专题3.3垂径定理重难点题型专训（1个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2012）

专题3.3垂径定理重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 题型四 利用垂径定理求解其他问题 题型五 垂径定理的推论 题型六 垂径定理的实际应用 拓展训练一 垂径定理的综合应用 知识点一：垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2. 拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【即时训练】 1.（2023九年级·贵州铜仁 期中）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A． AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 【答案】B 【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解． 【详解】解：∵直径AB⊥弦CD ∴CE＝DE 故选B. 【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成． 2.（24-25 九年级上·苏州·阶段练习）如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 【经典例题一 利用垂径定理求值】 【例1】（2023九年级·江西赣州·竞赛）A是半径为5的内的一点，且，过点A且长小于8的弦有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】A 【分析】正确作出过圆内一点的最短的弦，结合勾股定理和垂径定理进行计算． 连接，作弦，则是过点A的最短的弦．运用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：连接，作弦，则是过点A的最短的弦． 连接， 由勾股定理，得， 由垂径定理可知，． 所以过点A且长小于8的弦有0条． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理并结合题意作出辅助线． 根据题意画出图形，再根据线段长度相等得到等腰直角三角形，进而得到圆心角度数为． 【详解】解：由题意得： 过点O作 是等腰直角三角形， 故选：B ． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，连接，设的半径是，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设的半径是，则，， ∵是的直径，弦于点M， ， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得∶， 即的半径是， 故答案为：5． 4．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，，，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵AB⊥CD， ∴， ∴． 【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】 【例1】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可． 【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD， 则由垂径定理得：AE=AB=3，CF=CD=4， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=， 同理可求出OF=3， ∴EF=4－3=1； ②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3， 则EF=4+3=7； 即AB与CD的距离是1或7. 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理. 2．（24-25·陕西西安·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 【例2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 3．（24-25·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】 【例1】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理的应用，能够根据需要作出辅助线，并运用垂径定理是解决本题的关键． 【详解】过点O作，垂足为点E， 在小中，， 在大中，， ∴， ， ∴    1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过审题， 根据是的直径，弦，依据垂径定理即可解答问题． 【详解】解：∵是的直径，弦， 由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知， ∴，故A正确；， ∴，故D正确； ∵，， ∴，故C正确； 故选：B． 【点睛】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活应用． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）如图，点即为所求．      【经典例题五 垂径定理的推论】 【例1】（25-26九年级上·北京·阶段练习）有下列说法：过圆心的线段是直径；圆的对称轴一定经过圆心；直径是圆中最长的弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念，垂径定理的推论，根据直径，对称轴，弦的关系，垂径定理的应用逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； 圆的对称轴一定经过圆心，原说法正确，符合题意； 直径是圆中最长的弦，原说法正确，符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； ∴正确的是， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 1．（23-24九年级上·吉林·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．圆的对称轴有无数条 B．把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 【答案】C 【分析】本题考查了圆的对称性、垂径定理、等弧的概念等性质，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 利用垂径定理、等弧概念、圆的对称性等圆的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条，正确； B、根据圆的对称性，把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合，正确； C、平分弦（直径除外）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误； D、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，正确； 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 3．（2023 宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 4．（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义； （1）连接并延长，交于点，连接，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 【经典例题六 垂径定理的实际应用】 【例1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图是一个隧道的截面图，为的一部分，路面米，净高米，则此圆半径长为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为，则：，， 由图可知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； 故圆的半径为5米； 故选B． 【例2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 1．（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：设寸， ，AB是直径， 寸， ， ， ， 寸． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 【详解】解：由题可得：，，， ∵是的弦， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴圆的半径约为， 故选：B； 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B和C，D四点．利用刻度尺量得该纸条宽为，则纸杯的直径为 ． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，的长，设cm，由勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图， 设杯口所在圆的圆心为O，CD的中点为M，AB的中点为N，连接OD，OB， 则，且MN过圆心O， ，． 设． ， ， ， 解得，即， ， ∴纸杯的直径为． 故答案为：. 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 【拓展训练一 垂径定理的综合应用】 【例1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造垂径是解题的关键． 如图：连接，设该圆的半径为r，则，由题意可得：，然后代入得到关于r的方程求解，进而求得圆的直径． 【详解】解：如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由题意可得：， ∴，解得：， ∴圆形拱门的直径是米． 故选D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 1．（2025·陕西·模拟预测）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，且点为的中点，则，，设，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且点为的中点， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴大摆锤的长度为， 故选：． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（   ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的运算，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，先由垂径定理求得米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图， 则于D， ∴（米）， 在，米，米， 由勾股定理，得 解得：， 即圆弧的半径为50米， 故选：C． 3．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 【答案】米/ 【分析】依题意，三点共圆，设圆弧的半径为，过点作交于点，进而根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：依题意，三点共圆，如图， 设圆弧的半径为，过点作交于点， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：米． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知A，C，E为上的点，且． (1)如图①，求证：． (2)如图②，AB为的直径，且于点D． ①求证：； ②若，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）证明，得出结论； （2）①作辅助线，构建全等三角形，得； ②设的半径为，在中，根据勾股定理列方程：，求出半径，根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：（1）证明：如图①，连接CE，OA，OE． ． ， ， 是的平分线， ． （2）①证明：如图②，连接CO并延长交AE于点M， ． ． ， ， ， ． ②设的半径为，则． 由（2）①可知，， ． ． 在中，，即，解得， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理的应用，同时还考查了全等三角形的性质和判定，与勾股定理相结合，列方程解决问题． 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 【答案】A 【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A. 点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理. 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 5．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 6．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理的推论得，设，则，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵点D是的中点， ∴，． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 7．（2025·重庆·二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 8．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键． 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一定在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：B． 10．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 11．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，的直径与弦交于点M，添加一个条件： （写出 一 个即可），就可得到M是的中点 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了学生对垂径定理的理解，答案不唯一，只要有理即可，本题主要根据逆向思维求解． 根据垂径定理可知：可添加或平分，答案不唯一． 【详解】解：∵M是弦的中点，是直径， ∴由垂径定理可知，， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25九年级上·云南红河·期中）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 14．（24-25·浙江湖州·二模）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm． 【答案】12 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝48cm， ∴BD＝AB＝×48＝24（cm）， ∵⊙O的直径为60cm， ∴OB＝OC＝30cm， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm）， 即水的最大深度为12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 15．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，求出和的值，即可求出的长． 【详解】解：分为两种情况： ①如图1，过O作于E，延长交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ， ； ②如图2，同理，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，垂径定理的应用等知识点，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用，解决本题的关键是注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题． 连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，且寸， ∴寸， 设的半径的长为x，则， ∵寸， ∴寸， 在中，根据勾股定理得： 解得， ∴寸． 故答案为：10． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再证明即可得出． 【详解】证明：∵，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   【答案】 【分析】如图所示作出辅助线，由垂径定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，进而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可． 【详解】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC， 由垂径定理可得AM=， ∴在Rt△AOM中，， ∴ON=MN-OM=1， ∴在Rt△CON中，， ∴， 故答案为：    【点睛】本题考查勾股定理及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【答案】过点O作于E，根据垂径定理可得，，即可得到结果． 【详解】过点O作OE⊥AB于E， 在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED． 在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB． ∴AC=BD． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 20．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，为的直径，为的弦，于点E，延长交于点F，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据垂径定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：，为的直径， ，， ∵延长交于点，， ，， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 21．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，交于点、，求证：．    【答案】见解析 【分析】过点作于点，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得到，计算即可． 【详解】证明：过点作于点， 在中，， ， ，， ， ， ．    【点睛】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 22．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 【答案】的半径为米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得，米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为米． 23．（24-25九年级上·河南周口·期末）月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 【答案】这个圆形“月亮门”的半径为． 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．通过构建直角三角形，利用垂径定理和勾股定理来求解圆的半径． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为． ∵，，， ∴，． 在中，根据勾股定理， ∴． 展开得． 解得． 答：这个圆形“月亮门”的半径为． 24．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，内接于，点P是弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． 　 (1)在图1中，画出中边上的中线； (2)在图2中，画出中边上的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：连接交与D，连接即可； （2）如图：连接交于点，作射线交于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求． （2）解：如图：线段即为所求． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线等分线段定理、三角形的中线等知识点，灵活运用垂径定理、平行线等分线段定理是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3垂径定理重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 题型四 利用垂径定理求解其他问题 题型五 垂径定理的推论 题型六 垂径定理的实际应用 拓展训练一 垂径定理的综合应用 知识点一：垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2. 拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【即时训练】 1.（2023九年级·贵州铜仁 期中）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A． AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 2.（24-25 九年级上·苏州·阶段练习）如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【经典例题一 利用垂径定理求值】 【例1】（2023九年级·江西赣州·竞赛）A是半径为5的内的一点，且，过点A且长小于8的弦有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【例2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ． 4．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，，，求弦的长． 【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】 【例1】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 2．（24-25·陕西西安·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【例2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．（24-25·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】 【例1】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【经典例题五 垂径定理的推论】 【例1】（25-26九年级上·北京·阶段练习）有下列说法：过圆心的线段是直径；圆的对称轴一定经过圆心；直径是圆中最长的弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 1．（23-24九年级上·吉林·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．圆的对称轴有无数条 B．把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 3．（2023 宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 4．（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【经典例题六 垂径定理的实际应用】 【例1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图是一个隧道的截面图，为的一部分，路面米，净高米，则此圆半径长为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【例2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 1．（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B和C，D四点．利用刻度尺量得该纸条宽为，则纸杯的直径为 ． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【拓展训练一 垂径定理的综合应用】 【例1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 1．（2025·陕西·模拟预测）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（   ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 3．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知A，C，E为上的点，且． (1)如图①，求证：． (2)如图②，AB为的直径，且于点D． ①求证：； ②若，求AC的长． 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 2．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 8．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，的直径与弦交于点M，添加一个条件： （写出 一 个即可），就可得到M是的中点 ． 12．（24-25九年级上·云南红河·期中）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 14．（24-25·浙江湖州·二模）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm． 15．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是 ． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 18．（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 20．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，为的直径，为的弦，于点E，延长交于点F，，求证：． 21．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，交于点、，求证：．    22．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 23．（24-25九年级上·河南周口·期末）月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 24．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，内接于，点P是弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． 　 (1)在图1中，画出中边上的中线； (2)在图2中，画出中边上的中线． 学科网（北京）股份有限公司 $