专题07 概率初步重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题07 概率初步重难点题型汇编 【考点01：事件类型】............................................................................................................... 【考点02：可能性大小】............................................................................................................ 【考点03：概率的意义】............................................................................................................. 【考点04：几何概率】................................................................................................................ 【考点05：概率公式】................................................................................................................ 【考点06：用列举法或树状图求概率】..................................................................................... 【考点07：频率估计概率】........................................................................................................ 【考点08：游戏的公平性】.......................................................................................................... 【考点01：事件类型】 1．下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 2．下列事件为确定事件的是（    ） A．买彩票中特等奖 B．一个口袋只装有5个黑球，从中摸一个是黑球 C．打开电视机，正在播新闻联播 D．如果为有理数，那么 3．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．将油滴入水中，油会浮在水面 B．随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是 C．抛出的篮球会下落 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数 4．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛出的篮球会下落 B．打开电视，正在播放广告 C．经过红绿灯路口时，遇到绿灯 D．抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 5．下列事件可能性大小正确的是（   ） A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是 B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是 C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是 D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是 【考点02：可能性大小】 1．盒子里有除颜色外完全相同的5个红球、4个黄球、3个绿球，小明每次任意摸出一个球，记录下颜色后放回，然后摇匀再摸．前6次摸球的情况为红球、红球、黄球、红球、红球、黄球，则第7次小明摸球摸出的球是（   ） A．红球 B．黄球 C．绿球 D．红球、黄球或绿球 2．一个不透明的袋子里装有大小、形状完全一样的7个红球和11个白球，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 B．从中随机摸出8个球，可能都是红球 C．从中随机摸出10个球，一定有白球 D．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大 3．口袋里有1个红球、2个白球、3个黑球和4个黄球．任意摸一个，摸到（    ）球的可能性最大． A．红 B．白 C．黑 D．黄 4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 5．一个不透明的袋中装有9个红球、8个白球、7个黑球、个黄球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，以下事件中，可能性最小的是（   ） A．摸出一个红球 B．摸出一个白球 C．摸出一个黑球 D．摸出一个黄球 【考点03：概率的意义】 1．对于“中奖率是”的理解，下列说法合理的是（    ） A．买100张彩票一定会有2张中奖 B．买100张彩票有可能有2张中奖 C．买1张彩票不可能中奖 D．买200张彩票不可能有10张中奖 2．根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 3．下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 4．下列说法正确的是（　　） A．调查全班40名同学对食品安全知识的知晓情况，适宜采用全面调查 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性更大 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币50次，必有25次正面朝上 D．10张彩票中只有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 【考点04：几何概率】 1．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 7．随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【考点05：概率公式】 1．小余有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，能拼成三角形的概率是（    ） A．4 B． C． D． 2．如图，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，两转盘静止后，恰为如图情形（大转盘与小转盘的标号相对应）的概率为（    ） A． B． C． D． 3．人们在“中秋节”吃mooncake（月饼），已经成为中华民族非常有意义的传统，在单词 mooncake中任意选择一个字母，选出的字母是“o”的概率是（   ）． A．25% B．12.5% C．20% D．17% 4．深大城际（轨道交通号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线站，其中深圳段站，惠州大亚湾段站，小深同学随机选择其中个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（   ） A． B． C． D． 5．为了帮助学生提升学习数学的兴趣，在数学文化阅读周，学校组织同学们从《周髀算经》、《‌九章算术》、《数书九章》、《‌孙子算经》、《五经算术》中选择一本阅读，小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是（    ） A． B． C． D．1 6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5，7中，随机选取一个数，是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【考点06：用列举法或树状图求概率】 1．从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 2．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 3．小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 4．从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 5．从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形，再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 6．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，．除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中先后随机取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是（ ） A． B． C． D． 7．如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 8．“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 9．为落实五育并举，全面发展社会主义建设者和接班人，明智中学将德育、智育、体育、美育和劳动教育纳入了学校课程，为了解某班学生对各课程的兴趣，学校随机抽取了班级部分学生进行调查（每位学生仅选一门课程）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 课 程 类别 学 生 人 数 A道法课 8 B体育课 C美术课 11 D劳动课 15 (1)本次抽查的学生人数是 ，统计表中的 ； (2)在扇形统计图中，“D劳动课”对应的圆心角的度数是 ； (3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数； (4)学校决定增设“美术”“劳动”“体育”三个课后服务课程．若小张、小李随机选取三个课程中的两个，请求出他们选择相同课程的概率． 【考点07：频率估计概率】 1．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 2．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 3．绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 5．某校九年级（1）班有40位同学，每人做10次抛掷两枚硬币的试验，累计所有同学试验结果数据如下表，根据表中数据估计“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为 ． 抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 出现两个正面的频数 12 30 40 55 63 75 86 101 出现两个正面的频率 6．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 7．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在纸上，二维码的形状是面积为的正方形，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为 ． 8．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到） 抽取的毛绒玩具数n 优等品的频数m 优等品的频率 【考点08：游戏的公平性】 1．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 2．4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． (1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； (2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 3．在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 4．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 5．如图所示是一个可以自由转动的转盘． (1)自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率． (2)小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率初步重难点题型汇编 【考点01：事件类型】............................................................................................................... 【考点02：可能性大小】............................................................................................................ 【考点03：概率的意义】............................................................................................................. 【考点04：几何概率】................................................................................................................ 【考点05：概率公式】................................................................................................................ 【考点06：用列举法或树状图求概率】..................................................................................... 【考点07：频率估计概率】........................................................................................................ 【考点08：游戏的公平性】.......................................................................................................... 【考点01：事件类型】 1．下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 【答案】A 【分析】本题考查了概率是反映事件发生机会的大小的概念，解题的关键是掌握概率只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1；不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0；不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率并且． 【详解】解：A、同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是，第二个出现4的机会也是，因而点数都是4的概率为，该选项错误，符合题意； B、不可能事件发生机会为0，该选项正确，不符合题意； C、买一张彩票会中奖是随机事件，该选项正确，不符合题意； D、一件事发生机会为，这件事就有可能发生，该选项正确，不符合题意． 故选A． 2．下列事件为确定事件的是（    ） A．买彩票中特等奖 B．一个口袋只装有5个黑球，从中摸一个是黑球 C．打开电视机，正在播新闻联播 D．如果为有理数，那么 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各项分析判断即可． 【详解】解：A、买彩票中特等奖，是随机事件； B、一个口袋只装有5个黑球，从中摸一个是黑球，是必然事件（即确定事件）； C、打开电视机，正在播新闻联播，是随机事件； D、如果为有理数，那么，是随机事件． 故选：B 3．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．将油滴入水中，油会浮在水面 B．随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是 C．抛出的篮球会下落 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，解题关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别分析四个选项中事件，再作判断． 【详解】解：将油滴入水中，油会浮在水面是必然事件，故A错误； 随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是，是不可能事件，故B错误； 抛出的篮球会下落是必然事件，故C错误； 任意买一张电影票，座位号是的倍数是随机事件，故D正确； 故选：D． 4．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛出的篮球会下落 B．打开电视，正在播放广告 C．经过红绿灯路口时，遇到绿灯 D．抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．此题根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A项：抛出的篮球会下落，是必然事件，符合题意； B项：打开电视，正在播放广告，是随机事件，不符合题意； C项：经过红绿灯路口时，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； D项：抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意． 故选：A． 5．下列事件可能性大小正确的是（   ） A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是 B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是 C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是 D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是 【答案】D 【分析】本题主要考查了可能性的计算，A选项中用红桃的牌数除以54即为抽出红桃的可能性；B选项中用中奇数的个数除以6可得点数是奇数的可能性；C选项中用中小于3的数字个数除以10可得任意抽取一张，得到的数小于的可能性；D选项中用红球个数除以球的总数可得任意摸出一个红球的可能性． 【详解】解：A、从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是，原说法错误，不符合题意； C、从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是，原说法错误，不符合题意； D、从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【考点02：可能性大小】 1．盒子里有除颜色外完全相同的5个红球、4个黄球、3个绿球，小明每次任意摸出一个球，记录下颜色后放回，然后摇匀再摸．前6次摸球的情况为红球、红球、黄球、红球、红球、黄球，则第7次小明摸球摸出的球是（   ） A．红球 B．黄球 C．绿球 D．红球、黄球或绿球 【答案】D 【分析】本题考查了独立事件的概念，熟练掌握独立事件的概念是解决本题的关键． 根据题意可知每次摸球都是独立事件，前次结果不影响下次概率，由此可解． 【详解】解：盒中共有5红、4黄、3绿球，每次摸球后放回并摇匀， ∴每次摸球时各颜色球的数量和概率保持不变， 即红球概率为，黄球为，绿球为， 由于每次摸球独立，前6次结果不影响第7次， 故第7次摸球时，红、黄、绿球均有可能被摸出，只是概率不同． 故选：D ． 2．一个不透明的袋子里装有大小、形状完全一样的7个红球和11个白球，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 B．从中随机摸出8个球，可能都是红球 C．从中随机摸出10个球，一定有白球 D．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件、事件发生的可能性大小，熟练掌握随机事件是解题的关键． 根据随机事件、事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，说法正确，故A不符合题意； B、从中随机摸出8个球，只有7个红球，则摸到的8个球中至少有一个白球，说法错误，故B符合题意； C、从中随机摸出10个球，一定有白球，说法正确，故C不符合题意； D、从中随机摸出1个球，白球的个数多于红球，则摸到白球的可能性更大，说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 3．口袋里有1个红球、2个白球、3个黑球和4个黄球．任意摸一个，摸到（    ）球的可能性最大． A．红 B．白 C．黑 D．黄 【答案】D 【分析】本题考查了事件发生的可能性.哪种球的数量最多，摸到哪种球的可能性就最大. 【详解】解：口袋里有1个红球、2个白球、3个黑球和4个黄球，黄球的数量最多 所以任意摸一个，摸到黄球的可能性最大. 故选：D. 4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件； 故选A． 5．一个不透明的袋中装有9个红球、8个白球、7个黑球、个黄球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，以下事件中，可能性最小的是（   ） A．摸出一个红球 B．摸出一个白球 C．摸出一个黑球 D．摸出一个黄球 【答案】C 【分析】本题主要考查了可能性的大小，熟练掌握随机事件发生的概率的计算方法是解本题的关键． 根据概率公式，然后结合选项，即可得到结论． 【详解】解：摸到红球的可能性为：， 摸到黄球的可能性为：， 摸到白球的可能性为：， 摸到黑球的可能性为：， ∵， ∴摸到黑球的可能性最小， 故选：C． 【考点03：概率的意义】 1．对于“中奖率是”的理解，下列说法合理的是（    ） A．买100张彩票一定会有2张中奖 B．买100张彩票有可能有2张中奖 C．买1张彩票不可能中奖 D．买200张彩票不可能有10张中奖 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，概率只是反映事件发生机会的大小．根据概率的意义解答即可． 【详解】解：“中奖率是”，就是说中奖的概率是，但也有可能发生，即买100张彩票有可能有2张中奖． 故选：B． 2．根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 3．下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类及概率的理解，逐一分析各选项即可得出结果 【详解】解：A、买一张彩票，中奖是随机事件，正确，符合题意； B、将花生油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件，这是必然事件，不符合题意； C、小明通过3次抛瓶盖试验（2次盖口向上）得出概率为，概率需要通过大量重复试验才能估计，仅3次试验的结果无法准确反映真实概率，且瓶盖的结构可能导致正反面概率不均等， 不符合题意； D、射击运动员射击一次中靶与不中靶的概率均为，虽然结果只有两种，但两种结果发生的概率不一定相等，实际概率与运动员水平等因素相关，不符合题意； 故选：A 4．下列说法正确的是（　　） A．调查全班40名同学对食品安全知识的知晓情况，适宜采用全面调查 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性更大 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币50次，必有25次正面朝上 D．10张彩票中只有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 【答案】A 【分析】本题考查统计调查方式的选择、概率计算及可能性判断． 根据各选项的具体内容，结合全面调查与抽样调查的适用情形、概率公式及等可能性原则进行分析即可． 【详解】解：A：全班仅40人，人数较少且需准确掌握每位同学的情况，适合采用全面调查（普查），故A正确； B：数字1、2、3、4、5中，偶数有2个（2、4），奇数有3个（1、3、5）．抽到偶数的概率为，奇数概率为，奇数可能性更大，故B错误； C：硬币正反面概率均为，但实际试验结果可能偏离理论值，无法保证恰好25次正面，故C错误； D：10人依次摸奖（不放回），每人中奖概率均为，与顺序无关，故D错误； 故选：A． 【考点04：几何概率】 1．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． 2．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 3．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 4．如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 由图可得该正方形由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是， 故选：D． 5．如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，用阴影方块个数除以方块总数即可得出答案，解题的关键是掌握几何概率的求法． 【详解】解：根据题意得：方格纸中一共有9个小正方形，其中阴影部分有4个， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故选：B 6．如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 先求出大正方形的面积以及阴影部分的面积，再利用概率公式解答即可． 【详解】解：由图可知，大正方形的面积， ， 小球在地板上最终停留在黑色区域的概率， 故选：B． 7．随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算公式． 先求出区所对应的圆心角度数，然后利用简单概率公式求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，区所对应的圆心角度数为， 所以，指针落在“B”所示区域内的概率是， 故选：A． 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故选：． 【考点05：概率公式】 1．小余有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，能拼成三角形的概率是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，三角形的三边关系先找出总情况，再找出符合题意的情况，由此即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：从中任意取三根木条作为边拼成三角形，得到的情况有：2，3，4或2，3，5或2，4，5或3，4，5，共4种情况， 其中，能构成三角形，符合题意；，不能构成三角形，不符合题意；，能构成三角形，符合题意；，能构成三角形，符合题意；故能构成三角形的情况有种， ∴能拼成三角形的概率是， 故选：D． 2．如图，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，两转盘静止后，恰为如图情形（大转盘与小转盘的标号相对应）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先观察图形，可知有6种等可能的结果，大转盘与小转盘的标号相对应的情况有1种，然后根据概率公式求解，即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用． 【详解】解：观察图形可知：只要1与1对应，则可满足大转盘与小转盘的标号相对应， 又∵1可能与1，2，3，4，5，6对应，即有6种等可能的结果， 大转盘与小转盘的标号相对应的情况有1种， ∴大转盘与小转盘的标号相对应的概率为． 故选：C． 3．人们在“中秋节”吃mooncake（月饼），已经成为中华民族非常有意义的传统，在单词 mooncake中任意选择一个字母，选出的字母是“o”的概率是（   ）． A．25% B．12.5% C．20% D．17% 【答案】A 【分析】本题考查随机事件概率的计算，掌握概率公式是解题的关键． 根据题意，计算出字母“o”的个数，单词中所含字母个数，结合概率公式求解即可． 【详解】由题知，单词 mooncake中共有8个字母， 其中字母“o”有2个， 所以概率为． 故选：A． 4．深大城际（轨道交通号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线站，其中深圳段站，惠州大亚湾段站，小深同学随机选择其中个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可； 【详解】解：小深同学随机选择其中个站点参观共有种等可能的结果，其中该站点恰好属于深圳段的有种结果， 所以该站点恰好属于深圳段的概率为， 故选：D． 5．为了帮助学生提升学习数学的兴趣，在数学文化阅读周，学校组织同学们从《周髀算经》、《‌九章算术》、《数书九章》、《‌孙子算经》、《五经算术》中选择一本阅读，小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用概率公式求概率，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：因为共有五本书， 所以小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是， 故选：A． 6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5，7中，随机选取一个数，是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握相应公式是解题的关键． 利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：在质数2，3，5，7中，随机选取一个数，共有4种等可能的结果，是偶数的结果有1种， 是偶数的概率为， 故选：A． 【考点06：用列举法或树状图求概率】 1．从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） - （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） - （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） - 总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种． 所以恰好为一男一女的概率． 故选：C． 2．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表 出口入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 3．小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意画出图表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能结果，其中小华赢的结果有6种， ∴小华赢的概率为． 故选：D． 4．从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系的概念，画树状图法求概率． 第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，根据题目要求画出树状图求概率即可． 【详解】解： ． 故选：A． 5．从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形，再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别、树状图法求概率．识别中心对称图形和运用概率公式计算是解题的关键．判断四个图形中有几个中心对称图形，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：四个图形中有平行四边形，圆两个中心对称图形， 将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆用表示， 画树状图如下： 则共有16种等可能的结果，两次抽出的图形均为中心对称图形的情况有4种， ∴两次抽出的均为中心对称图形的概率为． 故选：A． 6．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，．除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中先后随机取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及卡片上的数字之和等于的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中卡片上的数字之和等于的结果有：，，共种， 卡片上的数字之和等于的概率为． 故选：C． 7．如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及记录的两数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种， ∴转盘甲指针指向负数的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 8 4 5 4 13 7 1 6 15 由表可得共有9种等可能的结果，其中记录的两个数字之和为正数的结果有6种， ∴． 8．“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案． 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为， 故答案为：． （2）解：不公平， 画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为， ， 不公平． 9．为落实五育并举，全面发展社会主义建设者和接班人，明智中学将德育、智育、体育、美育和劳动教育纳入了学校课程，为了解某班学生对各课程的兴趣，学校随机抽取了班级部分学生进行调查（每位学生仅选一门课程）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 课 程 类别 学 生 人 数 A道法课 8 B体育课 C美术课 11 D劳动课 15 (1)本次抽查的学生人数是 ，统计表中的 ； (2)在扇形统计图中，“D劳动课”对应的圆心角的度数是 ； (3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数； (4)学校决定增设“美术”“劳动”“体育”三个课后服务课程．若小张、小李随机选取三个课程中的两个，请求出他们选择相同课程的概率． 【答案】(1)50，16 (2) (3)估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数是264人 (4)他们选择相同课程的概率是． 【分析】本题考查利用统计表和扇形图解决问题，利用列表法求概率，解决问题的关键是从统计表和扇形图中获得同一个要素的数值和百分比． （1）根据道法课的人数和所占的百分比求出总人数，即可求出体育课的人数； （2）求出劳动课所占的比例，再乘以即可求出圆心角的度数； （3）用该校的人数乘以美术课的人数所占的百分比即可得出答案； （4）设“美术”“劳动”“体育”分别为，，，那么小李的选择有可能是：，，，小张的选择有可能是：，，，然后列表即可求得答案． 【详解】（1）解：总人数为：（人） 那么体育课的人数为：（人），即， 故答案为：50，16； （2）解：D劳动课的人数为15人，那么圆心角度数为：， 故答案为：； （3）解：（人） 答：估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数是264人． （4）解：设“美术”“劳动”“体育”分别为，，， 那么小李的选择有可能是：，，， 小张的选择有可能是：，，， 列出表格如下： 小李         小张 、 、 、 、 、 、 、 、 、 一共有9种结果，选择相同课程的结果有3个， 那么他们选择相同课程的概率， 答：他们选择相同课程的概率是． 【考点07：频率估计概率】 1．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 2．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 3．绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用总质量乘以样本中发芽的频率即可． 【详解】解：根据题意知，900这样的绿豆种子中发芽的大约有． 故选：A． 4．一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量． 【详解】解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 设盒子中有x个红球，则， 解得， 经检验，是该方程的解． ∴估计盒子中的红球有2个． 故答案为：2． 5．某校九年级（1）班有40位同学，每人做10次抛掷两枚硬币的试验，累计所有同学试验结果数据如下表，根据表中数据估计“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为 ． 抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 出现两个正面的频数 12 30 40 55 63 75 86 101 出现两个正面的频率 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，通过观察可得出“出现两个正面的频分析:率"将稳定在附近，进而用其值来估计概率即可． 【详解】解：∵随着试验次数的增加，“出现两个正面的频率”将稳定在， ∴“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为， 故答案为： ． 6．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 7．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在纸上，二维码的形状是面积为的正方形，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.65，即黑色阴影的面积占整个面积的0.65，据此求解即可． 【详解】解：黑色阴影部分的面积为， 故答案为：65． 8．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到） 抽取的毛绒玩具数n 优等品的频数m 优等品的频率 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握利用频率估计概率并能熟练运用求解． 根据频率估计概率求解． 【详解】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是， 故答案为：． 【考点08：游戏的公平性】 1．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸到的数字之和大于4，和小于4的结果数，然后根据概率公式分别求出数字之和大于4，和小于4的概率，即可得解． 【详解】解：游戏公平，理由如下： 画树状图如下， 由树状图可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种， ∴小明获胜的概率是，小红获胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴游戏公平． 2．4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． (1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； (2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率公式求解即可； （2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3， ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有1种 ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； （2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 3 0 1 3 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有6种结果， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 小敏设计的游戏规则公平． 3．在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图分别求出小明胜的概率，小红胜的概率，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：画树状图为： 共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率，小红胜的概率， 这个游戏不公平． 4．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 5．如图所示是一个可以自由转动的转盘． (1)自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率． (2)小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用蓝色区域的扇形圆心角度数除以360度即可得到答案； （2）分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，指针落在蓝色区域的概率为， （2）解：不公平，理由如下： P（小颖获胜）=， P（小亮获胜）=， ∵， ∴游戏对双方不公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $