精品解析：江西省玉山县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次集中训练数学试题

玉山一中2025-2026学年度第一学期第一次集中训练 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程确定斜率，即可求解. 【详解】由方程， 可得斜率，又， 所以倾斜角为， 故选：B 2. 若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，由，，可得：或，又，所以，故B正确； 对于C，需要相交，才能推出，故C错误； 对于D，因为  且 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故D正确 故选：C 3. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 4. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ） A. 圆锥的母线长为6 B. 圆锥的表面积为 C. 圆锥的体积为 D. 若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出圆锥的母线长判断A；由此可求得圆锥的表面积判断B；由圆锥的体积公式可判断C；由侧面展开图的扇形求最短距离判断D. 【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周， 所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为， ，解得，所以圆锥的母线长为9，故A错误； 圆锥的表面积，故B错误； 圆锥的高， 则圆锥的体积，故C错误， 如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接，则为等腰三角形， 所以蚂蚁爬行的最短距离为，故D正确. 故选：D. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 6. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图， ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C 7. 已知x，，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 设，因为所以到直线的距离为， 当且仅当即时距离最小， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 8. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 方程与方程可表示同一直线 B. 直线和的交点为P，且P在直线上，则k的值是 C. 直线：，：，若，则或2 D. 设点是直线上的动点，O为原点，则的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用方程不含的点判断A；求出交点坐标，进而求出判断B；验证判断C；求出点到直线距离判断D. 【详解】对于A，方程表示不含点的直线，A错误； 对于B，由，解得，由题可得在直线上，则，B正确； 对于C，当时，直线与重合，C错误； 对于D，的最小值是原点到直线的距离，D正确. 故选：BD 9. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在线段AC上运动，则（ ） A. 平面 B. 与平面所成的角随AP的增大先变大再变小 C. 存在唯一点P，使得与所成角的大小为30° D. 若Q为棱BC上一动点，则的周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行证明线面平行可判断A；结合线面角的表达式可判断B；先确定的轨迹，研究轨迹和的关系可判断C；把三角形三边都转化到底面中，结合余弦定理可求最小值可判断D． 【详解】对于A选项，连接， 在正方体中，，四边形平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面，所以A选项正确； 对于B选项，因为在平面内的投影为， 设与平面所成的角为， 所以， 由图易得随的增大先变小再变大，所以先变大再变小， 因为时，为增函数， 所以与平面所成的角随的增大先变大再变小，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以与所成角为时，与所成角也为， 因为，所以， 所以点在底面内的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 如图，在正方形中， ，， 作于，由等面积法可得， 所以不存在使得与所成角的大小为，所以C选项错误； 对于D选项，把△和侧面分别绕，旋转到底面内，如图： 则△的周长为，由图易知，最小值为图中虚线长， 因为△为等边三角形，且边长为， 所以，， 所以，所以D选项正确． 故选：ABD． 10. 已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A. A点的坐标为 B. A点的坐标为 C. D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，可判断AB，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，确定点轨迹，可判断C，三角函数辅助角求最值可判断D. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点， 又因为，即， 恒过定点，故A选项正确；B错误. 由 和， 满足，所以，可得， 所以，故C选项正确； 因为，设，为锐角, 则， ， 所以，， 所以当时，取最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过作辅助线确定截面的形状，再利用正方体棱长及勾股定理分别求出截面四边形各边的长度，最后相加即可. 【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示， 则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 棱的中点,且，在中，为中位线，， 又由题意得，且，，又，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所得截面图形周长为. 故答案为：. 12. 已知直线l方程为，当点到直线l的距离最大时，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】将直线l方程化为，联立方程组，求得直线过定点，结合点到直线l的距离最大时，则满足，利用，列出方程，即可求解. 【详解】将直线l方程化为， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 当点到直线l的距离最大时，则满足，所以， 又由，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知圆锥的母线长与底面圆的直径均为．现有一个半径为1的小球在内可向各个方向自由移动，则圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解． 【详解】因为圆锥的母线长与底面圆的直径均为．小球的半径为1 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环， 可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为， 所以扇环其面积为； 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为． 综上，圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知点，求 （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果； （2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解． 【小问1详解】 当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即的中点为圆心，半径， 则圆的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即， 由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是． ． 故所求圆的标准方程是． 解法二：待定系数法 设圆的标准方程为， 则 故所求圆的标准方程为． 15. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】（1）陀螺体积、表面积分别为，； （2）(). 【解析】 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【小问1详解】 令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. 【小问2详解】 令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 16. 在中，所在的直线方程：；所在的直线方程：；所在的直线方程：； （1）求边的高线所在直线方程； （2）已知直线l过点A且在两坐标轴上截距相等，求直线l的一般式方程； （3）求的角平分线所在直线方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求得，结合直线垂直关系即可求解； （2）由截距为0和截距不为0两类情况计算即可； （3）由直线夹角公式求得斜率，即可求解. 【小问1详解】 联立方程：和， 解得，即, 又直线斜率为，所以边的高线所在直线斜率为， 所以直线方程为：， 即 【小问2详解】 由（1）知， 当截距为0时，直线方程为：，即； 当截距不为0时，设直线方程为， 代入得：，解得， 直线方程为； 所以过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为：或 【小问3详解】 ，设的角平分线所在直线斜率为， 由直线的夹角公式可得：, 即， 解得：，结合图像可知，舍去， 所以的角平分线所在直线方程为：， 即 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，，E为PD的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，证得平面，得到，再由勾股定理，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以A为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和向量，结合向量的距离公式，即可求解； （3）由由（2）得到平面的一个法向量为，再由平面，得到平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：在中，由，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在直角梯形中，由且， 可得，， 所以，所以， 又因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：由（1）知平面，因为，所以， 以A为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设点到平面距离为，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：由（2）中的空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为， 又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为 设二面角的平面角的大小为，则， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. （1）若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论. 【小问1详解】 因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． 【小问2详解】 假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：， 且， 因此，， 所以， 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉山一中2025-2026学年度第一学期第一次集中训练 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 3. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 4. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ） A. 圆锥的母线长为6 B. 圆锥表面积为 C. 圆锥的体积为 D. 若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 5 7. 已知x，，则最小值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 8. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 方程与方程可表示同一直线 B. 直线和交点为P，且P在直线上，则k的值是 C. 直线：，：，若，则或2 D. 设点是直线上动点，O为原点，则的最小值是 9. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在线段AC上运动，则（ ） A. 平面 B. 与平面所成的角随AP的增大先变大再变小 C. 存在唯一点P，使得与所成角的大小为30° D. 若Q为棱BC上一动点，则的周长的最小值为 10. 已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A. A点的坐标为 B. A点的坐标为 C. D. 的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 12. 已知直线l方程为，当点到直线l的距离最大时，则 ______. 13. 已知圆锥的母线长与底面圆的直径均为．现有一个半径为1的小球在内可向各个方向自由移动，则圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知点，求 （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 15. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 16. 在中，所在的直线方程：；所在的直线方程：；所在的直线方程：； （1）求边的高线所在直线方程； （2）已知直线l过点A且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程； （3）求的角平分线所在直线方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，，E为PD的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）二面角的余弦值. 18. 已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. （1）若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $