【轮轮清·高考模拟卷】2025年河南省高考模拟打靶卷 数学（三）

·数学· 参考答案及解析 叁专答桌及解折 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题·数学（三） 一、选择题 6.D【解析】因为|PF1:|PF2|=1:5,设 1.D【解析】因为向量a=(1,-2),b=(-2, 1PF1|=m,所以|PF2|=5m.由椭圆的定义可 λ)，a∥b,所以1X入-（一2）X(-2)=0,故 知2a=|PF1|+|PF2|=6m,故a=3m.又 λ=4. IBF1I+IBF2|=2a,且IBF1|=IBF2|,故 2.B【解析】当a=3,b=0时，ab=0,分无意 |BF1|=|BF2|=a=3m,所以|BP|=4m, IBP|2+|BF212=|PF2|2,故∠F1BF2= 义，所以由“6≤0不能得到“号≤0”，而由 90°，△BF1F2是等腰直角三角形，F1F2| “台≤0”可以得到“a6≤0”，故“ab≤0”是“合≤ 2c=2a,其中c为半焦距，故离心率为S-② a 2 0”的必要不充分条件. 7.A【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为 3.C【解析】f(x)=sin(z十p)(lp<)的图 1,球的半径为R,则4R=2十l,行R √2 象向右平移个单位长度后得到y=sin(x十 7，整理得16R=r(+)= 2x4(l+r)(1-r),即(r+l)2=8r(1-r),(l- 9一)的图象，若关于y轴对称，则9一 3r)2=0,1=3r,所以圆锥侧面展开图圆心角 x+,其中∈Z.因为p<2,故当k=-1 的大小为罗-至 时9= 8.A【解析】在△ABC中，由余弦定理，得 cOsS∠BAC=AB+ACBC= 4.B【解析】设{am}的公差为d,由S,= 2AB·AC 8,所以 (a1+a7)X7 2 =49,a,=13,得a1=1.由a,= sin∠BAC=WI-cos∠BAC=3y7 ,S△ABc= 1+6d=13,得d=2,所以a1o=a1+9d=1+ 9×2=19. 2AB·AC·Sm∠BAC-15, 4.设△ABC内 5.c獬标】因为-，--含c 切圆的半径为，则SaC=号(AB十AC十 2z,+x)=1(2x-2x2x,+8x2)= BC)·7,即15V7=1 12=1 4 2 ×(4+5+6)×r,解得 2-2z×2+2x=2 ?,又sin∠BAC- r /1-cos∠BAC 2 3,由题意，得0.2=20×2004-云，整理得 20 4,放A1= ∠BAC=2. x2=100.2-0.2=100,所以x=10. sin 2 ·1· 打靶卷 ·新高考版· 二、选择题 C1D1,即d=Aδ+C1D1,故B正确；对于 9.AD【解析】因为之=1十i,所以|x| C,因为a|=|b|=|cl=d,所以当a·c= +=厄，x-z=1+i-(1-i》=2,兰= b·d时，AC=BD,根据正弦定理得 AC AC BD 1-1+}=1-1=≠-， 2 sin∠ABC sin∠ADC sin∠BAD BD I∠ABC=∠BAD, 2(1-i) 1+iD(1-D=1-i=z,故A,D正确，B,C sin∠BCD' 所以 或 ∠ADC=∠BCD, 错误。 I∠ABC=∠BCD, 当 I∠ABC=∠BCD, 10.BCD【解析】因为f(x)的图象关于点(1,1) ∠ADC=∠BAD.l∠ADC=∠BAD 时 BC∥AD,AB与CD不一定平行，所以AB 对称，所以f(x+1)的图象关于点(0,1)对 称，f(x十1)不是奇函数，故A错误.根据题 与C1D1不一定平行，A,B,C1,D1不一定共 面，故C错误；对于D,若a·b十c·d=a·d+ 意得f(-x)=f(x),f(1-x)十f(1十x)=2, b·c,则OA·O店+0元.O币-OA.OD+ 所以f(x)+f(2-x)-f(x)+f(x-2)=2, f(x-2)+f(x-4)=2,故f(x)=f(x-4), OB.O元，所以OA·OB-OA·OD=OB· O元-O元.O币，所以OA.D=O元.D,得 4是f(x)的一个周期，故B正确.由上可知 f(6)+f(7)=f(2)+f(3),且由f(1-x)+ DB·AC=0,所以BD⊥AC.又BB1⊥AC,所以 f(1+x)=2可知，令x=0,则f(1)=1;令 AC⊥平面BB1D1D,所以AC⊥BD1,故D正确. x=2,则f(-1)+f(3)=f(1)+f(3)=2,所以 三、填空题 f(3)=f(1)=1,f(1)+f(2)=f(6)+f(7)成 0Ka<1, 12.(-1,0)【解析】若A二B,则 即 立，故C正确.由上可知f(1)+f(3)=2, 0<|1+a<1, f(2)+f(4)=2,且4是f(x)的一个周期， -1<a<0或0<a<1, 故-1<a<0,a的 -2<a<-1或-1<a<0, 故罗r)=2024+f2025)=2024+f1) 取值范围是（一1,0）. 2025,故D正确， 13.511【解析】因为C9。+C。+…+C8=2 11.ABD【解析】对于A,因为侧面ABB1A1是 512,所以C。+C1。+…+C8=512-1=511. 平行四边形，所以∠BAA1=∠BB1A.又A,14.2【解析】设x0是f(x)的一个零点，则 B,B1,A1四点共圆，所以∠BAA1十 x≠0，且f(x)=0,则x。=-1-b a ∠BB,A:=,所以∠BAA1=,即AA:1 AB.同理可得AA1⊥AD,所以AA1⊥平面 -(+2)+-a<1,故经-a≤1，则 ABCD,所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直 a1≥，所以a+1)+6+3≥+ 四棱柱，故A正确；对于B,因为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以BB1⊥ 6+6+9.令g(0)-g+6+6+906e AB.若AB⊥CB1,则AB⊥平面BCC1B1,所 以AB⊥BC.又四边形ABCD是底面圆O'的 R),则g'6)=8+26+6=子6+2)6- 内接四边形，所以AC是圆O的直径，且由上 2b+12).因为Vb∈R,b2-2b+12>0,所以 可知O为矩形ACC1A1对角线的中点，所以 当b<-2时，g'(b)<0,g(b)单调递减；当 Aò=O元，故d-A1O=d-O元=CD= b>一2时，g'(b)>0,g(b)单调递增，所以当 ·2· ·数学· 参考答案及解析 b=一2时，g(b)取得极小值，也即最小值，且 g(b)mm=g(-2)=2.综上，当b=-2,a=0时， p(x=D=C×号×1-)-号，0分) (a+1)2+(b+3)2的最小值为2. P(x=2)=CG×(号)×-)-音 优解：由题意得f(1)=a十b十2≥0，所以(a+ (11分) 1)2+6十3)≥a+16+3)≥2，当且仅当 2 27 (12分) a=0,b=一2时，等号成立，且经验证也符合 故X的分布列为 题意 四、解答题 0 1 2 3 15.(1)证明：由2am一am+1=n-1,得2(am一n)= 1 2 P 27 9 9 27 an+1-(n+1). (2分) 又a1=2,故a1-1=1, (3分) (13分) 所以{am一n}是首项为1，公比为2的等比 所以E(X)=0 27+1X +2x音+3 9 数列 (4分) (2)解：由(1)可知，am-n=1×2m-1,(7分) 272. (15分) 故an=2m-1十n. (8分)》 2 (3)解：由(2)可知，Sn=(2°+21+…+2-1)+ 或：因为X~B(3,3 ,故E(X)=3X3=2, 个}二2+”m十0=21+ (15分) (1+2+…+n)= 2 17.(1)证明：如图，因为点A,B,C,F在同一平 n(n+1) (13分) 面内， 2 所以延长线段AB,CF后交于一点，记该点 16.解：(1)s=300, (1分) 为G,连接EG,DG. t=350. (2分) 因为点A到平面CDE的距离恰为点B到平 (2)零假设为H。:不同性别的消费者的购物 面CDE的距离的2倍， 习惯没有差异。 所以B为AG的中点. (2分) 根据列联表中的数据，经计算得到X 又点F到直线AB的距离恰为点C到直线 600×(150×100-200×150)2 ≈17.143> AB的距离的2， 1 350×250×300×300 10.828=x0.001 (5分) 所以F为CG的中点. (3分) 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们 连接BF,则BF是△ACG的中位线， 推断H。不成立，即认为不同性别的消费者 所以BF∥AC. (4分) 的购物习惯有差异，此推断犯错误的概率不 又BFC平面BDE,AC中平面BDE, 大于0.001. (6分) 所以AC∥平面BDE (6分) 86的估计值为器-号 (8分) 3位女性消费者中倾向网上购物的人数X的 所有可能取值为0,1,2,3， 则P(x=0)-(1-}广= (9分) ·3· 打靶卷 ·新高考版· (2)解：法一：如图，设A'为点A在平面CDE 上的射影，则AA'⊥平面CDE. 因为AA'C平面ADE, B- 所以平面ADE⊥平面CDE. (7分) 设B'为点B在平面CDE上的射影，则BB'⊥ 平面CDE,BB'∥AA'. 法二：设点A在平面CDE上的射影为A',则 连接A'G,B'G,因为A'GC平面CDE,B'GC A'∈DE 平面CDE, 因为CD=8,CE=6,∠DCE=90°，且由三棱 所以AA'⊥A'G,AA'⊥BG, 锥A-BDE的体积为20，B,F分别为AG,CG 所以G,B′，A'共线 的中点可知四棱锥A-CDGE的体积为80，四 又B为AG的中点，故B'为AG的中点. 边形CDGE的面积为48，所以AA'=5. (8分) 如图，以C为坐标原点，CD,CE的方向分别 过点B'作DE的垂线，垂足为点H,连 为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系， 接BH. 则C(0,0,0),D(8,0,0),E(0,6,0), 因为BB'⊥平面CDE,DEC平面CDE, 所以DE=(-8,6,0) 所以BB'⊥DE, 又BB'∩B'H=B',BB',B'HC平面BB'H, 由A∈DE,可设Ae,6子a,o0） 所以DE⊥平面BB'H. 因为BHC平面BB'H,所以DE⊥BH, 则Aa,6-a,5, 则∠BHB'是二面角B-DEG的平面角. 所以AA=(0,0,5). (9分) (10分) 设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,之1)， 因为CD=8,CE=6,∠DCE=90°，且由三棱 锥A-BDE的体积为20，B,F分别为AG,CG 则m·D=0， 即厂8x1+6y1=0, m·AA=0,5z1=0. 的中点可知四棱锥A-CDGE的体积为80，四 边形CDGE的面积为48， 令x1=3,得y1=4,z1=0,则平面ADE的一 个法向量为m=(3,4,0). 所以AA'=5,BB'=AA'= 2 设平面BDE的法向量为n=(x2,y2,z2), 24 易知点G到DE的距离为号，且B'为A'G的 成=-（合3-含，2） 中点，故B'H= n·Di=0, 5, (12分) 则 n·Fi=0, 所以tan∠BHB'= BB′25 B'H24 (13分) 8x2+6y2=0, 即 1 因为平面ADE⊥平面CDE, 所以二面角A-DEB的平面角与二面角B 2 DEG的平面角互余， 令x2=3,得y2=4,之2= 5,则平面BDE 放二面角ADEB的正切值为器 (15分) 的一个法向量为n=(3,4,一2) (12分) 。4· ·数学· 参考答案及解析 故 m·n 当NF?⊥x轴时，|NF2|=|AF2|=3,则 cos〈m,n〉= mn △AF2N是等腰直角三角形，且易知 3×3+4×4 25 V9+16×,9+16+25 576 √1201 ∠MF,A=∠NF,M- 如图，当NF2不垂直于x轴时，直线NF2的 24 所以sin(m,n〉= (14分) 2k W1201 斜率为25，故an∠NF,A= 知二面角A-DEB为锐角，故其正切值为) (10分) 因为tan∠MF2A=k, (15分) 2k 所以tam2∠M,A=名21-tan∠NF,A, 所以∠NF2A=2∠MF2A,∠MF2A= ∠NF2M. (12分) 因为PF1∥MF2, 所以∠F2F1P=∠MF2A=∠NF2M= x ∠F2PF1, 18.(1)解：设F2(c,0)(c>0),则|F1F2|=2c= 所以|PF2|=|F1F2|=4,为定值，(14分) 4,故c=2. (1分) 所以点P在以F2为圆心，4为半径的定圆 因为直线1：x=号被C的两条渐近线藏得的 上，其方程为(x-2)2十y2=16, 线段长为5，放日=3。 故点K(0,2√3)在该圆上，∠F1PK= (3分) 2∠F,F2K= 6 (17分) 又c2=a2+b2,故a=1,b=√3， (4分) 所以C的方程为x-号-1 (5分) (2)证明：设C的左顶点为A,则A(一1,0)， 故直线x=2为线段AF:的垂直平分线， 所以可设MA,MF2的斜率分别为k,一k, 故直线AM的方程为y=k(x+1). [y=k(x+1), 联立 2、y2 得(3-k2)x2-2k2x 31, k2-3=0, (7分) 19.(1)解：根据题意得f'(x)=e2-1.(1分) 则3-2≠0，且△>0. 当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 设N(x1y1), 当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 则-x1-63=3+: 故f(x)≥f(0)=1+lna-a. (3分) =3-k2x1-3-2, 由题意知1+lna-a≥0. 即N点兰) (8分) 令p(x)=1+lnx-x,则p'(x)=1- ·5· 打靶卷 ·新高考版· 当0<x<1时，g'(x)>0,p(x)单调递增； 则kx)=e-1-士+>-1-+ 当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减， 所以p(x)≤p(1)=0. 是--0+是--11->0， 由题意知p(a)=0,a=1. (5分) 所以k(x)在区间(1，+∞)上单调递增， (2)证明：由(1)可知，若f(x)有两个零点 所以当x>1时，k(x)>(1)=0, x1,x2,则a>0,且a≠1， 故f(0)=1-a+lna<0,x1,x2一个小于0， 所以当0<a<1时，>1，（日）>0， 一个大于0. (6分) 由x1<0<x2,得-x1>0. 即f(a-1>0=fx). 由(1)可知，f(x)在区间(0，十∞)上单调 又f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 递增， 所以<台-1 故比较一x1与x2的大小等价于比较(-x1) 与f(x2)=f(x1)=0的大小. (7分) 综上，min(Iz,,lxa<maxa-1后-： As(x)=f(x)-f(-x)=e*-e*-2x, (12分) x<0, (i)Q2+1 则s'(x)=e十ex-2>0,s(x)单调递增， aa-i-1-+2 aa-1' 故s(x)<s(0)=0, a2+ 2a a-1 =a-1 a-1 即f(x2)=f(x1)<f(-x1), 故x2<-x1x1十x2<0 (8分) 当<0<时，x-引-(，2) (i)由上可知，若x1<0<x2,则min{|x1l, |x2}=x2,命题等价于证明当a>1时，x2< 只需证明1-+2“。<-< a-1当0<a<1时x<日-1 1+1-a' 当a>1时，f(a-1)=ea-1+1-a+lna 故只带证明1-a<x1<}-1,且1-< a=e-1+1-2a+In a. x2<a-1. 令m(x)=e-1+1-2x+lnx,则m'(x)= e1-2+日，易知当x>1时，m(x)>x+ 故当a>1时，只需证明f(x)在区间(1一a, 1-2>0,m(x)单调递增，故f(a-1）= 日-)1-是a-1)上各恰有-个零点。 由(1)可知，f(x)在区间（一∞，0）上单调递 m(a)>m(1)=0, 减，在区间(0，+∞)上单调递增， 所以当a>1时，x2<a一1. (10分) 故当a>1时，只需证明f1-a)>0,f(d 当0<a<1时f(日-=e+1- <0,f(1-&)<0,fa-1D>0. 1n1-a. 又x1十x2<0,根据对称性，只需证明f(1 a)>0,f(1-a）<0. (14分) 6 ·数学· 参考答案及解析 f(1-a)=e-a-1十lna,令g(x)=e-- 则)=-e+1+3当0<<1 1+lnx,则g(x)=-e-+1 -xe-+1 时x)=-e+1+(-1)>-e+ 令h(x)=-xe2-x+1,则h'(x)=(x-1)· 1+1=e+是-ge) x e-x,当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 由上可知，当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单 hr)>h(1)=0,g'(x)=h>0,g(x)单 调递减，h(x)>h(1)=0, x 故t'(x)>0,t(x)单调递增， 调递增，f(1-a)=g(a)>g(1)=0.(15分) 所以f1-)=(日)<41)=0.16分) 1-）=e--1+-n-a, 令x)=e-1+z-lhx 综上×引告a分州 。7姓名 准考证号 绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（三） 注意事项： 1.本试卷共8页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓 名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号 填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答 非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量a=(1,一2)，b=(一2，λ)，若a∥b,则入= A.-1 B.1 C.-4 D.4 2.已知a,6∈R,则“ab≤0”是“分≤0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数f(x)=sin(x十p)(Ip<)的图象向右平移个单位长度后关于y轴 对称，则p= A.6 B. c. n. 数学试题（三）第1页（共8页） 轮轮清。打靶卷 4.记等差数列{an}的前n项和为Sm,若S?=49,a7=13,则a10= A.16 B.19 C.22 D.25 5.某机床生产车间从生产的零件中随机抽取20个零件，测得这20个零件的外 径尺寸x:(i=1,2,3,…,20),并计算得方差为0.2，x+x十x号+…十xo= 2004,则这20个零件外径尺寸的平均数为 A.8 B.9 C.10 D.12 6,已知椭圆C+1a>b>0)的左、石焦点分别为P,F,上顶点为B 直线BF1与C的另一个交点为P,且|PF1:IPF2=1:5,则C的离心 率为 A司 B.2 D. 2 7.已知表面积相同的圆锥与球的体积之比为1：√2，则该圆锥侧面展开图圆心 角的大小为 π A.3 B. 3x 4 D.2 π C.π 8.已知点I为△ABC的内心，AB=4,AC=5,BC=6,则AI= A.2 B.√5 C.7 D.3 轮轮清打靶卷 数学试题（三）第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知z=1十i,则 A.z|=√2 B.z一z=2 10.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,1)对称，则 A.f(x十1)是奇函数 B.f(x)是周期函数 C.f(1)+f(2)=f(6)+f(7) D.罗f)=2025 11.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，设OA=a, OB=b,OC=c,OD=d,则下列结论正确的是 A,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱 B.若AB⊥CB1,则d=A1O+C1D1 C.若a·c=b·d,则点A,B,C1,D1共面 D.若a·b+c·d=a·d十b·c,则AC⊥BD1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设集合A={0,1},B={x|lgx+a|<0},若A二B,则实数a的取值范 围是 13.C。+C1。+…+C8的值为 .(用数字表示) 14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx十1的所有零点都不大于1，则(a+1)2十 (b+3)2的最小值为 数学试题（三）第3页（共8页） 轮轮清。打靶卷 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 已知数列{an}满足a1=2,2an一am+1=n一1. (1)证明：{am一n}是等比数列； (2)求{am}的通项公式； (3)记Sm为{am}的前n项和，求Sm 轮轮清打靶卷 数学试题（三）第4页（共8页） 16.(15分) 某机构为了解不同性别的消费者的购物习惯（倾向网上购物或倾向实体店 购物)，现随机对600位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 购物习惯 性别 合计 倾向网上购物 倾向实体店购物 男性 150 女性 100 300 合计 t (1)求s,t; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为不同性别的消费者的 购物习惯有差异？ (3)记女性消费者中倾向网上购物的概率为p,求p的估计值，并根据力求 3位女性消费者中倾向网上购物的人数X的分布列及数学期望. n (ad-bc)2 附：X2=a+b(c十i)(a十c)(6+d其中n=a+6+c+d. 0.05 0.01 0.001 Za 3.841 6.635 10.828 数学试题（三）第5页（共8页）】 轮轮清打靶卷 17.(15分) 如图，在多面体ABCDE中，点A,B在平面CDE的同侧，且点A到平面 CDE的距离恰为点B到平面CDE的距离的2倍.F为棱DE上一点，点A,B, C,F在同一平面内，且点F到直线AB的距离恰为点C到直线AB的距离的2 (1)证明：AC∥平面BDE; (2)若点A在平面CDE上的射影恰好在棱DE上，且CD=8,CE=6, ∠DCE=90°，三棱锥A-BDE的体积为20，求二面角A-DE-B的正切值， 轮轮清打靶卷 数学试题（三）第6页（共8页） 18.(17分) 已知双曲线C乙1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F,E,Fl=4 直线1：x=2被C的两条渐近线截得的线段长为。 (1)求C的方程； (2)过C的左顶点的直线与l在第一象限内交于点M,且与C的右支交于 点N,过点F1且平行于MF2的直线与直线NF2交于点P,点K(0,2√3)，证 明：∠F1PK为定值. 数学试题（三）第7页（共8页） 轮轮清。打靶卷 19.(17分) 已知函数f)=e-x-a十nu,定义：min6,}=,s, max{s,t)= t,s>t, 1s,s≥t, t,s<t. (1)若f(x)≥0，求a的值； (2)设f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),证明： (1)min,xz}<maxa-1,是-1： （1当a>1时+<，-名+1 轮轮清打靶卷 数学试题（三）第8页（共8页）