九年级数学上学期期中模拟卷02（湘教版第1～3章反比例函数、一元二次方程、相似三角形）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2012九年级数学上册第1~3章（反比例函数+一元二次方程+相似三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 2．已知，那么下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键． 根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：，，，， 不成立的是B． 故答案为：B． 3．若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似比、相似多边形的性质及计算，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质求解即可得出答案． 【详解】两个相似五边形的相似比为， 它们的面积比为， 故选：C． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 5．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式分解，由和是方程的两个根可得，进而可得，即可求解，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴， 即， ∴多项式可以分解因式为， 故选：． 6．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（  ） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 【答案】A 【详解】∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS） ∴S△ADE=S△CFE ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2 ∴S△ADE：S△ABC=1：4 ∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3 ∴S△CEF：S四边形BCED=1：3 故选：A. 7．已知实数是一元二次方程的根，则的值为（   ） A．14 B．7 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值． 【详解】解∶∵实数是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 8．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式，即可求得k的值． 【详解】解：设D的坐标是，则B的坐标是． ∵矩形的面积为，， 把D的坐标代入函数解析式得： ， 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，此时点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，全等三角形的判定与性质，过点作轴于点，过点作于点，利用旋转的性质，证明，结合反比例函数的性质解答即可．求得点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴． 故选：D． 10．如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 设正方形边长为，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，即，解出的值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵正方形内接于上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ∴正方形的周长为8， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一元二次方程x2＝2x的解为 ． 【答案】x1＝0，x2＝2 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12．若函数是反比例函数，则m＝ ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据函数是反比例函数，则且求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 13．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】2022 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中得： ， ， ， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 14．如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 15．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 16．如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为 . 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．连接、，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数k的几何意义，即可作答． 【详解】解：连接、，如图， 轴， ， 而， ， 而， . 故答案为：4 17．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，分式化简求值．熟练掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．把分别代入与，得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把分别代入与，得 ，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 18．如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是 【答案】1 【分析】本题考查菱形的性质，函数图像的认识，相似三角形的判定及性质． 由图像可知，再利用将军饮马和似三角形的判定及性质求最值即可． 【详解】解：由题得， 由图象得，， 取点E关于成轴对称的点G，如图，此时y取最小值， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用配方法即可求解． 【详解】解：， ······（2分） ······（2分） ， 解得：．······（2分） 20．（6分）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且，······（2分） 解得：．······（1分） （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得：······（2分） 点不在该反比例函数图象上．······（1分） 21．（8分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点、、、，使点、、在一条直线上且，如果，，，求河的宽度． 【答案】河的宽度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似比得到 ，然后根据比例的性质即可求出的长度，熟练掌握其性质并能正确证明是解决此题的关键． 【详解】解： ， ，······（2分） ， 即，······（3分） ，······（3分） 答：河的宽度为． 22．（8分）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为1，求的值； (2)当为何值时，是矩形． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，，······（2分） 解得：；······（1分） （2）∵的两对角线，， ∴当时，是矩形，······（2分） 方程有两个相等的实数根， ，······（2分） 解得，即的值为1．······（1分） 23．（9分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为 (2)每件应降价60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 24．（9分）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC；······（3分） （2）∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=．······（2分） 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC．······（2分） ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG．······（2分） 【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 25．（10分）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 【答案】(1)D（）， (2)10 (3)当时，；当时， 【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案； （2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案； （3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），， ，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出． 【详解】（1）， ， 由，解得：， ，······（1分） 点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数， 点的横坐标为1， ， 把代入，得， 解得：， ， 联立得，解得：，， ， 由，解得：， ，，······（1分） 线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，． ；······（1分） （2）线段上的整点个数为7，，必为整点， 为偶数， ， ，， ，······（1分） 线段上有3个整点， ，， ， ， 解得：；······（2分） （3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点， ∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，······（1分） 设D（d，d），则， 又∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，线段AD上只有一个整点A， ∴线段BC上整点个数为m，······（2分） 由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时，······（3分） 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键． 26．（10分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴；······（2分） （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为，······（2分） ∴， ∵ ∴；······（1分） （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，，······（2分） 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴，······（2分） 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴．······（1分） 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2012九年级数学上册第1~3章（反比例函数+一元二次方程+相似三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（  ） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 7．已知实数是一元二次方程的根，则的值为（   ） A．14 B．7 C．16 D．15 8．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，此时点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一元二次方程x2＝2x的解为 ． 12．若函数是反比例函数，则m＝ ． 13．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 14．如图，若，，，，则长为 ． 15．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为 ． 16．如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为 . 17．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ． 18．如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： 20．（6分）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 21．（8分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点、、、，使点、、在一条直线上且，如果，，，求河的宽度． 22．（8分）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为1，求的值； (2)当为何值时，是矩形． 23．（9分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 24．（9分）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 25．（10分）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 26．（10分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C A C A D D D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．x1＝0，x2＝2 12．1 13．2022 14．2 15． 16．4 17．1 18．1 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】解：， ······（2分） ······（2分） ， 解得：．······（2分） 20．（6分）【详解】（1）解： 反比例函数为， 且，······（2分） 解得：．······（1分） （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得：······（2分） 点不在该反比例函数图象上．······（1分） 21．（8分）【详解】解： ， ，······（2分） ， 即，······（3分） ，······（3分） 答：河的宽度为． 22．（8分）【详解】（1）解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，，······（2分） 解得：；······（1分） （2）∵的两对角线，， ∴当时，是矩形，······（2分） 方程有两个相等的实数根， ，······（2分） 解得，即的值为1．······（1分） 23．（9分）【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 24．（9分）【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC；······（3分） （2）∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=．······（2分） 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC．······（2分） ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG．······（2分） 25．（10分）【详解】（1）， ， 由，解得：， ，······（1分） 点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数， 点的横坐标为1， ， 把代入，得， 解得：， ， 联立得，解得：，， ， 由，解得：， ，，······（1分） 线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，． ；······（1分） （2）线段上的整点个数为7，，必为整点， 为偶数， ， ，， ，······（1分） 线段上有3个整点， ，， ， ， 解得：；······（2分） （3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点， ∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，······（1分） 设D（d，d），则， 又∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，线段AD上只有一个整点A， ∴线段BC上整点个数为m，······（2分） 由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时，······（3分） 26．（10分）【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴；······（2分） （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为，······（2分） ∴， ∵ ∴；······（1分） （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，，······（2分） 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴，······（2分） 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2012九年级数学上册第1~3章（反比例函数、一元二次方程、相似三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（  ） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 7．已知实数是一元二次方程的根，则的值为（   ） A．14 B．7 C．16 D．15 8．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，此时点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一元二次方程x2＝2x的解为 ． 12．若函数是反比例函数，则m＝ ． 13．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 14．如图，若，，，，则长为 ． 15．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为 ． 16．如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为 . 17．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ． 18．如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： 20．（6分）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 21．（8分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点、、、，使点、、在一条直线上且，如果，，，求河的宽度． 22．（8分）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为1，求的值； (2)当为何值时，是矩形． 23．（9分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 24．（9分）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 25．（10分）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 26．（10分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $