专题3.1圆重难点题型专训（4个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（浙教版2012）

专题3.1圆重难点题型专训 （4个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 已知半径和圆上两点作圆 题型八 三角形外接圆的概念辨析 题型九 求三角形外心坐标 题型十 求特殊三角形外接圆的半径 题型十一 已知外心的位置判断三角形的形状 题型十二 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十三 判断确定圆的条件 题型十四 确定圆心(尺规作图) 题型十五 求能确定的圆的个数 题型十六 点与圆上一点的最值问题 拓展训练一 圆的性质判定及求解应用 拓展训练二 点与圆的相关问题求解 拓展训练三 三角形外接圆的相关问题 知识点一： 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 ． 【答案】圆心 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，根据圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合，则定点是圆心，即可作答． 【详解】解：∵圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合， ∴定点是圆心， 故答案为：圆心 知识点二：点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在内， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在 ，点D在 ．（均选填“内”“上”或“外”） 【答案】 上 内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．先判断得出，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：如图，中，，，， ∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵以点C为圆心，2为半径作，， ∴点D在内，点B在上． 故答案为：上，内． 知识点三：圆的有关概念 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则 ．（填“”， “”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了过确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆． 【详解】解：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．， 故答案为：． 知识点四：圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 2. 三角形的外接圆 （1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． （3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． （4）三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【答案】C 【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点D的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法错误的有（   ） ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： ① 经过一个点P的圆有无数个，正确； ②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； ③半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； ④以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误； 综上，错误的为④，即1个． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论． 【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦， 连接， 则， ∵， ∴， ∴直径是圆中最长的弦． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径，确定圆的两个要素是圆心和半径，所以要画了个圆就要保持圆心位置不变，圆的半径不变． 【详解】解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，故A选项不符合题意； B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆，故B选项不符合题意； C选项：保持圆心位置和圆的半径不变，可以画出一个圆，故C选项符合题意； D选项：圆心的位置可以改变，改变了圆心的位置不能画出一个圆，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积的推算，观察图形可知梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，据此解答． 【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径， 故选：D． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）一根绳子长，用这根绳子在操场上围出一块地，则所围地的最大面积是 ． 【答案】 【分析】围成的地的面积最大是圆形地块，通过圆的周长为，求出圆的半径，再求出圆的面积． 【详解】解：要使所围地的面积最大，地的形状应该为圆形，圆形地的周长为， ∴圆的半径为， 圆的面积为（）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，圆的周长和圆的面积，解题的关键是掌握有理数的混合运算，圆的周长和圆的面积． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）. 【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求. 【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答. 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川·期中）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 【详解】①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【详解】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 2．（2025·江西·模拟预测）火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　） A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题的解题关键是认识到圆的周长公式中，周长的增加量仅与半径的增加量有关，而与原始半径的具体大小无关．这意味着，只要两个圆的半径增加相同的量，无论它们原本的半径大小如何，周长的增加量将是一样的． 【详解】解：地球赤道半径增加后的周长增加量为． 火星赤道半径增加后的周长增加量为． 从计算结果来看，无论地球还是火星，只要半径增加相同的量，周长的增加量是相同的，都等于． 故选：C． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 4．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示） 【答案】阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米 【分析】根据阴影部分的周长＝一个圆的周长+矩形长的2倍，阴影部分的面积＝矩形的面积﹣一个圆面积计算即可． 【详解】解：由题意知，周长＝π×6+2×8＝6π+16（厘米）； 面积＝8×6﹣π×＝48﹣9π（平方厘米）， 答：阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米． 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，熟练掌握圆的周长和面积公式是解题的关键． 【经典例题五 判断点与圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·江西南昌·期末）若外一点与的距离为．则该的半径可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，求出圆的半径． 根据点在圆外时，设的半径为，则． 【详解】解：设的半径为， 点在圆外， ， 故选B． 【例2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是的直径，延长到．以为边作等边三角形，将从现在的位置起，绕点顺时针分别旋转①，②，③，④，能使点在上的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】此题考查点与圆的位置关系，关键是根据旋转的角度解答．根据旋转的性质和点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：是的直径，延长到，．以为边作等边三角形， ， 当旋转时，点在圆上， 当旋转时，点在圆上， 当旋转时，点在圆内， 当旋转时，点在圆内， 故选：B． 2．（24-25九年级上·云南普洱·期末）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系．通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】解：设圆的半径为，点到圆心的距离为． 已知， 因为． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆内， 所以点在内． 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）点与圆的位置关系有点在圆内，点在圆 ，点在圆 三种，可以用点到 的距离和半径的大小关系来判断． 【答案】 上 外 圆心 【分析】此题主要考查点和圆的关系，根据点和圆的关系即可判断. 【详解】解：点与圆的位置关系有点在圆内，点在圆上，点在圆外三种，可以用点到圆心的距离和半径的大小关系来判断． 故答案为：上；外；圆心． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 【答案】(1)作图见解析，点B在圆上，点C和点D在圆外 (2)6<r<10 【分析】（1）根据题意画出图形， 结合图形即可判断点与圆的位置关系． （2）根据勾股定理计算出对角线AC的长度，则半径的取值范围为AB<r<AC． 【详解】（1） 由图可知：点B在圆上，点C和点D在圆外． （2）连接AC，在Rt△ABC中，AC=， ∴6<r<10． 故答案为：6<r<10． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键 【经典例题六 利用点与圆的位置关系求半径】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【例2】（23-24九年级·全国·专题练习）圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？ 【答案】6或4 【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论． 【详解】如图所示，分两种情况： （1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点， 由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2， 则AP=2，BP=10， 所以圆O的半径为． （2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B， 由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2， 则BP=10，AP=2， 所以圆O的半径． 综上所述，所求圆的半径为6或4． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决． 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ． 【答案】 【分析】如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，据此得到结论． 【详解】解：如图， 当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为； 当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为， 所以，线段的长度的范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【答案】到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由， 知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【经典例题七 已知半径和圆上两点作圆】 【例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【例2】（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·专题练习）画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形. 【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆. 【分析】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形. 【详解】如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆. 【点睛】此题主要考查点与圆的关系，解题的关键是正确理解题意，再画出图形. 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【经典例题八 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，连接，再以的长度为半径，画圆，进而得出外接圆． 【详解】解：如图所示，即为所求； 1．（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 2．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明． 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据矩形的性质，对角线相等且相互平分；根据圆的性质，从圆心到圆上的点所成的半径相等即可求解． 【详解】解：方法一：利用矩形判定和性质证明． 如图所示，过点作，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵是斜边上的中线，即点是斜边上的中点， ∴点D也是的中点， ∴， ∴； 方法二：利用圆的性质证明． 如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆，且，即为的直径， ∴内接于，则点在圆上，且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，圆的性质，理解并掌握矩形中对角线相等且相互平分，从圆心到圆上的半径相等的知识是解题的关键． 【经典例题九 求三角形外心坐标】 【例1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形的外心的定义，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据外心的定义可得外心P是三角形三边垂直平分线的交点，即作出的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求： 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 【经典例题十 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，连接，根据直角三角形的性质即可得出的半径． 【详解】解：如图， 连接OB，过点O作于点E，则． 易得BO平分， ， ． ， ， 解得． 故选：. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，是一道综合性较强的题目，难度不大． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知等边△ABC． （1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆； （2）若AB＝2，求△ABC的外接圆半径R． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【分析】（1）作∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于O点，然后以O点为圆心，OB为半径画圆即可； （2）延长AO交BC于H，如图，根据等边三角形的性质得到AH⊥BC，BH＝CH＝，∠OBH＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可． 【详解】解：（1）如图，⊙O为所作； （2）延长AO交BC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AH⊥BC，BH＝CH＝ BC＝AB＝，∠OBH＝30°， ∴ ， ∴OH＝BH＝1， ∴OB＝2OH＝2， 即△ABC的外接圆半径R为2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握三角形的三条内角平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键． 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 【答案】C 【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】直角三角形两条直角边为3，4 那么此直角三角形的斜边为 即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5 故选：C 【点睛】此题考查勾股定理以及求三角形的外接圆半径，解题关键是判断直角三角形的斜边即外接圆的直径． 3．（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】当为斜边时， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D． （1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由； （2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．    【答案】(1)见解析;(2)1. 【分析】（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线． （2）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可． 【详解】解：（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．    （2）连接OB，OC． ∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵OD⊥BC， ∴BD＝CD＝，∠BOD＝∠BOC＝60°， ∴OD＝. 【点睛】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十一 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【例2】（23-24·河北唐山·一模）如图，，，点D在AC边上，． 求证：≌； 若，求的度数； 若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】由三角形的外角的性质可得，由“AAS”可证≌； 由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解； 由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点D是AC的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】证明：，且， ， ，， ≌ ≌， ，， ， ， ， ； ， 的外心是斜边AC的中点， 的外心在直线DE上， 点D是AC的中点， ， 又， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东烟台·期末）若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得． 【详解】解：由三角形外心的性质可得： 钝角三角形的外心在其外部， 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键． 4．（23-24·河北·二模）已知圆是等边三角形的外接圆，P是圆上异于的一点 （1）如图，若，直线与直线的交点为，连接，求的长度 （2）若，猜想的数量关系并证明． 【答案】（1）4；（2），证明见解析 【分析】（1）在Rt△PAC中，求出PC，再证明PD＝PC即可解决问题． （2）在PC上截取一点E，使得PB＝PE，连接BE．证明△ABP≌△CBE（SAS）即可解决问题． 【详解】解：（1）是等边三角形，所以 所以 在中， 故的长度是4． （2）由题意得点在，结论 证明，如图，在上取一点，使得，连接 是等边三角形 ． 【点睛】 本题考查三角形的外心与外接圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十二 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（23-24·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段的垂直平分线，与的垂线平分线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图： 作线段的垂直平分线，与的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点D在的边上的中垂线上， ∴点D是外心． 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知点O是的外心，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的外心的性质解答即可； 【详解】∵点 为 的外心， 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键 4．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．    (1)请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)若，求小明家花坛的周长（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作出的外接圆即可； （2）算出的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示：圆即为所求：    （2）解：∵ 圆的半径为 ∴小明家花坛的周长为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆．三角形的外接圆圆心是三条边垂直平分线的交点，熟记结论即可． 【经典例题十三 判断确定圆的条件】 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题的关键． 【详解】解：过一点的圆的圆心可以是平面上除点外的任意点，选项错误； 过两点的圆的圆心在一条直线上，在的垂直平分线上，选项正确； 过不在同一直线上三点的圆的圆心只有一个点，即三角形的外心，选项错误； 过四点的圆存在，比如正方形的外接圆，选项错误． 故选B 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 【答案】A，B，C三点可以确定一个圆． 【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（-3，-7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可． 【详解】设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b， 由A（2，3），B（-3，-7）， 得， 解得． ∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x-1； 当x=5时y=2x-1=2×5-1=9≠11， 所以点C（5，11）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上， 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及三点能确定圆的条件,解题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式． 1．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·全国·专题练习）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆． 【答案】不在同一直线上（不共线） 【分析】根据确定圆的条件填空即可求解． 【详解】解：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 故答案为：不在同一直线上（不共线） 【点睛】本题考查了确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键． 4．（23-24·河北·中考模拟）“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点，是否可以确定一个圆．请写出你的推理过程． 【答案】解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0)则       2k+b=7      -3k+b=-9 ∴k=……………………………………………………………………………1分 b= ……………………………………………………………………………1分 ∴y=………………………………………………………………………1分 当x=5时 y=16+=16.8≠11…………………………………………………………………1分 ∴点C(5、11)不在直线AB上……………………………………………………1分 ∴点A（2、7）B（-3、-9）C（5、11）确定一个圆……………………………1分 【详解】略 【经典例题十四 确定圆心(尺规作图)】 【例1】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：圆心O如图． 1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 2．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（      ）. A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系. 【详解】 如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O， ∵ ， ∴点M在圆上， 故选C. 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，根据垂径定理，确定圆的圆心，是初中圆这一部分常见的作图，需要引起注意. 3．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 4．（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了确定圆的圆心位置，一个圆的圆心一定在该圆一条弦的垂直平分线上，则在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【经典例题十五 求能确定的圆的个数】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C． 考点：确定圆的条件． 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【经典例题十六 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【答案】4cm，20cm 【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定． 【详解】解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r， ∴点P在圆内， 点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)； 最长距离为：12+8=20(cm)． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径． 【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是； 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识． 3．（23-24九年级上·江苏·周测）点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 【答案】或 【分析】先分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最长距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最长距离加上最小距离等于圆的直径即可求解． 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值． 【答案】 【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，过点P作PH⊥AC， 由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动， 当的延长线交圆于点时面积最大， 在中，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键． 【拓展训练一 圆的性质判定及求解应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 1．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）有一个边长为50 cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( ) A．50cm B．cm C． cm D．cm 【答案】C 【详解】试题解析：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：． 故选C． 2．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 【答案】2 【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质．取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，长方形ABCD的面积为300cm2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由． 【答案】不能，说明见解析. 【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm，结合长方形ABCD的面积为300cm，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm ，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm． 由题意，得 3x•2x=300， ∵x＞0， ∴， ∴AB=cm，BC=cm．    ∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，     ∴πr2=147，                                  解得：r=7cm．            ∴两个圆的直径总长为28cm．     ∵，             ∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆． 【拓展训练二 点与圆的相关问题求解】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点的距离是解题的关键． 利用勾股定理求出各格点到点的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论． 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．   ，，，，， 时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有3个在圆内． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，当在的延长线上时，最大，此时最大，由勾股定理求出，得到，即可求出的最大值． 【详解】解：过作，连接， 的坐标是，在中，由勾股定理得： ， ，， ， 当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大， 圆的半径是5， ， ， ， 的最大值是40． 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，菱形ABCD中，∠A=60°,AB=6,⊙A,⊙B的半径分别为4和2，P,E,F分别是线段CD，⊙A,⊙B上的动点，则PE+PF的最大值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】如图，连接PB，延长PB交⊙B于F，连接PA交⊙A于E，要求PE+PF的最大值，可以转化为求PA+PB的最大值．通过寻找特殊点，发现当点P与点C重合时，PA、PB同时取得最大值，此时PA+PB的值最大． 【详解】如图，连接PB，延长PB交⊙B于F，连接PA交⊙A于E， 要求PE+PF的最大值，可以转化为求PA+PB的最大值． ∵点P在线段CD上， ∴①当点P与点C重合时，PA最大，（因为∠ACD＜∠ADC，所以，点C是“小角”点）； ②当点P与点C或者点D重合时，PB最大．（因为∠ACD＜∠ADC，所以，点C、D均是“小角”点）． 所以，根据①、②可知，当点P与点C重合时，PA、PB同时取得最大值，此时PA+PB的值最大， 在△ACD中，∵∠ADC=120°，AD=DC=6， ∴AC=2×6×=6， ∴PE+PF的最大值=AC+AE+BC+BF=6+12． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找使得PE+PF的值最大时的位置． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆内，由此得到，即可求出的取值范围． 【详解】解：点B到圆心O的距离， ∵点B在内， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）【概念】在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”．距离的本质是“最短”． 给出新定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“距离”，记作．特别地，若图形M、N有公共点，规定． 【理解】 (1)如图1，过A、B作垂线段分别交直线于点C、D、E、F，则是 的长度． A．垂线段   B．垂线段  C．垂线段   D．垂线段 (2)如图2，已知线段，请画出同时满足下列2个条件的所有线段． ①线段长为； ②． 注：标注必要的数据；若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示所在区域． (3)如图3，已知的圆心为，半径为1．若，请直接写出的取值范围 ． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)或或 【分析】本题属于圆综合题，考查了垂线段最短，直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据图形M、N间的“距离”的定义以及垂线段的性质即可解决问题． （2）满足条件的线段是无限的，所形成的图形为椭圆环． （3）当到直线的距离为2时，，当到的距离为2时，或，观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 根据垂线段最短可知：的长度， 故选：C． （2）解：满足条件的线段是无限的，如图2中阴影部分． （3）解：如图3中， 设直线表达式为，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，把代入， ， 解得：， 则直线表达式为， 当时，，当时，， ， ， ， 当点M在左侧时，作于H， 当的圆心M到直线的距离为2时，即， ， ， 同理，当点M在右侧时， 当到的距离为2时，或． 观察图形可知当或或时，． 故答案为：或或． 【拓展训练三 三角形外接圆的相关问题】 【例1】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误，不符合题意； C、直径是弦，正确，符合题意； D、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，．   (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹） (2)求它的外接圆的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查三角形外接圆的作法以及勾股定理解三角形，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）分别作和的中垂线，他们的交点就是圆心； （2）根据勾股定理得出，再由，确定半径即可求出面积． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求的的外接圆； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆的面积为：． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴点在的边的垂直平分线上， 当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点， 当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时点在的边的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， ∴点一定在上， ∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是， 在中，， ， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键． 3．（23-24·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 4．（23-24·河北唐山·一模）如图，在中，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接． 求证:； 当时，求的度数； 点是的外心，当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，直接写出点运动的路径的长， 【答案】(1)见解析；（2）：∠E=65°或25°；（3） 【分析】（1）（1）利用“边角边”证明即可； （2）分两种情况：点D在线段BC上时和点D在BC延长线上时，利用全等三角形对应角相等，推出∠E=∠ADB，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB=∠CAB=45°，根据外角性质求出∠ADB，即可解答； （3）过点B作BF垂直AC，交AC于F，作DC边的垂直平分线交BF于点P，过点F作FG⊥BC，交BC于点G，证明BF是AC的垂直平分线，从而推出点P即为三角形CAD的外心，根据点恰好在内部或边上，确定点运动的路径为BF，求BF的长即可. 【详解】（1）∵∠ABC=90°， ∴∠CBE=90°=∠ABC， ∵AB=CB， BE=BD， ∴ △ABD≌△CBE； （2）当点D在线段BC上时， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠E=∠ADB， ∵AB=CB，∠ABC=90°， ∴∠ACB=∠BAC=45°， ∴∠E=∠ADB=45°+20°=65°； 当点D在BC延长线上时，如图， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BEC=∠ADB， ∵AB=CB，∠ABC=90°， ∴∠ACB=∠BAC=45°， ∴∠BEC=∠ADB=45°-20°=25°； 综上：∠E=65°或25°. （3）如图，过点B作BF垂直AC，交AC于F，作DC边的垂直平分线交BF于点P，过点F作FG⊥BC，交BC于点G， ∵BF⊥AC， ∴BF是AC的垂直平分线， ∴点P即为三角形CAD的外心. ∵P为BF上一点， 由题意可知点恰好在内部或边上， ∴点运动的路径为BF， ∵ ∴， ∵BF是AC的垂直平分线， ∴BF=， 即点P的运动路径长为 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，外心的性质和勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 3．（23-24九年级·北京·专题练习）如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长， 【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键． 4．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【答案】A 【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解． 【详解】解：由题意得 解得：， 解得：， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键． 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，，，， ∴，，,， ∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外． 故选：D． 7．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）若⊙O 是以1为半径的圆，点M在圆内，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内部，有，进行判断即可． 【详解】的半径为1，点A在的内部， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种，设的半径为，点到圆心的距离为d，则有点在圆外，点在圆上，点在圆内． 8．（23-24九年级下·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 9．（23-24八年级下·北京海淀·期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　） A． B．﹣2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】如图，连接BE，BD．先利用勾股定理求出BD，根据点E为MN中点，可得BE＝2（米），梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上运动，当点E落在线段BD上时，DE的值最小． 【详解】如图，连接BE，BD． 由题意BD＝（米）， ∵∠MBN＝90°，MN＝4米，点E为MN中点， ∴BE为直角三角形斜边中线， ∴BE＝MN＝2（米）， ∴梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上运动， ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为（﹣2）米． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，线段中点运动轨迹，直角三角形斜边中线性质，关键是利用圆与BD相交点位置确定最小值是解题关键． 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 11．（23-24九年级上·福建南平·期末）在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为 ． 【答案】4 【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论． 【详解】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图， 则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值， ∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF−PE＝EF＝4. 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若点在的内部，，则的半径可能是 ．（填上一个符合要求的数字） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行求解即可． 【详解】解∶∵点在的内部，， ∴的半径大于4． 故答案为∶5（答案不唯一）． 15．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键． 由题意知，，由点B在内，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点B在内， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 16．（2023·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·江苏南通·期末）把三角形向右平移5格，新的三角形3个顶点分别用，和表示，再以为圆心，以为半径，画一个圆．    【答案】见详解 【分析】平移作图要注意：方向和距离，平移作图就是把整个图案的每一个特殊点按一定方向和一定的距离平行移动，根据圆心确定位置，半径确定大小即可画圆． 根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到向右平移5格后的图形，然后再以为圆心，以为半径，画一个圆即可． 【详解】把三角形的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到向右平移5格后的三角形，然后再以为圆心，以为半径，画一个圆即可．    18．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键． 根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：到转了（圈）， 到转了（圈）， 作图如下： ． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 【答案】见解析 【分析】根据小明和小丽的铅球成绩分别是和，得出其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：6.4m落在6m到7m之间； 5.1m落在5m到6m之间； 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，关键是根据和分别求出其所在的范围，用到的知识点是近似数． 20．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【答案】 【分析】首先根据圆切线的性质，得出，然后根据四边形是矩形得出，进而得出，，再设半径为r，根据勾股定理，列出方程，即可解得半径，进而得解. 【详解】设其切点为F，连，交于点E ∵是的切线 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，． 设半径为r, 在中， ∴ ∵即 ∴ 答：圆弧形门的最高点离地面的高度为． 【点睛】此题主要考查圆的切线的性质以及运用勾股定理列出方程，熟练运用，即可解题. 21．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)． (3)在内． 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为， 故答案为：． （2）解：， 即的半径为． （3）解：， ， ∴点与的位置关系是点D在内． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 23．（23-24·河北唐山·一模）如图，在中，，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动，点和点同时出发，速度相同，到达点或点后运动停止．    （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由题意得BD=CE，得出BE=CD，证出AB=AC，由SAS证明△ABE≌△ACD即可； （2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，作出AC=CD，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE的度数； （3）对△ABD的外心位置进行推理，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点、点分别从点、点同时出发，在线段上作等速运动， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ （3）若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形． ∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°． ∴∠BDA＞50°， 又∵∠BDA＜90°， ∴50°＜∠BDA＜90°． 【点睛】本题考查了全等三角形的与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外心等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 24．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 【答案】（）；（）证明见解析；（）作图见解析， 【分析】（）连接，设交于点，由三角形三边关系可得，进而即可求解； （）由正方形的性质可证，即得，进而由得到，即得到，得到点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上，设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，连接，交半圆于点，可知此时的值最小，点即为所求，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】（）连接，设交于点，如图， 则， ∴， ∴点与点重合时，取得最小值为， 故答案为：； （）证明：在正方形中，，， ， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上， 设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）如图所示，点即为所求， ∵正方形的边长为，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，线段垂直平分线的作法，勾股定理，由题意判断出点的运动轨迹是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1圆重难点题型专训 （4个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 已知半径和圆上两点作圆 题型八 三角形外接圆的概念辨析 题型九 求三角形外心坐标 题型十 求特殊三角形外接圆的半径 题型十一 已知外心的位置判断三角形的形状 题型十二 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十三 判断确定圆的条件 题型十四 确定圆心(尺规作图) 题型十五 求能确定的圆的个数 题型十六 点与圆上一点的最值问题 拓展训练一 圆的性质判定及求解应用 拓展训练二 点与圆的相关问题求解 拓展训练三 三角形外接圆的相关问题 知识点一： 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 ． 知识点二：点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 2．（24-25九年级上·全国·期末）在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在 ，点D在 ．（均选填“内”“上”或“外”） 知识点三：圆的有关概念 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则 ．（填“”， “”，“”） 知识点四：圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 2. 三角形的外接圆 （1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． （3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． （4）三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ． 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法错误的有（   ） ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 2．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）一根绳子长，用这根绳子在操场上围出一块地，则所围地的最大面积是 ． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 1．（24-25九年级上·四川·期中）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　） A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定 3．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 4．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示） 【经典例题五 判断点与圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·江西南昌·期末）若外一点与的距离为．则该的半径可能为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是的直径，延长到．以为边作等边三角形，将从现在的位置起，绕点顺时针分别旋转①，②，③，④，能使点在上的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 2．（24-25九年级上·云南普洱·期末）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 3．（24-25九年级上·全国·期末）点与圆的位置关系有点在圆内，点在圆 ，点在圆 三种，可以用点到 的距离和半径的大小关系来判断． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 【经典例题六 利用点与圆的位置关系求半径】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【例2】（23-24九年级·全国·专题练习）圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？ 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【经典例题七 已知半径和圆上两点作圆】 【例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．（23-24九年级上·全国·专题练习）画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形. 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【经典例题八 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 1．（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    4．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明． 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 【经典例题九 求三角形外心坐标】 【例1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【经典例题十 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知等边△ABC． （1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆； （2）若AB＝2，求△ABC的外接圆半径R． 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 3．（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D． （1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由； （2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．    【经典例题十一 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【例2】（23-24·河北唐山·一模）如图，，，点D在AC边上，． 求证：≌； 若，求的度数； 若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 3．（23-24九年级上·山东烟台·期末）若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是 ． 4．（23-24·河北·二模）已知圆是等边三角形的外接圆，P是圆上异于的一点 （1）如图，若，直线与直线的交点为，连接，求的长度 （2）若，猜想的数量关系并证明． 【经典例题十二 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（23-24·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知点O是的外心，且，则 ． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．    (1)请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)若，求小明家花坛的周长（结果保留π） 【经典例题十三 判断确定圆的条件】 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 1．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 3．（23-24九年级上·全国·专题练习）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆． 4．（23-24·河北·中考模拟）“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点，是否可以确定一个圆．请写出你的推理过程． 【经典例题十四 确定圆心(尺规作图)】 【例1】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 2．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（      ）. A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 3．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题十五 求能确定的圆的个数】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    4．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【经典例题十六 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·江苏·周测）点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值． 【拓展训练一 圆的性质判定及求解应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 1．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）有一个边长为50 cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( ) A．50cm B．cm C． cm D．cm 2．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，长方形ABCD的面积为300cm2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由． 【拓展训练二 点与圆的相关问题求解】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，菱形ABCD中，∠A=60°,AB=6,⊙A,⊙B的半径分别为4和2，P,E,F分别是线段CD，⊙A,⊙B上的动点，则PE+PF的最大值为（     ） A． B． C． D．6 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）【概念】在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”．距离的本质是“最短”． 给出新定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“距离”，记作．特别地，若图形M、N有公共点，规定． 【理解】 (1)如图1，过A、B作垂线段分别交直线于点C、D、E、F，则是 的长度． A．垂线段   B．垂线段  C．垂线段   D．垂线段 (2)如图2，已知线段，请画出同时满足下列2个条件的所有线段． ①线段长为； ②． 注：标注必要的数据；若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示所在区域． (3)如图3，已知的圆心为，半径为1．若，请直接写出的取值范围 ． 【拓展训练三 三角形外接圆的相关问题】 【例1】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【例2】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，．   (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹） (2)求它的外接圆的面积． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 4．（23-24·河北唐山·一模）如图，在中，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接． 求证:； 当时，求的度数； 点是的外心，当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，直接写出点运动的路径的长， 1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级·北京·专题练习）如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 7．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）若⊙O 是以1为半径的圆，点M在圆内，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 9．（23-24八年级下·北京海淀·期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　） A． B．﹣2 C．2 D．4 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·福建南平·期末）在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为 ． 12．（23-24九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若点在的内部，，则的半径可能是 ．（填上一个符合要求的数字） 15．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是 ． 16．（2023·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 20．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 21．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 22．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 23．（23-24·河北唐山·一模）如图，在中，，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动，点和点同时出发，速度相同，到达点或点后运动停止．    （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 24．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 学科网（北京）股份有限公司 $