2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册期中试卷

2025-2026学年期中试卷北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．若方程（a+2）x|a|+ax﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝±2 D．a≠±2 2．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　　） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 3．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 7．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 8．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（　　） A． B． C． D．6 9．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（　　） A．20 B．30 C． D． 10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 二．填空题（共6小题） 11．若，则 　 　 ． 12．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　 　 ． 13．近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有 　 　 只A种候鸟． 14．如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC＝1：8，则建筑物CD的高是 　 　 ． 15．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　 　 cm． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）4（x﹣1）＝x（x﹣1）． 18．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 19．关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，求方程的两个根． 20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 21．如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐． （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是 　 　 ； （2）若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 22．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况． 小李：“该商品的进价为50元/件．” 成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．” 成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．” 根据他们的对话，完成下列问题： （1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出　 　 件； （2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？ 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 24．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC． ①求证：HD＝HB； ②若DK•HC，求HE的长． 2025-2026学年期中试卷北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A A D A A C C 一．选择题（共10小题） 1．若方程（a+2）x|a|+ax﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝±2 D．a≠±2 【分析】根据一元二次方程的定义可得a+2≠0，|a|＝2，然后求解即可． 【解答】解：由题意得a+2≠0，|a|＝2， 则a＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　　） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可． 【解答】解：A．因为菱形的对角线互相垂直，所以A选项错误，不符合题意； B．因为矩形的对角线相等，所以B选项错误，不符合题意； C．正方形、矩形的四个角相等，所以C选项错误，不符合题意． D．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识． 3．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出配成紫色的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表如下： 红 白 红 （红，红） （红，白） 绿 （绿，红） （白，白） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） 所有等可能的情况有6种，其中配成紫色的情况有1种， 则P． 故选：D． 【点评】本题考查了用列表法和树形图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0， ∴a2﹣4＝0且a+2≠0， 解得：a＝2， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴， ∴的值为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 6．如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2）， ∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3，2），即（1，）， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 7．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 8．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（　　） A． B． C． D．6 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2， ∴S△ABC：S△ADE＝1：3， ∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵CB， ∴DE． 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 9．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（　　） A．20 B．30 C． D． 【分析】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得AB2+CB2＝2AB2＝AC2＝（20）2，则AB＝20，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝20，再利用含30度角的直角三角形求出OB，于是得到问题的答案． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°， ∴AB2+CB2＝AC2， ∵AB＝CB，AC＝20， ∴2AB2＝（20）2， ∴AB＝20， 在菱形ABCD中，AB＝CB＝20， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝20， 如图（1），连接BD交AC于点O， ∴AC⊥BD，∠ABO＝30°， ∴OAAB＝10， ∴OBOA＝10， ∴BD＝2OB＝20， 故选：C． 【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AB＝20是解题的关键． 10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，根据菱形的性质，得∠AOB＝∠BOC＝90°，继而得到，当点P运动到BC中点时，PO的长为，解得即可． 【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4， ∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴， 当点P运动到BC中点时，PO的长为， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若，则 　　 ． 【分析】根据等比性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　2023　 ． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2025＝0的根， ∴α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝2025+α+β， ∵α、β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴α2+3α+β＝2025﹣2＝2023． 故答案为：2023． 【点评】此题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 13．近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有 　960　 只A种候鸟． 【分析】根据在样本中“120只A种候鸟中有5只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【解答】解：设该该区域约有x只A种候鸟，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡， 则120：5＝x：40， 解得x＝960． 故答案为：960． 【点评】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体是解题关键． 14．如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC＝1：8，则建筑物CD的高是 　10.8m　 ． 【分析】先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得AB：AC＝BE：CD，根据已知条件即可求出CD的值． 【解答】解：∵∠ABE＝∠ACD＝90°，∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴AB：AC＝BE：CD， ∵AB：BC＝1：8， ∴AB：AC＝1：9， ∵BE＝1.2m， ∴CD＝1.2×9＝10.8（m）， 故答案为：10.8m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　　 cm． 【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由sinB＝sinD，cosB＝cosD，得CH＝EHBE，BHBE，于是得BEBE＝5，则BEcm．另一种解法是，延长DA交CE的延长线于点M，由AD＝BC＝B′C＝5cm，FD＝3cm，得AF＝2cm，则AM＝2cm，由，求得EBcm． 【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°， ∵CF＝4cm，FB′＝1cm， ∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm）， 由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D， ∵CB′⊥AD于点F， ∴∠BCB′＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°，DF3（cm）， ∴∠HEC＝∠BCE＝45°， ∴CH＝EH， ∵sinB＝sinD，cosB＝cosD， ∴CH＝EHBE，BHBE， ∴BEBE＝5， ∴BEcm， 解法二：延长DA交CE的延长线于点M． ∵AD∥CB， ∴∠M＝∠MCB， ∵∠MCB＝∠MCF＝45°， ∴∠M＝∠MCF＝45°， ∴CF＝FM＝4cm， ∵AD＝BC＝B′C＝5cm，FD＝3cm， ∴AF＝2cm， ∴AM＝2cm， ∵， ∴EB5（cm）． 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是 　　 ． 【分析】根据题意得DF＝CF＝3，CE＝BE＝2，由EH∥CD得FH＝BH进一步得到EH，由勾股定理求得BF，由题意得△EHG∽△DFG得到对应线段成比例即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4， ∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°， ∵点E，F分别为BC，CD的中点， ∴，， ∵EH∥CD ∴FH＝BH， ∵BE＝CE ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∵EH∥CD， ∴△EHG∽△DFG， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）4（x﹣1）＝x（x﹣1）． 【分析】（1）先移项再配方，然后开方，即可作答． （3）先移项，再提公因式，再令每个因式为0，列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）移项得：x2﹣2x＝2， x2﹣2x+1＝2+1＝3， （x﹣1）2＝3， ， ∴； （2）原方程整理得：4（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0， （4﹣x）（x﹣1）＝0， ∴4﹣x＝0，x﹣1＝0， 则x1＝4，x2＝1． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似； （2）根据（1）中的相似列比例式可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA， ∵∠ACD＝∠ABE， ∴∠BCA＝∠ABE， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB； （2）解：∵△ABC∽△AEB， ∴， ∵AB＝6，AC＝4， ∴， ∴AE9． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 19．关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，求方程的两个根． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可； （2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，求解方程即可． 【解答】解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0， ∴k＜1， ∴当k＜1时，方程有两个不相等的实数根； （2）∵k＜1， ∴k的最大整数值为0， 把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0， 得方程x2+2x﹣1＝0， 解得，． 【点评】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据位似中心的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所作图形； （2）如图，△O2A2B2即为所作图形； （3）△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为（﹣4，2）． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 21．如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐． （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是 　　 ； （2）若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种，即①②、②①、②③、③②、③④、④③， ∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况． 小李：“该商品的进价为50元/件．” 成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．” 成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．” 根据他们的对话，完成下列问题： （1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出　700　 件； （2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？ 【分析】（1）根据题意，直接列出算式，即可求解； （2）设该商品应该定价为x元/件，列出关于x的方程，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：800﹣（65﹣60）÷5×100＝700（件）， 故答案为：700； （2）设该商品应该定价为x元/件， 由题意得：， 解得：x1＝70，x2＝80， ∵尽可能扩大销售量， ∴x＝70， 答：该商品应该定价为70元/件． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【分析】（1）因为∠B＝90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形； （2）因为PD∥BQ，当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD＝BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD＝BQ＝BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AP∥BQ， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形， 此时有t＝22﹣3t，解得t． ∴当ts时，四边形ABQP成为矩形； （2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下： ∵PD∥BQ， ∴当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3， 当t＝3时，PD＝BQ＝13，BP13， ∴四边形PBQD不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形， 由题意，得，解得． 故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形． 【点评】本题借助动点主要考查了矩形、菱形的判定，勾股定理，等腰梯形的判定与性质，以及方程和方程组在几何图形中的应用，难度适中，用含t的代数式正确表示出相关线段的长度是解题的关键． 24．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC． ①求证：HD＝HB； ②若DK•HC，求HE的长． 【分析】（1）由CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，CE＝AF，即可求解； （2）①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点H是EF的中点，故DHEF，进而求解； ②证明△DKF∽△HEC，则，即DK•HC＝DF•HE，进而求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°， ∵CE＝AF， ∴△DCE≌△DAF（SAS）； （2）①∵△DCE≌△DAF， ∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF， ∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴△DFE为等腰直角三角形， ∵DH⊥EF， ∴点H是EF的中点， ∴DHEF， 同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HBEF， ∴HD＝HB； ②∵四边形ABCD为正方形， 故CD＝CB， ∵HD＝HB，CH＝CH， ∴△DCH≌△BCH（SSS）， ∴∠DCH＝∠BCH＝45°， ∵△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DFE＝45°， ∴∠HCE＝∠DFK， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DKF＝∠HEC， ∴△DKF∽△HEC， ∴， ∴DK•HC＝DF•HE， 在等腰直角三角形DFH中，DFHFHE， ∴DK•HC＝DF•HEHE2， ∴HE＝1． 【点评】本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、等腰直角三角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/17 17:13:25；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $