湖南省长沙市名校联合体2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（A卷）

·名校联考联合体2025年秋季高二第二次联考 数学(A卷) (考试范围：必修一，必修二，选择性必修一第一章) 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的： p 北 1.设a=(1,一2,4)，b=(2,k,8),若a∥b,则k= A.4 B.-4 C.17 D.-17 2.在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l,m的方向向量分别为a=(1,0,一1)，b=（一1,1,0)， 如 则1，m所成角的余弦值为 略 A是 B号 c竖 D 製 长 3.若全集U=R,A=（-∞，1]，B=[-2,十∞)，则 A.B∈A B.CA=(0,十∞) 郡 C.A∩B=[-1,2] D.AUB=R 4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面a,B的法向量分别为n1=(2,a,3),2=(1,一1，b),若 李 岸 a⊥B,则a一3b= 期 A.2 B.-2 c昌 D.6 5.若向量m=(0,0,一1)，n=(1,0,1),则m在n上的投影向量为 A.(0,0,-1) B.(0,0,2) 样 c(-20,-) D.（-2,0,-2) 北 6.若{p,q,r}是空间的一个基底，则下列集合可构成空间一个基底的是 A{p,2q,3r} B.{p,9,p-q} C.(q,r,q+2r) D.(r,p,2r-p) 7.已知ac≠0，则“bc=adr是“f(r）=z十为常数”的 ax十b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高二数学(A卷)试题第1页（共6页） 8.若关于x的方程-4cos2x十cosx=a在(-于，受)内有两个不同的解，则 A.-3<a<0 B-1<a<0或0<a<6 C.-3<a<-1或0<a<号 D-3<a<-或0Ka<品 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若复数，之2满足十2=2，名一z2=一23i,则 A.1=1-√3i B.22=1+√3i C.12=-2 1 10.如果M,N为两个事件，那么下列说法正确的是 A.若P(N)<P(M),则N二M B.若P(MN)=0.2,P(M)=0.4,P(N)=0.5,则M,N相互独立 C.若M,N互斥，P(M)=0.1,P(N)=0.2,则P(MUN)=0.3 D.若P(MUN)=0.8,P()=0.4,P(N)=0.5,则P(MN)=0.2 11.如果正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M满足AM=力AB十qAD十rAAi,p,g,r∈ [0,1],那么下列说法正确的是 A.当p=q=1时，AM与CD所成角的最大正切值是√2 B当十9十=1时，CM的最小值为号 C.当+r=1,q=0时，DM所在的平面与平面BCC1B1所成夹角的正切值为√2 D.当+g+P≤时，M轨迹的体积为 选择题答题卡 题号 2 3 5 6 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设P(0,1,一1)，Q(1,一2,0)在xOz平面上的射影分别为P1,Q1,则线段P1Q1的长为 13.若空间三点A(一1,1,0)，B(0,0,一1)，C(1,一1,1)，则三角形ABC的面积为 1衣-o手a:EN,则c价值袋款为 c十 高二数学(A卷)试题第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分) 为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了 20名学生进行测量，得到如下数据（单位：cm): 男生身高：170,170,172,169,175,180,182,171,171,176,177,178； 女生身高：165,160,171,160,166,164,168,170. (1)试估计高一男生的平均身高； (2)试估计高一女生身高的中位数； (3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少？ 16.(本题满分15分) 在空间直角坐标系Oxy之中，已知平面a的法向量为n=(一1,1,1)，直线l的方向向量为a= (0,1,0),且l∩a=O(0,0,0). (1)求l与a所成角的正弦值； (2)求空间一点A(1,1,2)到1的距离. 高二数学(A卷)试题第3页（共6页） 17.(本题满分15分) 已知f(x)=3sin2x-sin(牙-2x). (1)将f(x)改写为Asin(ax十p)(A>0,w>0,p∈[-，)的形式， (2)求f(x)的最小正周期，并写出单调递增区间； (3)若a∈(5，)，fa)=号，求cos2a的值 高二数学(A卷)试题第4页（共6页） 18.（本题满分17分) 如左图，在平行四边形ABCD中，已知AB=1,BC=2,AC=√3，将三角形BAC沿着AC折起得 到右图中的二面角B-AC-D,使得BD=√5. (1)求证：AB⊥平面ACD; (2)求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值； (3)设E∈BD,E驼-号市，判断三棱锥E-ACD外接球的球心0与B所连线段和平面ACD是 否有交点，并求此外接球的半径， 高二数学(A卷)试题第5页（共6页） 19.(本题满分17分) (1)已知a,b∈R,求证：a+bl≤|a十|bl; (2)设函数9(x),(x)的定义域均为I,若3K>0,使得Vx1,x2∈I,p(x1)十p(x2)≤K,则 称(x),2(x)是I上的“和有界函数对” ①求证：若p(x),2(x)是I上的“和有界函数对”，则3K>0,使得Hx∈I,|p(x)十(x) ≤K; ②当1∩I2≠时，若(x),2(x)是1上的“和有界函数对”，9(x),p(x)是12上的“和有 界函数对”，判断：p(x),(x)是否是11U12上的“和有界函数对”？若是，请给出证明，否则 请给出反例. 高二数学(A卷)试题第6页（共6页）名校联考联合体2025年秋季高二第二次联考 数学(A卷)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B 0 D A A (, D ABD BC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1B【解折】因为a/6所以导=人。=片以=-4 2.D【解析】，m所成角的余弦值为Q·b 11 a b 2X2 2 3.D【解析】B不是A的子集，故A错误；CA=(1,十∞)≠(0，十∞)，所以B错误：由已知及交集的定义得， A∩B=[-2,1]≠[-1,2]，所以C错误；AUB=R,所以D正确. 4.A【解析】因为a⊥3，所以n·n2=2×1十a×(-1)+3Xb=0,即a-3b=2. 5.C 【解析1n在n上的授影向量为0”n=是·1.0,1)=(-号0，一）. n3 6.A【解析】显然BCD中的任意一组都共面，不可能为空间一个基底. 假设p.2g3r在同-个平面内，则3∈R.3r=p(2q,所以3∈Rr=p+q,所以p9r共面， 这与{p,q,r}是空间的一个基底矛盾，所以假设不成立，所以选A. 7.C【解析J设fu)=m:则分-m→十1=ae十b)→c-mr+dm6-0 →S,m=0.→c=ad,所以是必要的： 21d-mb=0 当bc=ad时，因为ac≠0，所以b=( a c ar+b C为常数，所以是充分的. 。（七2）a（x十4 8.D【解析】u=)=cos,r(-智，）y-g()=一4w+u,分别作出它们的图象如下， u=cosx 122 y=-4u+u 0 =-3 要使得关于x的方程g(f()=a在(-牙·)内有解，必须0<u<1. 当u=一3时，u=1,此时方程4=c0s1∈(-5，及）只有一个解，不符合题意； 当-3一时分，此时方4=0，rE(一青·受)有两水不同的解 当-0《0时≤≤7此时方程=0(-吾受)只有-个解，不特合题意 当0<a<6时，0<<<此时方程1=60s,r(-弩，)有两个不同的解： 高二数学(A卷)参考答案一1 当a6时，u一8，此时方程u=c0s,t∈（一晋，受）只有一个解，不符合题意， 综上，-3<a<-号或0<a<6 1 二，选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABD【解析】因为之十2=2，之1一2=-23i,所以1=1一√3i,2=1十√3i, 所以4，=-号 10.BC【解析】A.显然错误； B.因为P(MV)=0.2,P(M)=0.4,P(V)=0.5,所以P(MN)=P(M)P(N), 所以M,N相互独立，所以B正确； C.因为M与N互斥，P(M)=0.1,P(N)=0.2, 所以P(MUN)=P()+P(N)=0.3,所以C正确； D.因为P(MUV)=0.8,P(M)=0.4,P(N)=0.5, 所以P(MV)=P(M)+P(V)-P(MUV)=0.1,所以D错误. 山.ACD【解析】当p=9=1时，AM与CD所成角为∠BAM,共最大正切值足C2,所以A正确； 当十g+,=1时M,点在三角形A,BD的边上及其内部，所以CM的最小值为23≠受所以B锈误： 34 当p十r=1,g=0时.M在线段AB上运动. 所以DM所在的平面为A1BD,因为平面A))A与平面BCCB,平行， 所以△ABD所在平面与平面BC}所成夹角即为△ABD所在平面与平面ADD1A的夹角. 取A1D的中点为O,连接OA,OB,可以证明： B. C B ∠AOB为△A,BD所在平面与平面ADD1A的夹角，进一步计算得，tan∠AOB=√2， 所以C正确； 当+十严<时，M的轨迹为以A为琼心，半径为2的球与正方体所交成的八分之一球， 所以M的轨选的体积为日×暂×（号）'=西所以D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.V2【解析】由已知得，P1(0,0,一1)，Q(1,0,0),所以PQ1=√(0-1)+(-1-0)=√2. 1.32【解折]由题意得Ai=(1,-1,-D.4AC-(,-2,1D,所以oBAC=店：AC 33 AB·AC√3X33’ 因为0K∠BAC<π，所以sin∠BAC-6 所以三商形AC的面积为号A正·AClsin∠BAC=号X3X3×香-3号 321 C+bb.∈N, 14.2,3,4【解析】因为2<V7<3,所以a=2,所以w7=2十b 所以√7一2= ,所以(c-4)W√7+(11一b-2c)=0, c+7-2 因为∈N,片以2=0 所以，b=3,c=4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)抽样的12名男生的平均身高为 170+0+0+2-1+5+10t12+1+1+6+7+8=174.25.…2分 12 高二数学(A卷)参考答案一2 所以估计高一男生的平均身高为174.25cm;… …4分 (2)女生身高从矮到高排列为：160,160,164,165,166,168,170,171，… 5分 抽样的8名女生身高的中位数为165166-165.5,7分 2 所以可以估计高一女生身高的中位数为165,5cm:…9分 ③)从20个样太中，随机0取一个，福到女生身高的频率为品-04， …11分 用频率估计概率，从1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为0.4.…13分 6.【解析】K设乙与a所成的角为，所以sin月州：… 2分 因为n=(-1,1,1),a=(0,1,0),所以n·a=1,… 3分 n=/3,a=1,… 5分 所以sin0= 13 3X3 …7分 (2)因为A(1,1,2),所以AO=√1十12+2=√6， …9分 因为Q=(0,1,0)A0=(-1,-1,-2),… 11分 所以A0在1上的射影长度为Aò×A9·a-A0.a=1 …13分 AO a a 所以A(1,1,2)到1的距离为A0-1=、5.…15分 17.【解析】(1)f(x)=√3sin2x-cos2 2分 =2sin(2x-5）: 4分 (2))的最小正周期为=， 6分 ……8分 单调递增区间为[一吾十k,5十kx](k∈Z: …9分 (3)因为fa)=号，所以2sin(2a吾)=号，所以m(2e看)=吉 …11分 国为a∈(5·)，所以2a-百∈(0，爱)，所以cs(2晋）-2号 ………………………13分 3 所以cos2a=cos[(2a否)+若]=cos(2a-若）cos石-sin(2a-若)sin8 …14分 2g××2 3 2 31 ……15分 6 18.【解析】(1)在题左图中， 因为AB=1,BC=2,AC=√3，所以BC=AB+AC, 所以AB⊥AC,CA⊥CD,… …1分 在题右图中， 因为AB=1,AD=2,BD=V5,所以BD2=AB2+AD3, 所以AB⊥AD,…2分 因为AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD;…3分 (2)过A点在平面ACD内作一条直线l∥CD, 因为CA⊥CD,所以直线AC,l,AB两两垂直， 分别以直线AC,1,AB为x,y,之轴建立空间直角坐标系Oxyz,…5分 所以AD=(3,1,0),CD=(0,1,0),BD=BA+AD=(3,1,-1), 设平面BCD的法向量为n=(,y,之)，所以 y=0, v3x+y-z=0, 不妨设n=(1,0,W3),…7分 过C作CF⊥AD交AD于F, 所以AF= ，且可以汪得CFL手面ABD, …8分 进一步计第得0C-(-,）, 高二数学(A卷)参考答案一3 即年面ABD的法向量为C广=（年0）， …9分 所以平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为 ③ CF.n 4 11分 CF n 49 (3)因为E∈BD,成=号Bi所以求得E得，号，号 12分 AD的中点空标为（号0） 因为AC⊥CD,所以三角形ACD的外心为AD的中点， 所以可以设EACD外接球的球心为0受，号)。 …14分 因为40=0，所以()'+(3)+=(3)+（日）广+(-号)， 所以之= 3所以O和B位于平面ACD的异侧，故线段OB与平面ACD有交点，6分 外接球半径为、()+()+：=。 3 …17分 19.【解析】(1)因为a,b∈R,所以一a<.一bb≤b,…1分 所以-a一b≤a十b≤a十|b.所以4|b川<u十b;… …3分 (2)①因为9(x),(x)是I上的“和有界函数对”.所以3K>0,使得Hx1,2∈1， 9(x1)十2(x2）≤K,令x1=x2,得p1(x1)十2（.x1)≤K,…5分 由x1的任意性得，x∈I,g（x)十2(x)≤K;…7分 ②Hx1,x2∈I1U12, (i)若x1,x2∈I1或x1,2∈12，则了K>0,使得(x)十92（2)|≤K;…8分 (i)若x1∈11，x2∈I2,由I∩I2≠0取x∈1∩12， 所以9(x1)十92（x2)=9(x1)十9（x）-2(x)一9（x0)十9(x0）十g2(x2)|(￥)，…10分 由(1)的结论推得，a十b十c≤a+bl+c(Ha,b,c∈R), 所以(*)≤9()十9(xo)川十|一9(.）-9(x)川十9()十9() =9(x1)十9(.x)+92(x0)十9(x0)+|91(.)十9(x2), …12分 因为1(x),2(x)是I上的“和有界函数对”，9(x),(x)是12上的“和有界函数对”， 所以]K1,K2>0,9(x1)+9(xn)|≤K1,9(xo)+9(x2)≤K2, 13分 由①得，(x0)十⑨(x0)≤K1,…15分 所以p(x1)十2(T)|+(xa)+9(x0)|+9()十9(2)|≤2K1十K2, 令2K+K2=K,即9(x1)+9(x2)K, 所以3K>0,1∈1，∈12,91()十%(r2)川≤K,… 16分 综合(i)(iⅱ)得，p(x),p(x)也是IUI2上的“和有界函数对”.…17分 高二数学(A卷)参考答案一4