2.重难题型卷(一)有理数及其运算-【真题圈】2024-2025学年新教材七年级上册数学练考试卷（北京版2024）北京专版

、真题圆数学 4.开放性问题小李同学在“智慧中小学”学习平台上看到这样 题型二数轴上的点 同步调研卷 七华级上5E 一个问题的解答： 5.(月考·牛栏山一中实验学校)如图，数轴上有A,B,C,D四 2.重难题型卷（一） 需 练一练 个点，其中表示互为相反数的点是() 有理数及其运算 计算：（茹）÷居0+名引 A.点A与点B B.点B与点C C.点B与点D D.点A与点D 题型一简便运算 解法1：原赋（动）：（品品+高号 专”。f子 A B C D 1.运用分配律计算13号×时，下列变形最简便的是( 第5题图 第7题图 AB+引×君 B(4-引×君 =（0)+8-(0)×8= 。红接通分 6.(期中·通州区)在数轴上点A表示的数是1，到点A的距离 是3个单位长度的点表示的数是() c(o+39)×君 D(6-2)×君 A.3 B.-3 C3或-3 D.4或-2 2.(月考·清华尉中)计算：6483-5号+35.17-49 解法2：原式-（动）+居+名（品+引 7.(期末·海淀区)已知点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示， 且相邻两点之间的距离均为1个单位长度.若点A,B,C,D (0)(信)=(0)÷ 法 分别表示数a,b,c,d,且满足a+d=0,则b的值为( 与 =（0)×3=-0 结合排 A.-1 8.2 c D.1 8.(期末·清华附中)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图 所示，则正确的结论是( 解法3：仔0+片引+（动) A.-a>c B.a>b C.ab>0 D.a>-3 -0+片-引x(-0爵 3210129为4 M N 3计算：)-号-) =-号×30+0×30-6×30+号×30 第8题图 第9题图 =-20+3-5+12=-10, 9.(期中·通州区)点M,N在数轴上的位置如图所示，点M,N 2-370)×日+0.25×245+(-25%)×（-号 所（动）+（得六+名引- 表示的有理数分别为a,b,如果ab<0,a+b>0,那么下列描述 数轴原点位置的说法正确的是( A原点O在点M的左侧 根据你对上题解法的理解，选择一种合适的方法计算： B.原点O在点N的右侧 (立+) C.原点O在点M,N之间，且a>b D.原点O在点M,N之间，且a<bl 10.新定义问题在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点 O.对于两个不同的点M和N,若点M、点N到点O的距离 相等，则称点M与点N互为基准变换点例如：如图，点M 表示数-1，点N表示数3，它们与基准点0的距离都是2个 单位长度，点M与点N互为基准变换点， (1)已知点A表示数a,点B表示数b,点A与点B互为基准 变换点。 ①若a=4.则b= ②用含a的式子表示b,则b= (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘，再把所得 16.(期末·西城区)如果m-山=1，那么1-m-m-2= 题型四规律性问题 1-m 21.(期中·房山区)小佳和妈妈乘火车外出旅游，小佳希望和妈 数表示的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点B.若点 1n设a.6,c均为不为零的有理数，且abc≤0，则合+合+ 妈的座位连在一起，且能坐在靠窗的位置.如果某列火车的 A与点B互为基准变换点，则点A表示的数为 座位排列方式如图所示，那么下列座位号码符合小佳要求的 (3)点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为10个 abc的值是 是( 单位长度.对P,Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移 18.(期末·北京二中分校)已知有理数a,b,c在数轴上的对应 1 2 3 4 5 动k(k>0)个单位长度得到P,P为P,的基准变换点，点 点如图所示： 6 7 9 10 P,沿数轴向右移动k个单位长度得到P,P,为P,的基准 (1)-c 0,abc0.(填“>”“<"或“=”) 车 11 12 13 过道 1415 车窗 变换点，…，依此顺序不断地重复，得到P,P。,…,PnQ (2)化简：bl+a+c-b-a 16 17 18 为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q,的落点为Q, 。0. 古女3立0之 Q,为Q,的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q,的落点为 第18题图 第21题图 Q,…,依此顺序不断地重复，得到Q,Q。,…,Q。若无论 A.28,29 B.45,46 C.50,51 D.64,65 k为何值，P,与Q两点间的距离都是8，则n= 2.(期中·北京回中)加是不为2的有理数，我们把2。称为a M 32012 的件随数”，如3的件随数”是名3=22的件随数 第10题图 是z名=克已知4=4,4是a的伴随数，4是4 19.(月考·牛栏山一中实验学校改编)已知点A在数轴上对应 题型三绝对值相关问题 的数是a,点B在数轴上对应的数是b,且la+41+(b-1)2= 的“伴随数”，a,是a的“伴随数”，…，依此类推，则a4等 11.(期中·北师大附中)若la>a,则a是() 于() 0.现将A,B之间的距离记作4B卧，定义4B吲=a-b1 A.正数 B.负数 C.非正数D.非负数 A.-1 (1)AB= B号 c D.4 12.(期中·北京八中)已知a,b,c为有理数，且a+b+c=0. (2)设点P在数轴上对应的数是x,当PA-PB=2时，x的 23.(月考·牛栏山一中实验学校)古希腊的毕达哥拉斯学派认 a≥-b>lcl,则a,b,c满足的条件是() 值为 为：1,3,6,10,15,21，…这些数量的 A.a>0,b<0,c<0 B.a>0,b<0,c>0 20.新定义问题通过学习我们知道，x的几何意义是数轴上 石子都可以排成三角形（如图，像这；兮名 C.a>0,b<0,c≤0 D.a>0,b<0,c≥0 样的数称为三角形数，其中1称为第 表示数x的点到原点的距离.由于x可以看作xO,那么 1个三角形数，3称为第2个三角形 第23题图 13.断定义问题规定：fx)=x-2引，gy)=+3引例如f(-4)= x-01的几何意义为数轴上表示数x与0的两点间的距离.这 数，·，依此类推，第24个三角形数与第22个三角形数的 -4-2,g(-4)=-4+3. 个结论还可以推广为x-的几何意义为数轴上表示数x与 差为( 下列结论中：①若f(x)+gy)=0,则2x-3y=13;②若 a的两点间的距离， A.2 B.47 C.23 D.24 x<-3,则f(x)+g(x)=-1-2x;③能使fx)=g(x)成立的 例如，x-5引的几何意义为数轴上表示数x与5的两点间的 24.(期中·北京四中)如图所示，动点P从第一个数0的位置出 x的值不存在；④式子f(x-1)+g(x+1)的最小值是7. 距离，若x-51=1,则x的值为4或6 发，每次跳动一个单位长度，第一次跳 其中所有正确的结论是() 给出定义：数轴上表示数x的点与表示数a,b的点之间的 动一一个单位长度到达数1的位置，第二 A.①②③B.①②④ C.①③④ D.②③④ 次跳动一个单位长度到达数2的位置 距离之和x-a+x-b1称为x与a,b的“关联距离”.例如 14.(期末·清华附中)若实数x,y满足x+2+(x+y)2=0,则x 第三次跳动一个单位长度到达数 x-1川+x+2为x与1，-2的“关联距离”：x-1+x-2+x+3引为 3的位置，第四次跳动一个单位长度到 的值为 x与1,2，-3的“关联距离” 达数4的位置，…，依此规律跳动下去， 15.(期中·北京十一学校)如图，若数轴上a的绝对值是b的绝 (1)若x-2引=1，则x的值为 点P从0的位置跳动6次到达P的位 9 23 16 对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 .(填 (2)若x与1，-1的“关联距离”为2，写出一个满足条件的x 置，点P从0跳动21次到达P,的位0i立4 “A”“B”“C”或“D”) 的值： 置，…，点P,P,P,…,Pn在一条直 第24题图 (3)“关联距离 线上，侧点P从0跳动()次可到达P4的位置 +x+1+x-2的最小值为 第15题图 A.887 B.903 C.909 D.1024 6真题圈数学七年级上5E 27.【解(1)351或-5 =立×48+号×48-子×48+名×48 分析：l5-2=3,-3-2=5. =4+16-36+8 因为a+2=3,所以a+2=-3或a+2=3,解得a=-5或a=1. =-8, (2)6 (3)12 所以()(+是 分析：使得x+2+x-5=7的整数点有-2，-1,0,1,2,3,4,5， 5.D -2-1+0+1+2+3+4+5=12,故这些点表示的数的和是12. 6.D【解析】设点B与点A相距3个单位长度，因为点A表示数1， (4)17 所以若点B在点A左边，则点B表示的数为1-3=-2；若点B 分析：当a=1时有最小值，最小值=1+31+1-1川+11-4=4+ 在点A右边，则点B表示的数为1+3=4.即点B表示的数为4 0+3=7. 或-2.故选D. 28.【解】(1)正负用较大的绝对值减去较小的绝对值 7.B【解析】因为a+d=0,所以a,d互为相反数，所以原点是 (2)①-8 AD的中点.因为相邻两点之间的距离均为1个单位长度，所以 分析：[(+3)☒(-2)]☒[(-9)⑧0]=(-1)⑧(+9)=-8. BC=1,所以b=-号故选B. ②答案不唯一。 8.A【解析】根据数轴可知，a<0<b<c,la>c>bl,a<-3,则-a 如：[(-1)⑧(+1)]☒(+3)=0☒(+3)=+3， >c,ab<0.故选A. (-1)⑧[(+1)⑧(+3)]=(-1)⑧(+2)=-1， 9.D【解析】因为ab<0,a+b>0,所以a与b异号，并且正数的绝 所以[(-1)⑧(+1)]⑧(+3)≠(-1)⑧[(+1)☒(+3)]. 对值大，即b>0,a<0,Ibl>lal,所以原点O在点M,N之间，且 此时(a⑧b)⑧c=a⑧(b⑧c)不成立. la<bl.故选D. 10.1)0-2②2-a(2)号(3)3或19【解析11)①由基准 2.重难题型卷（一）有理数及其运算 变换点的定义可得4-1=1-b,所以b=-2. 1.D ②当a<1<b时，由基准变换点的定义可得b-1=1-a,所以b 2.解]原式=(64,83+35.17)-58+449=10-50=50 =2-a. 当b<1<a时，同理可得a-1=1-b,所以b=2-a. 3舞10原式=-马仔-引 综上，b=2-a. (2)设点A表示的数为x,则点B表示的数为号x-2, =-4+2+1=-1. 所以x1=1-3x-2,所以x=4, 2)原武=370x4+号×24号+号×5号 11 11 所以x=多，所以点4表示的数为3 (3)设点P表示的数为m,则点Q表示的数为m+10. ×400=100. 由题意可知，点P,表示的数为m+k,点P,表示的数为2-(m+k), 4据偏法1（衣）÷（位寸+异) 点P,表示的数为2-m,点P,表示的数为m, 点P,表示的数为m+k,…, -（)+(品+贤) 点Q,表示的数为-m-8,点Q2表示的数为m+8, ()*会 点Q,表示的数为-m-6,点Q,表示的数为m+6, 点Q,表示的数为-m-4,点Q。表示的数为m+4, （)×4 点Q,表示的数为-m-2,点Q,表示的数为m+2, =-8 点Q,表示的数为-m,点21。表示的数为m,…, 解法2〔动)÷（立+号司) 所以点P表示的数为2-m,点Q-表示的数为-m+4n。-10, 点P表示的数为m,点Q4m表示的数为m+10-4n,其中n。为 =（)÷+-传+ 正整数 （)(得 当Pw-Q4-1=8时，2-m-(-m+4n。-10川=8，即112-4n。=8, 所以4n。=4或4n。=20, 解得n。=1或n,=5, -()×6 所以n=4n。-1=3或n=4n。-1=19. 当PQ4,=8时，lm-(m+10-4n)川=8，即4n。-101=8, =- 解得%=号或%，=号，不合题意，合去。 解法3：（立+县）：（) 1l.B【解析】因为la>a,所以a<0.故选B. 0 12.C【解析】因为a≥-b>lc≥0， =（7+异司×(-48) 所以a>lcl,-b>lcl,所以a>0,b<0. 答案与解析 因为a≥-b,所以a+b≥0. 因为1PA-PB=2,所以x+4-(1-x)=2. 又因为a+b+c=0,所以c≤0， 解得x=-2 所以a>0,b<0,c≤0.故选C. 综上，当PA-PB=2时，x的值为- 13.B【解析】①若f(x)+g(y)=0,则x-2+y+3引=0，可得x= 20.【解】(1)3或1 2,y=-3,则2x-3y=4+9=13,故①正确； (2)1(答案不唯一) ②若x<-3,则f(x)+g(x)=x-2+x+3=-(x-2)-(x+3) 分析：依题意，x与1，-1的“关联距离”为2，即x-1+x+1=2, =-1-2x,故②正确； 所以-1≤x≤1中的任意一个数都符合题意. ③若f(x)=g(x),则x-2=x+3引，即x-2=x+3或x-2=-x (3)3 -3,解得x=-,故③错误； 分析：因为x2 +x+1+-2到表示数x的点与表示数-1,22 ④式子f(x-1)+g(x+1)=x-3引+x+4|的最小值是7，故④正确 的点之间距离的和， 综上，所有正确的结论是①②④.故选B 所以当-1≤x≤2时，x+1+x-2取得最小值， 14.4【解析】因为x+2≥0，(x+y)2≥0， 所以x+2=0,x+y=0, 所以当x=时，2 1 +x+1川+x-2取得最小值， 所以x=-2,y=2, 所以x=(-2)2=4. 昭++B-3. 所以“关联距离”的最小值为3. 故答案为4. 21.D【解析】由题图中座位的排列顺序，可得被5除余1的数， 15.CD【解析】由图示知，b-a=4.①当a>0,b>0时，由题意 和能被5整除的座位号临窗，由于两位旅客希望座位连在一 可得lal=31bl,即a=3b,解得a=-6,b=-2,舍去；②当 起，且有一个靠窗的座位，分析答案中的4组座位号，只有D a<0,b<0时，由题意可得lal=3b1,即a=3b,解得a=-6, 符合条件.故选D. b=-2,故数轴的原点在点D;③当a<0,b>0时，由题意可得 2 |a=3b1,即-a=3b,解得a=-3,b=1,故数轴的原点在 22.C【解析]因为a=4,所以4，=224=-1，a=2可 点C.综上可得，数轴的原点在点C或点D.故答案为C;D. 3=4,…, 16.-1【解析】因为m-山=1，所以m-1=1-m,所以1-m>0, 2- 1-m 即m<1,所以11-m-|m-2=1-m+m-2=-1.故答案为-1. 所以a1,a2,a,,an每4个数为一个周期循环 17.-4或0【解析】当a,b,c均为不为零的有理数且a+b+c≤0 因为2024÷4=506，所以a=a,=多.故选C 时，存在以下三种情况： 23.B【解析】由题图可知，第1个三角形数为1，第2个三角 当a,b,c三个数中有一个负数时， 形数为1+2，第3个三角形数为1+2+3，第4个三角形数为 不妨设a0,则吕+合+合+=-1+11-1=0； 1+2+3+4,…,故第22个三角形数为1+2+·+21+22，第24个 三角形数为1+2+…+21+22+23+24，第24个三角形数-第22 当a,b,c三个数中有两个负数时， 个三角形数=23+24=47.故选B. 不妨设bc0,c<0,则合+合+合+%=11-1+1=0： 24.B【解析】由题意知，跳动1+2+3=6（个）单位长度到点P, 当a,b,c三个数都为负数时， 从点P,到点P,再跳动4+5+6=15（个）单位长度，归纳可得： abc 则a+岛+合+=11-11=4 从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整 故答案为-4或0. 数的和. 18.【解1(1)<> 因为14×3=42，所以点P从0跳到P跳动了1+2+3+4+… 分析：由题意得，-4<b<-3,-1<a<0,1<c<2, +42=903(次).故选B. 所以-c<0,abc>0. (2)因为b<0,a+c>0,b-a<0, 3.阶段学情调研（一） 所以bl+la+cl-b-4 1.A =-b+a+c+b-a =c 2.B【解析】由题图①知，白色表示负数，灰色表示正数， 19.【解】(1)5 所以题图②表示的过程是在计算(+3)+(-2).故选B. 分析：因为la+4+(b-1)2=0,所以a=-4,b=1, 3.B 所以1ABl=la-bl=5. 4.B【解析】当a=0时，a没有倒数，故A项不正确； (2)-号 a的相反数是-a,故B项正确； 分析：当P在点A左侧时，PA-PB=-(IPB-PA)=-AB 若a=-3,则-a=-(-3)=3>0,故C项不正确； =-5≠2，即此时点P不存在 若a=,则2a=不是偶数，故D项不正确. 当P在点B右侧时，PA-PB=AB=5≠2，即此时点P 5.D【解析】还原数据得2739000000,9在百万位上，所以近似 不存在. 数27.39亿精确到百万位.故选D. 当点P在点A,B之间时，P=x-(-4)1=x+4,PB=x)6.B【解析】由题意得，指针指向40表示音调偏高，需放松琴 1川=1-x. 弦，若指针指向的数字表示需拧紧琴弦，则所选的数字为负数，