精品解析：四川省绵阳外国语学校2025-2026学年高二上学期第一学月教学质量检测（10月）数学试题

【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2025～2026学年上期第一学月教学质量检测 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为 A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样各层在总体的比例与在样本的比例相同求解. 【详解】因为分层抽样总体和各层的抽样比例相同， 所以各层在总体的比例与在样本的比例相同， 所以样本中乙类型饮品的数量为. 故选B. 【点睛】本题考查分层抽样，依据分层抽样总体和各层的抽样比例相同. 2. 现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（　　） A. 719 B. 556 C. 512 D. 050 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机数表的使用方法判断即可. 【详解】从3开始向右读，第一个符合条件数为378，第二个数为591，第三个数为695，第四个数为556，第五个数为719，大于699，不符合，第六个数为981，大于699，不符合，第七个数为050，符合，所以第5个样本为050. 故选：D. 3. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可. 【详解】，， ， 解得 故选：A. 4. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解. 【详解】由题意，是空间的一个基底， 设，，，则不共线． 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存实数使得， 即， 所以，解得，，． 故选：A. 5. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片都为绿色． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可得解. 【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”. 给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有:“2张都不是红色”,“2张恰有一张红色”,“2张都为绿色”. 而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥．所以符合题意的事件为①②④，一共3个. 故选：C. 6. 已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 7. 某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02 93 12 25 85 69 68 34 31 45 73 93 28 75 56 35 87 30 11 07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（ ） A. 0.50 B. 0.45 C. 0.40 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析出两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的基本事件数有9个，总的事件数有20个，根据古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】因为1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心， 所以两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示：随机数组中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个； 它们分别是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9个， 即满足条件的基本事件数有9个，总的事件数有20个， 所以该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为． 故选：B. 8. 如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但未全部选对得部分分值，有选错的得0分. 9. 电影《南京照相馆》在全国各地热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，180，160，170，160，则这组数据的（　　） A. 众数为160 B. 中位数为170 C. 平均数为140 D. 第30百分位数为90 【答案】AC 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再按照各数字特征的要求判断求值． 【详解】影院观影人数按由小到大排列依次为80，90，120，160，160，160，170，180， 选项A:这组数据的众数为160，所以选项A正确； 选项B:中位数为第四个数和第五个数的平均值，为所以选项B错误； 选项C:这组数据的平均数为，所以选项C正确； 选项D:因为，所以第30百分位数为第三个数，为120，所以D错误． 故选：AC． 10. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A，若，则，解得，故选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C，若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：ABC. 11. 在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若有放回地抽取，则 B 若有放回地抽取，则 C. 若不放回地抽取，则 D. 若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 【答案】10，12 【解析】 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 13. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为________ 【答案】##0.7 【解析】 【分析】由对立事件和相互独立事件的概率计算公式可得结果. 【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为， 所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：. 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． （1）分别求甲队总得分为0分和2分的概率； （2）求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】（1）甲队总得分为0分和2分的概率分别为. （2）甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【解析】 【分析】（1）（2）运用独立事件概率相关知识，可容易解出. 【小问1详解】 设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. 【小问2详解】 设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 16. 已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）； （3）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与可得证. 【小问1详解】 证明：由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面． 【小问2详解】 证明：由，，， 得 ， ． 【小问3详解】 证明：由（2）知， 所以 ， ． 17. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． 【答案】（1） （2）中位数为80，第35百分位数为75 （3）平均数为89，方差为36 【解析】 【分析】（1）由所有矩形面积之和为1可得答案； （2）由（1）中结果可估计中位数与百分位数； （3）由题可得成绩在，内的人数分别为30，20，然后由样本方差估计总体方差计算方法得答案. 【小问1详解】 由，得 【小问2详解】 前三组频率之和为， 所以样本数据的中位数为80； 前两组频率之和为 则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为x， 则； 【小问3详解】 由题意，成绩在，内的人数分别为30，20． 设内数据的平均数为，方差为， 内数据的平均数为，方差为，总平均数为，方差为， 依题意，，，，则， . 所以，成绩在内的平均数为89，方差为36． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． （1）求证：； （2）求的长； （3）求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【小问1详解】 法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； 【小问2详解】 法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 【小问3详解】 法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 19. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解析】 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【小问1详解】 （i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2025～2026学年上期第一学月教学质量检测 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为 A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 2. 现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 规定从选定数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（　　） A. 719 B. 556 C. 512 D. 050 3. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张红色； ④2张卡片都为绿色． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 某运动员每次投掷飞镖命中靶心概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02 93 12 25 85 69 68 34 31 45 73 93 28 75 56 35 87 30 11 07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（ ） A. 0.50 B. 0.45 C. 0.40 D. 0.35 8. 如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但未全部选对得部分分值，有选错的得0分. 9. 电影《南京照相馆》在全国各地热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，180，160，170，160，则这组数据的（　　） A. 众数为160 B. 中位数为170 C. 平均数140 D. 第30百分位数为90 10. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 11. 在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若有放回地抽取，则 B. 若有放回地抽取，则 C. 若不放回地抽取，则 D. 若不放回地抽取，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 13. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为________ 14. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． （1）分别求甲队总得分为0分和2分的概率； （2）求甲队得2分且乙队得1分的概率． 16. 已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）； （3）． 17. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． （1）求证：； （2）求的长； （3）求． 19. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $