 【跟踪训练2】．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【分析】根据题意，设直线的方程为，分别表示出坐标，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式即可得到结果. 【详解】      由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 题型十：直线方程的综合问题 【例10】．（25-26高二上·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先设直线方程，再根据基本不等式得面积的最小值，进而求得直线方程； （2）先设直线方程，根据基本不等式或用向量的方法求得线段的积的最小值，进而得直线方程； （3）设直线方程来截距式方程，再用基本不等式得截距之和最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点， 所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为， 由题意可得，，且解得. 于是 当且仅当，即时，的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为，即. 方法二：设直线l的方程为，则. 又因为，即，得，当且仅当，即，时等号成立， 于是的面积有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是，即； （2）方法一：由（1）方法一知，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为. 方法二：由（1）方法二知，，，，， 所以， 即 当且仅当时取等号，此时直线l的方程为. （3）设直线l的方程为，则， 所以，即， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． (2)若为直线上动点，为坐标原点，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）分为两种情况：直线过原点；直线不过原点，设出直线的方程，根据条件求解即可； （2）求出关于直线的对称点为，则的最小值为，即可求解． 【详解】（1）①当直线过原点时，，则方程为，即； ②当直线不过原点时，设为， 又直线过点，则，即． 故此时，的方程为． 综上：直线的方程为或． （2）设关于直线的对称点为，则中点为 直线的方程为，即． 则，即，所以． ，当共线时取等号， 则的最小值为． 此时直线方程即直线方程：，即．    【跟踪训练2】．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）设直线的方程为. (1)求出直线过的定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可得，从而得，即可求解； （2）分截距是否为两种情况，求得参数，从而可求解. （3）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由直线的方程为， 化简整理得， 则，解得， 所以定点 故直线过定点. （2）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为. 当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为， 所以，解得，可得直线方程为. 综上所述：直线方程为或. （3）由题意知，令，解得，解得； 令，解得，解得或， 综上有. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最小值是. 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽合肥·阶段练习）若直线：与：平行，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程计算即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，直线：，：，两直线平行； 当时，：，：，两直线重合. 综上所述，. 故选：A 2．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程的点斜式直接判断. 【详解】因为过点且斜率为的直线， 其点斜式方程为：. 故选：A 3．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可设直线的方程为：，利用三角形面积列方程，分类讨论求解即可. 【详解】由题意知，直线的斜率存在且不为0.设直线：. 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，解得； 若，解得或. 综上，直线的个数为3. 故选：C. 4．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 5．（25-26高二上·广东清远·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．直线在轴上截距为1 D．与直线垂直 【答案】B 【分析】根据直线方程的一般式求出其斜率为，可得倾斜角为锐角，因此A错误，再由方向向量的定义可得B正确；由截距定义计算可知直线在轴上截距为，可得C错误，易知两直线斜率乘积不为，因此两直线不垂直，可得D错误. 【详解】对于A，由，得直线，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角是锐角，故A错误； 对于B，易知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确； 对于C，令代入直线的方程可得，因此直线在轴上截距为，即C错误； 对于D，直线的斜率为，所以， 所以直线与直线不垂直，故D错误. 故选：B 6．（25-26高二上·天津·阶段练习）“”是“直线与直线互相垂直的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】由两直线垂直，则，整理得， 所以或，经检验均满足题设， 所以“”是“直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】如果直接用点到直线距离公式，求出距离与之间的关系再求最值，计算会相当繁琐；所以先考虑直线过的定点，再从几何的角度求得距离最大值，进而求出直线方程. 【详解】直线变形得. 当时，方程成立；此时，因此直线过定点. 结合图象可知，随着直线绕点旋转，点到的距离也会变化，但距离都会小于等于. 所以点到直线的距离最大为. 此时过点且垂直于直线的直线即为直线. 直线的方程为，即. 故选： 8．（25-26高二上·河南·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃武威·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，对直线方程进行化简，即可确定直线所过定点坐标；对于B，漏掉了过原点的直线的情况；对于C，两条直线垂直求出的值有2个；对于D，根据两点式直线方程的条件即可判断． 【详解】对于A： 化简直线方程得， 直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确； 对于B： 直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为， 截距为0时为，故B错误； 对于C： 由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D： 两点式直线方程的条件需满足且，所以D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．经过不同两点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线为 D．经过点作直线分别交轴，轴的正半轴于两点，为坐标原点，当取最小值时，直线的方程为 【答案】BD 【分析】举出反例可判断A；根据直线的两点式方程结合特殊情况下的直线方程可判断B；利用直线的截距式方程结合过原点时的情况判断C；设直线的截距式方程，结合条件等式求最值可判断D. 【详解】对于A，取直线的倾斜角分别为，，但两直线的斜率，A错误； 对于B，对于经过不同两点的直线， 当时，直线的两点式方程为，可化为； 当时，直线方程为，此时满足； 当时，直线方程为，此时满足； 故经过不同两点的直线方程是，B正确； 对于C，直线经过点且在轴和轴上截距相等， 若截距均为0，则直线方程为； 当截距不为0时，设直线方程为，将代入，得， 即直线方程为，即，C错误； 对于D，设直线方程为，将代入得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 取最小值时，，此时直线方程为，即，D正确， 故选：BD 11．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．过点并且倾斜角为的直线方程为 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为 【答案】ABC 【分析】求得直线方程判断A；利用直线斜率与在y轴上的截距可判断B；由直线的点斜式方程求得直线方程判断C；由直线的斜截式求得直线方程判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角为，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在y轴上的截距为5， 可得直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故C正确； 对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为，故D错误. 故选：ABC. 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）已知直线过定点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据直线方程的相关知识、基本不等式的性质逐项判断计算即可. 【详解】对于A： 因为直线，化简得. 所以该直线过定点，所以A正确； 对于B： 若直线在轴上的截距为-3，即该直线过， 那么，解得，所以B正确； 对于C： 因为直线的方程为，要使得该直线不经过第四象限， 则. 当时，，解得. 当时，，符合题意. 所以的取值范围为，所以C错误； 对于D： 因为直线分别交轴正半轴于，所以. 设，因为，所以. 所以，其中. 且满足，. 所以. 根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时即时等号成立.此时取最小值为4. 此时直线的方程为，所以D正确. 故选：ABD. 13．（25-26高二上·湖南永州·阶段练习）已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中正确的有（   ） A．直线l在y轴上的截距为 B．l的一个方向向量为 C．l与直线垂直 D．l与直线平行 【答案】ABC 【分析】先求出直线的方程，然后逐项判断计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率为. 因为直线经过点，所以该直线方程为， 即. 对于A： 令，则，所以该直线与轴上的截距为，所以A正确； 对于B： 因为，与斜率相等，所以B正确； 对于C： 因为直线的斜率为， 而，所以与该直线垂直，所以C正确； 对于D： 因为直线的斜率为，所以两直线不平行，所以D错误. 故选：ABC. 14．（25-26高二上·广东中山·阶段练习）已知直线 ，动直线 : ， 则下列结论正确的是（  ） A．存在k、使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】ABD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】对于A，当时，：，符合倾斜角为90°，故A正确； 对于B，：即， 令，解得，故过定点， 而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点，故B正确； 对于C，当时，：，与：重合，故C不正确； 对于D，要使与垂直，则，即，显然这样的k值不存在．故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 15．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知中，，线段的中点分别在轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【答案】 【分析】根据设，根据中点坐标公式可得的值，再根据斜率公式求中线斜率，从而可得中线方程. 【详解】设，则，得， 而线段的中点坐标为，故边上的中线的斜率， 所以中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 16．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若，，且，则经过，的直线的一般方程为 . 【答案】 【分析】根据等式与直线方程的联系进行求解即可. 【详解】因为，， 所以在直线上，在直线上， 又过点的直线有且只有一条， 所以经过，的直线的一般方程为， 故答案为： 17．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）已知直线l过点，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的一个可能的值是 ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】由题意可设直线的截距式方程，代入已知点后，利用基本不等式求得，即得三角形面积的范围即可. 【详解】由题意知直线l在x，y轴上的截距存在且大于0，可设l的方程为（a，b>0）， 由直线l过点，可得， 因，当且仅当，即时，等号成立， 即，此时. 故答案为：6(答案不唯一) 18．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为 时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是 ． 【答案】 8 【分析】设、，，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率． 【详解】设， 则直线， 将代入得， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，， 所以直线的斜率时， 的面积最小，最小值为8， 故答案为：，8． 19．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，则边所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形中，可设平行直线系方程，结合中点坐标公式求出点坐标，求得. 【详解】 由，可设直线且， 设点的坐标为，又，为对角线的中点， 所以，即，则， 由点在直线上，故， 解得，所以． 故答案为：. 四、解答题 20．（25-26高二上·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三个顶点为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，进而得出直线的斜率，利用点斜式即可； （2）求出的中点，再利用点斜式即可. 【详解】（1）由题，如图 因的三个顶点为，则直线AC的斜率， 因，则， 故直线BD的方程为，即； （2）因，则的中点为， 又，则直线的斜率为， 则直线的点斜式方程为，即. 21．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知直线，其中． (1)求直线所过定点． (2)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． (3)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将直线的方程化为，列出相应的方程组，计算可得答案； （2）求出直线在轴上的截距，在轴上的截距，列出方程，求出的值； （3）由直线恒过定点，数形结合得即可. 【详解】（1）由直线可变为， ，解得， 所以直线恒过定点. （2）由题可得，在直线的方程中，令，得，令，得， 所以，即，解得或， 经检验，或均符合要求， 所以实数的值为或. （3）由直线恒过定点，如图，，，    要使直线不经过第四象限，则，解得， 所以实数的取值范围为. 22．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）三角形中，，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求经过点将面积二等分的直线的方程； (3)直线过点，且与边有公共点，求直线的斜率的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）得出边上的高所在直线的斜率为即可； （2）求出线段的靠近点的三等分点即可； （3）画图可得，或，根据斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意，所以边上的高所在直线的斜率为， 故所求为，即； （2）设线段的中点为， 因为，， 所以， 又，所以， 故所求为 即； （3）如图所示，    若直线过点，且与边有公共点，则或， 而，，， 所以，， 所以直线的斜率的取值范围为. 23．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）数形结合，结合直线图象可得解； （2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值． 【详解】（1） 如图所示，结合图象可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上，. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 24．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）（1）若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率； （2）若一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （3）若直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2），；（3）或或． 【详解】（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为， 直线沿轴向左平移4个单位，沿轴向上平移3个单位后， 所得直线的方程为： 化简得． 因为平移后与原直线重合，则． 解得，即直线的斜率为． （2）由两点坐标，可得直线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为，即． 因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称， 所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补， 所以反射光线与入射光线所在直线的斜率互为相反数， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线方程为，即． （3）当直线的截距为0时，设直线的方程为，代入点，得，解得， 此时直线：，即；当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 依题意有则，解得或若，则直线的方程为，即； 若，则直线的方程为，即． 综上所述，直线的一般式方程可能是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $