专题06 期中真题百练通关（期中专项训练）九年级数学上学期北京版

· 专题06 期中真题百练通关（92题9大题型） · 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次函数图象性质小综合 题型6 二次函数实际问题 题型2 函数与几何、动点 题型7 二次函数综合 题型3 相似与圆 题型8 几何综合 题型4 抛物线与x轴交点问题 题型9 新定义综合 题型5 逻辑推理 题型一 二次函数图像性质小综合（共11小题） 1．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴以及当时的值，即可得出、、的正负，进而即可得出①正确；由对称轴即可得出②正确；由抛物线的对称轴为结合时，即可得出当时，进而得出，③成立；由二次函数图象与轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出，④成立．综上即可得出结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ． 抛物线的对称轴为， ， ，②正确； 当时，， ，①错误； 抛物线的对称轴为， 当与时，值相等， 当时，， ，③正确； 抛物线与轴有两个不相同的交点， 一元二次方程， ，④正确． 综上可知：成立的结论有3个． 故选：C． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给表格，利用待定系数法求出次二次函数的表达式，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：由表格得，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵, ∴开口向上，故①正确 ∵， ∴顶点为：，故②错误， 当时，，故③正确， ∵对称轴为直线，且开口向上， ∴抛物线上距离对称轴越远的点，其函数值越大， ∵，且， ∴，故④正确， ∴正确的为①③④， 故选：C． 3．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C． D．函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可得，图象开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由图象可得：，开口向下，对称轴为直线， ∴，即，故A正确，C错误； 当时，y随x的增大而增大，故B正确； 令时，则有，得出的解就是函数图象与x轴的交点横坐标，故D正确； 故选C． 4．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有3个． 故选：B 5．函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：如图： ①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确； ②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误； ③如图所示：当时，y随x的增大而减小，则正确； ④如图所示：当时，关于x的方程有4个实数根，则正确； 则正确的个数有3个，故选C． 6．二次函数（a、b、c为常数，）的x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 1 2 5 10 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B． C．这个函数的最大值为10 D．关于x的一元二次方程无解 【答案】D 【分析】根据表格数据得出对称轴为直线，则函数最小值，即可判断A；利用表格数据得到，对称轴公式求得，即可判断B；利用二次函数的性质即可判断C；利用函数的最小值即可判断D． 【详解】解：由图表中数据可得出：对称轴为直线，而时，函数有最小值，所以二次函数开口向上，，故A错误； ， ， 时，， ，故B错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故C错误； ∵抛物线开口向上，函数有最小值， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程无解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 7．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 有以下几个结论： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和； ④当时，的取值范围是或．其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质． 根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③错误； 当时，，由函数图像解得或，故④正确； 故选：A． 8．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 9．已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴②错误． ∵， ∴③正确． ∵当时，， ∴． ∴④错误． 当时，有最大值为， ∴对于任意实数m，总有， ∴对于任意实数m，总有． ∴⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，下列四个结论中：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③；④，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数图象与性质；根据二次函数的解析式，可知抛物线过定点，结合点和点的位置即可解决问题． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 由可知抛物线过原点， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线与轴的交点是，,，故①正确； 抛物线经过，， 抛物线开口向上， ，故③错误； 到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故④正确． 故答案为：①②④． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 题型二 函数与几何、动点（共9小题） 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点一定在上，选项中有点和在上，此时观察图2，发现时，接近3，所以点的位置是图1中的点．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当时，此时的面积为0，说明点一定在上这一信息． 【详解】解：，，四边形是矩形， 当时，点到达点，此时的面积为0，说明点一定在上， ∵观察图2，发现时，接近3， 从选项中可得只有点最符合实际情况， ∴点的位置可能是图1中的点． 故选：D． 2．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴的负半轴上，点，，，…，在二次函数位于第三象限的图象上，若四边形，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，由正方形的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，由点在图象上求出的值，得到，，从而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立，得到的坐标，同理得出，，再同理计算出，即可得到． 【详解】解：如图，作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于， ，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，， 点在第四象限， 设， 点在图象上， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：，， ， ， 由正方形的性质可得， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 由正方形的性质可得：， ， ， …， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．(24-25九上·北京房山区·期中)已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 4．如图，已知A、B是反比例函数（，）图象上的两点，轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作轴，轴，垂足分别为M、N．设四边形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点P的位置，分①点P在上时，②点P在反比例函数图象段时，③点P在段，表示出四边形的面积，最后判断出函数图象即可得解． 【详解】①当点P在上运动时，，，α角度固定，因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开口向上； ②当点P在上运动时，设P点坐标为，则，为定值，故B、D选项错误； ③当点P在上运动时，S随t的增大而逐渐减小，故A选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时四边形的面积计算方式． 5．如图1所示，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形外部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边的周长为（    ）    A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由题图2知，点P的运动过程分为两个阶段，第一个阶段运动的路程是，，即，第二个阶段运动的路程是2．第一阶段，在的垂直平分线上，设点P第一个阶段运动的终点为D，如图，连接，则，，，由，可得，则，进而可求等边三角形的周长． 【详解】解：由题图2知，点P的运动过程分为两个阶段，第一个阶段运动的路程是，，即，第二个阶段运动的路程是2． 第一阶段，在的垂直平分线上，设点P第一个阶段运动的终点为D，如图，连接，    ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等边三角形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，正弦，余弦等知识．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 6．定义新运算：，例如：，，则的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意确定函数关系式，再根据反比例函数图像的性质得出图像即可． 【详解】解：根据题意可知， 的图像位于第一象限，的图像位于第二象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像与性质，理解新定义是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，cosB＝点M、N分别是边BC和AC上的两个动点，点M以2cm/s的速度沿C→B方向运动，同时点N以1cm/s的速度沿A→C方向运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，四边形ABMN的面积为S，则下列能大致反映S与t函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，cosB=，可以分别求出BC，AC的长，用含t的代数式表示出NC和MC，然后用三角形ABC的面积减去三角形MNCde面积，即可表示出四边形ABMN的面积为S，结合图象可以判断选项． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，cosB＝， ∴BC＝8，AC＝6， t秒后，NC＝6﹣t，MC＝2t， ∴S＝S△ABC﹣S△MNC＝＝（t﹣3）2+15， 从图象来看，排除选项A和D， ∵当t＝2时，y＝16故B不符合要求，C符合． 故选C． 【点睛】本题属于动点函数图象问题，函数解析式不难得出，所以可以写出要求的四边形的面积，结合函数图象可以得到答案． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是 ，PD＋PC 的最小值是 ． 【答案】 （3，0） 4 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），C（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1）， ∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∵∠PCJ=45°， ∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°， ∴PJ=JC， 根据勾股定理 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴PD+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故答案为: （3，0），4． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 9．如图，在中，，点是边的中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，，，．设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是 ． 【答案】 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，即可求解； 【详解】，点是边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是运用相似三角形的相似比等于高之比，面积比等于相似比的平方． 题型三 相似与圆（共10小题） 1．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是的直径，是的一条弦，半径与交于点（点与点不重合），、在两侧，长为，的半径长为，以下说法中， ①； ②可能是直角三角形或钝角三角形； ③若点关于的对称点为，则； ④长的最小值为． 所有正确说法的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质是解决问题的关键． 连接，，依题意得，，再根据直径所对的圆周角角是得，据此可对故①进行判断； 根据弦与半径交于点（点与点不重合）得，再根据，即可对②进行判断； 连接、，根据轴对称的性质得，再根据三角形三边之间的关系得，据此可对③进行判断； ④当时，为最小，连接，此时，由勾股定理求出，进而得到则长，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，，如图1． ∵弦与半径交于点（点与点不重合），、在两侧， ∴是的直径， ∴， ∴，， 故①正确，符合题意； ②∵弦与半径交于点（点与点不重合）， ∴． 又∵，， ∴是锐角三角形， 故②不正确，不符合题意； ③连接，，如图2． ∵点关于的对称点为， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④∵是的直径， ∴当时，为最小，连接，如图3． 则， 即． 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即长的最小值是， 故④不正确，不符合题意． 综上所述：正确说法的序号是①③． 故选：B． 2．(23-24九上·北京平谷区东高村学校·期中)如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先证是的中位线，推出，，再证，根据对应边成比例可得，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 3．(23-24九上·北京房山区·期中)已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论： ①；②；③；④ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据和平分，平分推出即可证明，可证明①正确；根据推出，根据推出，从而推出，即可推出，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案． 【详解】∵， ∴ ∵平分，平分 ， ∴， ∴； 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵ ， ， ，故③正确； 故④不正确； 正确的有①②③. 故选: C. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键. 4．把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法，连接构造等腰是解题的关键．连接，利用正方形的性质得，再根据旋转的性质得到点在上，证明为等腰三角形，最后利用四边形的面积进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 正方形绕点逆时针旋转得到正方形， 点在上，， 为等腰直角三角形， 而， ， 四边形的面积． 故选C． 5．如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出，即可得出，进而根据得出，即可判断②，根据不一定相等即可判断③，根据圆周角定理，即可判断④． 【详解】解：∵ ∴ 又∵,则 ∴ ∴，故①正确； 连接，，    ∵， ∴， 又，则， 又 ∴ ∴ ∴垂直平分，故②正确； 当且仅当时，，故③错误， ∵ ∴ ∵ ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作，交于点M，证明 推出，再证明推出 ，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 7．如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由全等三角形的性质得，，而，则，所以，则，可判断①正确；由，且，得，可判断②正确；证明，得，则，所以，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ，且， ， 故②正确； ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 8．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∴，点P在线段上． ∵A点的坐标为， ∴，由勾股定理得：； 如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点， ∴点P是的中点， ∴点P的坐标为； 如图2所示，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用． 10．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为 ． 【答案】 【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长． 【详解】解：设，则在中有． 如图，延长至点G使，连接， ∵F是的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴三点共线， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力． 题型四 抛物线与x轴交点问题（共9小题） 1．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可． 【详解】函数的图象与x轴有公共点， 方程有两个实数根，即， 解得：． 故选：A． 2．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可． 【详解】解：函数的图象与轴有公共点， 方程有两个实数根，即， 解得：． 故选：C． 3．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题．分别求出，两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，函数是二次函数，令，即， 当时，二次函数的图象与轴有交点， 解得：， 当时，函数是一次函数，其解析式为， 直线与轴有交点， 故的取值范围是． 故答案为：． 5．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数的图象与x轴有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴有交点，即有解． 6．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：1． 7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 令，根据根的判别式大于等于零即可求解； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴令时，根的判别式大于等于零； 即， 解得：， ， 故答案为：且． 8．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】首先理解题意，任意一条平行于x轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得． 【详解】解：由解得或， ∴函数y1＝x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（1，1）， ∵函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G． 由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1， 故答案为答案不唯一，如：1（0≤m≤1）， 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，理解题意，求得交点坐标是解题的关键． 9．已知二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】/k＜0.25 【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数． 【详解】解：根据题意，得Δ=b2-4ac＞0，即 （-1）2-4×1×k＞0， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，得出Δ=b2-4ac＞0是解题关键． 题型五 逻辑推理（共7小题） 1．(24-25九上·北京平谷中学·期中)如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 【答案】 乙 e，f． 【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断； （2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球， ∴还剩下a，，e，f，g，h， 又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻， ∴乙可以取e，f，g或f，g，h， 若乙取e，f，g，只剩下a，，h， ∵它们不相邻， ∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜； 同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e， ∵它们不相邻， ∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜； 枚答案为：乙； （2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h， ①若乙取三个球: 若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜； 若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜； 若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜； ②若乙取二个球: 若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜； 若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜； 若乙取e，f， 此时甲取c，d或g，h，则乙胜； 若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜； 若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜； 因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f， 故答案为：e，f． 【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜． 2．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需，，，，，，七道工序．施工要求如下： ①先完成工序，，，再完成工序，，，最后完成工序； ②完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ③完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 24 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成． （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【答案】 85 29 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据施工要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，分析缩短的各个工序天数情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：先完成工序，，同时完成工序，则完成工序，，所需最少时间为：28天， 先完成工序，，同时完成工序，则完成工序，，所需最少时间为：天， 完成工序所需最少时间为：24天， ∴该施工任务最少完成时间为：（天）， 即在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少85天完成； 故答案为：85； （2）∵工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短， ∴工序增加的投入最少，先缩短工序2天，使工序和工序，之和相同，增加的投入万元；之后只能工序，，一起缩短才行，此时工序增加的投入最少，工序最多缩短天，使工序，总时间与完成工序时间一致，增加的投入万元；最后一天同时缩短，一天，增加的投入万元； ∴所增加的投入最少是万元． 故答案为：29． 3．(24-25九上·北京密云·期中)车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 4．某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票） 购票张数 1～29张 30～60张 60张以上 每张票的价格 20元 18元 16元 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较的运用，本题只需仔细分析图表即可解决问题．根据公园门票价格规定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案． 【详解】解：解：人买张的话需付（元）， 买张的话，付（元）， 所以最少应付费元． 故买张付元是最少的付费方式． 故答案为：． 5．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短分钟，在制作阶段若缩短分钟，最后分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解． 【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行， 则加工该件艺术品最少需要：（分钟）； 需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟， 在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），， 综上，最少投入为：（元）， 故答案为：，． 6．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间(分钟) 已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ① 【分析】本题考查了推理与论证，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）因为要先修理时间短的，时间长放在最后，所以两名修理工最后修理的是分钟和分钟的，最先修理的是分钟和分钟的． 【详解】解：（1）要使经济损失最少，就要使总停产的 时间最短即可，显然先修复时间短，让机器尽快恢复运转，所以按照、、、、分钟顺序修复，即按照的顺序， 故答案为：①； （2）一名修理工修理分钟、分钟和分钟共需分钟，另一名修理工修理分钟和分钟共需分钟，五台机器总停产时间为： （分钟）， （元）． 故答案为：． 7．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 ． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 15 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】36 【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可． 【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km）， 如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km， ∵12<15， ∴第二天休息，第三天选择高强度， 如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km）， 如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km， ∵9>8， ∴第四天和第五天选择低强度， 为保持最远距离，则第一天为高强度， ∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km） 故答案为36． 【点睛】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是理解题意并掌握有理数的加法． 题型六 二次函数实际问题（共11小题） 1．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点到点的距离（单位：），点到桥拱顶面的竖直距离（单位：）．，近似满足函数关系．通过取点，测量，得到与的几组对应值，如下表： 0 1 2 3 4 0 2 2 (1)桥拱顶面离水面的最大高度为___________； (2)根据上述数据，求出满足的函数关系和水面宽度的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）把，分别代入，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：把，分别代入得 解得： 即抛物线的解析式为： 即 ∴桥拱顶面离水面的最大高度为米， 故答案为： （2）由（1）得 令，即 解得： ∴（米）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键． 2．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m）与行进的水平距离（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m． （1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________； （2）求篮球出手时距地面的高度． 【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米 【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可； （2）设抛物线的解析式为：，从而求出a的值，再把x=0代入解析式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3）， 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）； （2）设抛物线的解析式为：， 把点坐标（4.5，3.05），代入得， 解得：， ∴ 当x=0时，， 答：篮球出手时距地面的高度为2.3米． 【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)2米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法，顶点坐标的应用． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分别求出点，，即可求解． 【详解】（1）解：水流喷出的最大高度为2米． 由题意可得，抛物线经过点和， 将上述两个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， 对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， ∵， 即． 故答案为： 4．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； (3)求出y关于x的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【答案】(1)图见解析 (2)3.2米 (3) (4)米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象获取信息作答即可； （3）待定系数法求出函数解析式即可； （4）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）由图可知：当时，水柱最高点距离地面的垂直高度为米， 故答案为：； （3）设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ∴； （4）当时，； 故答案为：． 5．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 【答案】(1) (2)绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的最值． （1）根据待定系数法即可求解； （2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答． 【详解】（1）根据题意，抛物线经过点，． ∴， 解得， ∴绳子所对应的抛物线表达式为：； （2）身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 理由如下： ∵， ∴当时，， ∵， ∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 6．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析． 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 7．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)23.20 m； (2) 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． （2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 8．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； (3)求所画图象对应的函数表达式； (4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) (4)72米 【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可； （2）观察图象即可； （3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式； （4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度． 【详解】（1）坐标系及图象如图所示． （2）由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米． （3）∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2）， ∴抛物线的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）． 设抛物线的函数表达式为． 把（1.0，4.2）代入，解得． ∴所画图象对应的函数表达式为． （4）令，解得（舍），． ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴正方形护栏的边长至少为18米． 则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏． 【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键． 9． 年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意，得抛物线的对称轴为直线，经过点，． 设关于的函数表达式为．   ，即， 解得， 关于的函数表达式为． （2）令，则， 解得或（不合题意，舍去）． 运动员从起跳点到入水点的水平距离为 10．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)7米 【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，进而计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为，进而令，则，求出x的值即可判断得解． 【详解】（1）由题意得，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴． ∴水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式为． （2）由题意，∵抛物线为， ∴令，则． ∴或（不合题意，舍去）． ∴花盆需至少离喷水装置为7米处，才不会被喷出的水流击中． 11．乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3)乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，用描点法画函数图象，从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，直接开平方法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，有理数大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式并运用数形结合思想是解题的关键． 题型七 二次函数综合（共10小题） 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知和为抛物线上的两点，满足，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】（）把代入函数解析式即可求解； （）由二次函数解析式得抛物线的对称轴为直线，可得点在对称轴的右侧，又由二次函数的开口方向知二次函数图象上的点离对称轴水平距离越远函数值越大，根据分点在对称轴的右侧和点在对称轴的左侧两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点， ∴点在对称轴的右侧， ∵， ∴抛物线开口向上，二次函数图象上的点离对称轴水平距离越远函数值越大， 又∵， ∴有以下两种情况： ①点在对称轴的右侧，且， 解得； ②点在对称轴的左侧，且， 解得； 综上，的取值范围为或． 2．(24-25九上·北京密云区·期中)已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)是抛物线上三点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依据题意，当时，，从而可得对称轴是直线，进而得解； （2）依据题意可得，抛物线的对称轴是直线，又当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，可得，即，进而计算可以得解；再由时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又由，可得，即，不合题意，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 对称轴是直线 （2）由题意可得，抛物线的对称轴是直线， 当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又， ，即． ，且． ，且． 或． 当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又， ，即，不合题意． 综上，或． 3．(24-25九上·北京平谷中学·期中)已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴为 　　； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； (3)设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，或；当时， 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出对称轴； （2）由（1）得出顶点坐标，再根据顶点的纵坐标为0，求出a值即可； （3）根据点N关于直线的对称点为N'，再分和两种情况确定m的取值范围． 【详解】（1）解： ∴抛物线的对称轴为， 故答案为：； （2）解：由（1）知，抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式； （3）解：∵抛物线的对称轴为， ∴N关于直线的对称点为N'， ①当时，若，则或； ②当时，若，则． 综上，当时，或；当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的顶点、与坐标轴交点所代表的意义和函数特征是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求b的值； (2)若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出当和时的函数值，再根据建立关于b的方程即可解决问题； （2）根据，即可求出对称轴的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数中， 得：， 当时， 则， 解得：； （2）解：，， ， 解得：， 抛物线的对称轴为， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的性质是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （3）， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 6．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)点，在该抛物线上，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解； （2）分类讨论：当时，抛物线开口向上时，当时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：当时，抛物线开口向上， ①若点P、Q在对称轴异侧， ∵， ∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴， ∴， 又∵， ∴此情况不成立， ②若点P、Q在对称轴同侧， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，抛物线开口向下， ①若点P、Q在对称轴异侧 ∵， ∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， ②若点P、Q在对称轴同侧， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴与矛盾， ∵此情况不成立， 综上所述，或． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求a的值； (2)已知点在该抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）抛物线对称轴为，由得到抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，得到，再分情况去绝对值求解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵点，在该抛物线上，， ∴， 整理得， 当时，，不等式组无解，不符合题意； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时， 综上所述，． 8．已知抛物线，当时，x的取值范围是． (1)该抛物线的开口方向________； (2)若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围． 【答案】(1)向上 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据时，x的取值范围是，可知抛物线的开口向上； （2）根据题意，可知，当时，或，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，x的取值范围是， ∴抛物线的开口向上； 故答案为：向上； （2）∵时，x的取值范围是， ∴当时，或， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线经过点，两点，且， ∴， ∴． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）令，求出函数值，进而得到点的坐标即可； （2）令，求出自变量的值，即可得出结果； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴； （2）当时， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）当时，则：， ∴在轴的正半轴上， ∵， ∴点在点的下方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值小于等于2， ∴， ∴； 当时，在轴的负半轴上，， ∴点在点的上方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值大于等于2， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 综上：． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若该抛物线与轴交于点，且，求的取值范围； (3)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系、不等式性质、二次函数的最值问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据二次函数的对称轴为直线求解即可； （2）根据题意，结合一元二次方程的根与系数关系得到，结合，进行求解即可； （3）根据题意得到抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得对称轴为直线； （2）解：∵该抛物线与轴交于点， ∴方程的两个根为，， ∴， ∵， ，即， ； （3）解：抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，当时，， 根据题意，分以下情况： ①当在取得最大值，在取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为， ∴，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为 ∴，则，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为， ∴，则，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 题型八 几何综合（共12小题） 1．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，在中，，，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形并求的度数； (2)连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)补图见解析， (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据题意补全图形，然后根据“”证明即可求解； （2）在上取点Q，使，连接，，根据“”证明，可得，然后分别在和中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由：如图，在上取点Q，使，连接，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等，求得，即可证明； （2）由得到，利用勾股定理求得，，过点B作，交的延长线于H，证明，求得，，证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中线， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在中，，，过点的射线与斜边交于点，于点． (1)求证：； (2)连接，若满足，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余角和互余的性质，即可证明结论； （2）过点B作，交AD延长线与点F，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，最后利用勾股定理，即可求出的值．． 【详解】（1）证明： （2）解：如图，过点B作，交AD延长线与点F， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的特征，垂线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 5．已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接．    (1)当时，过点，如图1所示，判断和之间的位置关系，不必证明； (2)当时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； (3)如图3，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（1）中的结论仍然成立，理由见详解 【分析】（1）当时,即将绕点按逆时针方向旋转，可得是等边三角形，点是的中点，得到，与是等边三角形，由此可得四边形是平行四边形，根据矩形的证明方法可得平行四边形是矩形，结合矩形的性质即可求解； （2）当时,即将绕点按逆时针方向旋转，可得，是等腰直角三角形，如图所示，过点作，垂足分别为，可证，得到，再证，得到，根据等腰三角形的“三线合一”即可求解； （3）作垂足分别为点，从而证明和全等，再证明和全等，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时, ，理由如下， ∵在中，， ∴，， 当时,即将绕点按逆时针方向旋转， ∴与重合，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且，即点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形， ∴； （2）解：补全图形如图所示，   仍然成立，理由入下， 当时,即将绕点按逆时针方向旋转， ∴，，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴， 如图所示，过点作，垂足分别为，    ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴； （3）解：猜想仍然成立， 证明：作， ，垂足分别为点，如图2，    则， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，等要三角形的判定和性质，三角形全等的证明和性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 7．如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键． （1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到． （2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示， 为正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． （2）解：① 如图所示，在线段上取点H，使得，连接，， ② 过点作交于点，如图所示， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，即， （第一问已证）， ， 又 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 8．如图，中，，O是中点，D在线段上（不与重合），点E是内部一点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)已知点F是的中点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据题意得出即可得出结论； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的判定定理，证明出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ． （2）延长到，使，连接， ，即垂直平分， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点F是的中点即， ， ． 9．阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． (1)①直接写出的度数；②求线段的长； (2)参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可；根据平行线分线段成比例定理计算线段的长； （2）过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据正切的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ； ②， ， ， ，， ， ， ， ； ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． ， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 10．小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，且，，，，求的长．    小明发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．    (1)请回答：的度数为______；的长为______； (2)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，与交于点，且，，，，，求的长．    【答案】(1) (2)；计算过程见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，则同旁内角互补，先求得，再求得；先由可求得的长，于是可求得的长，再由可得求解． （2）作，仿照（1）可求得，于是求得的长，再由可求得，再证得，最后由勾股定理可求得的长． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由得 ∴ ∴ ∴， ∴， 即：． 故答案为：． （2）过点A作，与的延长线相交于点F（如图）    则 ∴ ∴ ∴． ∴ 由知，， 又由得，， ∴ ∴，则 ∴， 由得 ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∴ 在中，， 即的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等角对等边、三角形内角和定理，解题的关键是作出正确的辅助线． 11．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．      （1）如图1，若点M在线段BD上． ① 依据题意补全图1； ② 求∠MCE的度数． （2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系 ． 【答案】（1）①见解析；②∠MCE=∠F=45°；（2） 【分析】（1） ① 依据题意补全图即可；② 过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F  ，利用同角的余角相等，得到∠FMA= ∠CME，再通过等腰三角形的判定得到FM=MC，再通过判断，得到∠MCE的度数. （2）通过证明，得到  AF=EC，将转化为，再在Rt△FMC中，利用边角关系求出FC=，即可得到. 【详解】（1） ① 补全图1：    ② 解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F             ∵FM⊥BC ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90° ∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90° ，AM=ME ∴ ∠CME+∠AMC=90° ∴∠FMA= ∠CME ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠FCM=45° ∴∠F=∠FCM=45° ∴FM=MC 在△FMA和△CME中 ∴ ∴ ∠MCE=∠F=45° （2）解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F             ∵FM⊥BC ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FME+∠EMC=90° ∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90° ，AM=ME ∴∠FME +∠AMF=90° ∴∠EMC = ∠AMF ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠FCM=45° ∴∠MFC=90°-∠FCM=45° ∴FM=MC 在△FMA和△CME中 ∴ ∴ AF=EC ∴ ∵∠FCM=45°，∠FMC=90° ∴FC= ∴ 综上所述， 【点睛】本题是旋转图形考查，掌握旋转前后不变的量是解答此题的关键，涉及到的知识点相似的判定及性质、等腰三角形的性质等. 12．四边形是正方形，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作交的延长线于F，连接．    (1)依题意补全图1； (2)直接写出的度数： (3)连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可； （2）的度数为．由题意得，，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可； （3）作，交的延长线于点H，判定，可得，，从而可得与的数量关系，则可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：设与交于点G，如图所示：    由题意得，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，作，交的延长线于点H，    由（2）得． ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型九 新定义综合（共13小题） 1．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)，或， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上； （2）把代入求出解析式，再求于的交点即为； （3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ； （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，； （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，． 2．(23-24九上·北京燕山·期中)对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”． （1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”； （2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）Q1，Q3；（2）；（3） 【分析】（1）在平面直接坐标系中画出相关点的坐标，根据定义就可以判断出结果． （2）根据题意画出点Q的位置轨迹，观察图形，满足题意有两种情况，分别计算即可. （3）根据题意画图，并结合第二问，发现当正方形在以OB和OC为直径的圆的相交部分的时候，是不满足题意的，所以找到个边界点，即可解题 【详解】解：（1）Q1，Q3，如下图： （2）∵∠OQP=90°， ∴点Q在以OP为直径的圆上（O，P两点除外） 如图1，以OB为直径作，作轴，交于点H（点H在点M左侧）． ∵点B的坐标为（-3，4）， ∴的半径为，点M的坐标为． ∴．   如图2，以OC为直径作，作∥x轴，交于点（点在点右侧）． ∵点的坐标为（4，4）， ∴的半径为，点的坐标为（2，2）． ∴．            ∴n的取值范围是． （3） 正方形1的左下端点为左边界，此时． 正方形2的右上端点在右边圆上，圆心坐标为 ，则满足关系式： ， 化简得：， 解得：． 正方形3的左端点在左边圆上，圆心坐标为，此时满足关系式： , 化简得：, 解得：（舍）， 正方形4的右下端点在右边圆上，是右边界，． 综上所说：满足题意的解集是：． 【点睛】本题是新定义题型的考查，能够根据题意画出相关图形，分类讨论是解题关键． 3．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 【答案】(1)（﹣5，2） (2)或3 (3) 【分析】（1）根据定义直接解答即可； （2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）∵-5<0， ∴， ∴点的“可控变点”坐标为（-5，2）， 故答案为（﹣5，2）； （2）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数． 的图象上． ∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7， ∴当时，解得x=3； 当，解得x=-； 综上所述“可控变点” Q的横坐标为或3． （3）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数 的图象上（如图）． ∵， ∴． ∴x=． 当x=-5时， 当=9时，x=， ∴a的取值范围是． 【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案. 4．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1． （1）求min{x2﹣1，﹣2}； （2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围； （3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围． 【答案】（1）min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，（2）k≥﹣2，（3）﹣3≤m≤7． 【详解】试题分析：（1）比较x2﹣1与﹣2的大小，得到答案； （2）把x2﹣2x+k化为（x﹣1）2+k﹣1的形式，确定k的取值范围； （3）根据当﹣2≤x≤3时，y=x2﹣2x﹣15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可． 解：（1）∵x2≥0， ∴x2﹣1≥﹣1， ∴x2﹣1＞﹣2． ∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2， （2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1， ∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1． ∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3， ∴k﹣1≥﹣3． ∴k≥﹣2， （3）对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7， 当x=3时，y=﹣12， 由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）， 所以m的范围是：﹣3≤m≤7． 5．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点．    (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标____________； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)二次关联点的坐标为 【分析】（1）如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，证明，则，进而可得，； （2）如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，，由，，可得，，则，进而可得； （3）如图3，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，过作于，设，则，同理（1），，则，，，，，由，，可得，解得，，进而可求． 【详解】（1）解：如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，过作于，    设，则， 同理（1），， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．    （1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为___________； （2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值． （3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）9；（2）OC⊥直线于点C；① ；② ；（3） 【分析】（1）求出线段MN的长度，根据正方形的面积公式即可求出答案； （2）根据面积求出，根据面积最小确定OC⊥直线于点C，再分情况分别求出b； （3）分两种情况：当点E在直线y=-x-2是上方和下方时，分别求出点P的坐标，由此得到答案. 【详解】解：（1）∵M(0，1)，N（3,1）， ∴MN∥x轴，MN=3, ∴点M，N的“确定正方形”的面积为, 故答案为：9； （2）∵点O，C的“确定正方形”面积为2， ∴. ∵点O，C的“确定正方形”面积最小，          ∴OC⊥直线于点C. ① 当b>0时，如图可知OM=ON，△MON为等腰直角三角形，    可求，                          ∴ ② 当时，同理可求 ∴    （3）如图2中，当正方形ABCD在直线y=-x-2的下方时，延长DB交直线y=-x-2于H， ∴BH⊥直线y=-x-2， 当BH=时，点E、F的“确定正方形”的面积的最小值是2，此时P（-6,0）； 如图3中，当正方形ABCD在直线y=-x-2的上方时，延长DB交直线y=-x-2于H， ∴BH⊥直线y=-x-2， 当BH=时，点E、F的“确定正方形”的面积的最小值是2，此时P（2,0）， 观察图象可知：当或时，所有点E、F的“确定正方形”的面积都不小于2       【点睛】此题是一次函数的综合题，考查一次函数的性质，正方形的性质，正确理解题中的正方形的特点画出图象求解是解题的关键. 7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 【答案】（1）不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）；（3）或． 【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断； （2）根据一次函数的性质可得的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围； （3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，边界值是3； （2）中，随的增大而减小， 当时，，故． 当时，， 根据题意可得：， ； （3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故． 当时，，即过， 当时，，即过， 将，都向下平移个单位，得到，， 根据题意可得：或， 或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质． 8．对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． (1)若，则______，______； (2)若，，则的值为______； (3)若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)的最大值为，四边形的对角线交点坐标为 【分析】（1）根据点坐标及画出图形，得到点，，，的位置，利用勾股定理求出，； （2）分两种情况：①当较小时，②当较小时，分别求出点，，，的坐标，利用勾股定理列式计算可得的值； （3）先确定，两直线平行，且关系直线对称，勾股定理求出，，当时，求出，当时，，且随的减小而增大；当时，；当时，，且随的减小而增大；故当时，有最大值，此时，得到，，，，求出及，得到四边形是平行四边形，进而得到四边形对角线交点坐标． 【详解】（1）当时， 直线，与轴交点坐标为，与轴交点，此时点与点重合， 直线中，当时，解得；当时，得， 直线与矩形的交点，， ，； 故答案为：，； （2）分两种情况： ①当较小时， 直线中，当时，；当时，， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 解得：或（舍去）； ②当较小时， 直线中时，， 直线的图象与轴交点， 当直线与矩形的边相交时，令，则， ， ， 解得：或； 当时，直线，当时，； 当时，直线，当时，，故舍去； 当直线与矩形的边相交时，令，则， ， ， 此种情况不成立， 故的值为或， 故答案为：或； （3）解：与不重合，与不重合， ， 与的值相等，值互为相反数， 两直线平行，且关于直线对称， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 当时，， 解得：， 图1，当时，，且随的减小而增大； 图3，当时，， 图2，当时，，且随的减小而增大， 故当时，有最大值，此时， 此时，，，， ，，， ，， ， 四边形是平行四边形， 对角线交点的坐标为，即， 综上，的最大值为，四边形对角线交点坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，求直线解析式，直线与图形的交点，勾股定理，正确理解题意并画出图形辅助解决问题是解题的关键，此题较难． 9．定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据两个图形之间的距离的定义，画出图形即可判断； ②当直线在点A的上方时，过点作直线，过点作，交BA的延长线于点，两个图形任意两点的距离中的最小值等于1时，直线解析式b的值，同理可求出当直线在点的下方时，直线解析式b的值，再结合图象即可得出结论； （2）当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时，设直线交直线于点，可求，，进而求出，同理求出当正方形EFGH在直线y=-x+2的右侧时，求出，结合图象即可判断． 【详解】（1）①如图1中， 观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，． 故答案为：，； ②如图②中， 当直线在点的上方时，过点作直线， 过点作，交BA的延长线于点． 不妨假设，则， ， ， ， 当直线在点的下方时，过点作直线， 不妨假设，同法可得， ， ， 观察图象可知，满足条件的的取值范围为； （2）如图3中， 当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时， 设直线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时， 同法可得， ∴， 观察图象可知，满足条件的m的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，两个图形之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 10．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． (1)①已知点，则______． ②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标． (2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 【答案】(1)①，② (2)， 【分析】（1）①根据公式直接计算即可；②根据函数的图象上的点的横纵坐标均非负，可得，，，再根据，可得，即有，进而可得，解方程即可求解； （2）函数化为顶点式为：，即可得，，根据点是图象上一点，可得，，，则有，即可得，问题随之得解． 【详解】（1）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵点B是函数的图象点， ∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴B点坐标为：， （2）函数化为顶点式为：， ∴， ∵，点是图象上一点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴， ∴D点坐标为：， 即最小值为3，D点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键． 11．在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，给出如下定义：若称该函数为“正型函数”，若称该函数为“横型函数”，若称该函数为“纵型函数”． (1)下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）______． ①    ② ③    ④． (2)已知函数是“纵型函数”，求a的取值范围． (3)若函数是“纵型函数”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义问题，函数的最值问题； （1）通过列表分别求得函数值，进而根据自变量的取值范围求得函数的最值，结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，根据新定义得出不等式，解不等式，即可求解； （3）根据分情况讨论，分别求得二次函数的最大值与最小值，结合新定义列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： ①中，，，则，是“横型函数”，    ②中，，，则，是“纵型函数”，   ③中，，，则，是“纵型函数”     ④中，，则称该函数为“正型函数”． 故答案为：②③． （2）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当时， ∴ 抛物线与轴的交点为和 当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为 ∵函数是“纵型函数” ∴ 解得： （3）解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为 当时， ∴ 抛物线与轴的交点为和 当时，；当时， ①当即时，函数的最大值为， 最小值为 ∵函数是“纵型函数”， ∴即 解得： ∴， ②当时，函数的最小值为， 最大值为 ∵函数是“纵型函数”， ∴即 解得： ∴， ③当时，则函数值的最小值为顶点的纵坐标， 当，即时，函数的最小值为，最大值为 ∴， 解得：（舍去）或 ∴ 当，即，函数的最小值为，最大值为 ∴， 解得：（舍去）或（舍去） ∴ 综上所述，或 12．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键． （1）由点 可得， ，再根据题意将点 到矩形的最短距离算出来， 若大小等于， 则符合题意，即可求解； （2）先求出正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 再根据直线在坐标轴内平移，找出直线上关联点到正方形距离等于 时的临界点时的值即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”， 故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值， ， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 13．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据“反称变点”的定义，由，即可推出，于是得解； （2）根据题意，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解一元二次方程，求出的值即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：当时，可推出；当时，可推出；分别解不等式组，即可得出的取值范围，然后画出函数图象，通过观察图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 点的“反称变点”坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， 即：， 解得：， ， ； 当时，， ， 即：， 解得：， ， ； “反称变点”的横坐标是或； （3）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 即：， 解得：； 当时，， ， 即：， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，的取值范围是，如图所示： 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，化简多重符号，直接开平方法解一元二次方程，解一元二次不等式，画二次函数图象等知识点，理解题意，弄清新定义并懂得利用数形结合思想是解题的关键． 2 / 131 1 / 131 学科网（北京）股份有限公司 $ · 专题06 期中真题百练通关（92题9大题型） · 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次函数图象性质小综合 题型6 二次函数实际问题 题型2 函数与几何、动点 题型7 二次函数综合 题型3 相似与圆 题型8 几何综合 题型4 抛物线与x轴交点问题 题型9 新定义综合 题型5 逻辑推理 题型一 二次函数图像性质小综合（共11小题） 1．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25九上·北京通州区·期中)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C． D．函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 4．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．二次函数（a、b、c为常数，）的x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 1 2 5 10 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B． C．这个函数的最大值为10 D．关于x的一元二次方程无解 7．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 有以下几个结论： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和； ④当时，的取值范围是或．其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 8．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 9．已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是 ．（填序号） 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，下列四个结论中：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③；④，所有正确结论的序号是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 题型二 函数与几何、动点（共9小题） 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴的负半轴上，点，，，…，在二次函数位于第三象限的图象上，若四边形，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的面积为 ． 3．(24-25九上·北京房山区·期中)已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知A、B是反比例函数（，）图象上的两点，轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作轴，轴，垂足分别为M、N．设四边形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（  ） A． B． C． D． 5．如图1所示，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形外部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边的周长为（    ）    A．4 B．6 C． D． 6．定义新运算：，例如：，，则的图象是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，cosB＝点M、N分别是边BC和AC上的两个动点，点M以2cm/s的速度沿C→B方向运动，同时点N以1cm/s的速度沿A→C方向运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，四边形ABMN的面积为S，则下列能大致反映S与t函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是 ，PD＋PC 的最小值是 ． 9．如图，在中，，点是边的中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，，，．设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是 ． 题型三 相似与圆（共10小题） 1．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是的直径，是的一条弦，半径与交于点（点与点不重合），、在两侧，长为，的半径长为，以下说法中， ①； ②可能是直角三角形或钝角三角形； ③若点关于的对称点为，则； ④长的最小值为． 所有正确说法的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．(23-24九上·北京平谷区东高村学校·期中)如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．(23-24九上·北京房山区·期中)已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论： ①；②；③；④ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 4．把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是 ．    6．如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则 ． 7．如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 8．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为 ． 10．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为 ． 题型四 抛物线与x轴交点问题（共9小题） 1．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是 ． 4．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 5．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 6．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ． 7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为 （写出一个即可）． 9．已知二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是 ． 题型五 逻辑推理（共7小题） 1．(24-25九上·北京平谷中学·期中)如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 2．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需，，，，，，七道工序．施工要求如下： ①先完成工序，，，再完成工序，，，最后完成工序； ②完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ③完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 24 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成． （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 3．(24-25九上·北京密云·期中)车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 4．某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票） 购票张数 1～29张 30～60张 60张以上 每张票的价格 20元 18元 16元 5．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 6．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间(分钟) 已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 7．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 ． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 15 12 8 休息 0 0 0 0 0 题型六 二次函数实际问题（共11小题） 1．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点到点的距离（单位：），点到桥拱顶面的竖直距离（单位：）．，近似满足函数关系．通过取点，测量，得到与的几组对应值，如下表： 0 1 2 3 4 0 2 2 (1)桥拱顶面离水面的最大高度为___________； (2)根据上述数据，求出满足的函数关系和水面宽度的长． 2．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m）与行进的水平距离（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m． （1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________； （2）求篮球出手时距地面的高度． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则 ．（填“”，“”或“”） 4．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； (3)求出y关于x的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 5．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 6．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 7．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 8．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； (3)求所画图象对应的函数表达式； (4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 9． 年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 10．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 11．乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 题型七 二次函数综合（共10小题） 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知和为抛物线上的两点，满足，求的取值范围． 2．(24-25九上·北京密云区·期中)已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)是抛物线上三点，且，求a的取值范围． 3．(24-25九上·北京平谷中学·期中)已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴为 　　； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； (3)设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求b的值； (2)若，求t的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 6．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)点，在该抛物线上，若，求a的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求a的值； (2)已知点在该抛物线上，若，求m的取值范围． 8．已知抛物线，当时，x的取值范围是． (1)该抛物线的开口方向________； (2)若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若该抛物线与轴交于点，且，求的取值范围； (3)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 题型八 几何综合（共12小题） 1．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，在中，，，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形并求的度数； (2)连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 3．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 4．如图，在中，，，过点的射线与斜边交于点，于点． (1)求证：； (2)连接，若满足，，求的值． 5．已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接．    (1)当时，过点，如图1所示，判断和之间的位置关系，不必证明； (2)当时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； (3)如图3，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 6．在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 7．如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 8．如图，中，，O是中点，D在线段上（不与重合），点E是内部一点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)已知点F是的中点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 9．阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． (1)①直接写出的度数；②求线段的长； (2)参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 10．小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，且，，，，求的长．    小明发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．    (1)请回答：的度数为______；的长为______； (2)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，与交于点，且，，，，，求的长．    11．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．      （1）如图1，若点M在线段BD上． ① 依据题意补全图1； ② 求∠MCE的度数． （2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系 ． 12．四边形是正方形，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作交的延长线于F，连接．    (1)依题意补全图1； (2)直接写出的度数： (3)连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型九 新定义综合（共13小题） 1．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 2．(23-24九上·北京燕山·期中)对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”． （1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”； （2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围． 3．(24-25九上·北京门头沟大峪中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 4．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1． （1）求min{x2﹣1，﹣2}； （2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围； （3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点．    (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标____________； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标． 6．在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．    （1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为___________； （2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值． （3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围． 7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 8．对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． (1)若，则______，______； (2)若，，则的值为______； (3)若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 9．定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 10．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． (1)①已知点，则______． ②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标． (2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 11．在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，给出如下定义：若称该函数为“正型函数”，若称该函数为“横型函数”，若称该函数为“纵型函数”． (1)下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）______． ①    ② ③    ④． (2)已知函数是“纵型函数”，求a的取值范围． (3)若函数是“纵型函数”，直接写出m的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 13．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 34 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $