【轮轮清·高考模拟卷】2025年河南省高考模拟打靶卷 数学（二）

姓名 准考证号 绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（二） 注意事项： 1.本试卷共8页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓 名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号 填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答 非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.设之=1十225，则之乏十之= A.3+i B.3-i C.1+i D.1-i 2.已知全集为U,集合A,B是U的两个子集，若A∩B≠⑦，则下列运算结果 为A的子集的是 A.AUB B.(CuA)∩B C.A∩(CwB) D.CuA)U(CuB) 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c2+9=a2+3c, 则A= A. B c.3 2π D. 数学试题（二）第1页（共8页） 轮轮清。打靶卷 4.如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，B,C分别为棱的中点，则过点A, B,C的平面截该木块所得截面的形状为 A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.六边形 5.将函数y=logo.5x的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移 1个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，若f(a)=一f(b),则a十b的最小 值为 A.-4 B.-3 C.-3 D.1 2 6.子贡日：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、 善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同 学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到 的卡片是相同字的分配方案有 A.120种 B.210种 C.1440种 D.2880种 +y 7.已知椭圆℃：之人 =1(a>b>0),直线1：y=1x(k1≠0)与C交于A,B 两点，过点A作与l垂直的直线交C于另一点D,记直线BD的斜率为k2,若 怎行则C的商心率为 A局 B 3 c 6 D. 轮轮清打靶卷 数学试题（二）第2页（共8页） 8.已知定义域为R的函数f(x)满足Ha,b∈R,f(a+b)十f(a)f(b)=9ab, 且f(-3)≠0，记a,=f(n),n∈N,则下列结论错误的是 A.f(0)=-1 B.f(1)=2 C.{an}为等差数列 D.3a:=600 =1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知随机变量X~N(一1,1)，Y~N(3,1),则 A.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y) C.P(X≤1)=P(Y≥1) D.P(X≤-2)+P(Y≥2)=1 10.已知函数f(x)=cos4wx十sin4wx(w>0)的最小正周期为π，则 Aw号 B.3x∈R,f(x)=5 C.f(x)在区间[o,]上单调递减 D.f(x)的图象关于点(-不)对称 1.设0<a<b,记曲线y=（(m>0)与直线x=a,x=6,x轴所围成的封闭区域 的面积为S(a,b,m),数学家牛顿研究发现：S(1,b,m)=mlnb,S(b,a,m)= -S(a,b,m),则 A.S(32,1)=S(2,8,1) B.S(26,512,1)=12S(2,5,1) C.S(aa,65,m)<m(b-a) D.5a,6m)<受（总8） 数学试题（二）第3页（共8页） 轮轮清。打靶卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,一1)，b=(1,m),(a+2b)∥(a一b),则m的值为 13.在平面直角坐标系中，点A(一1,1)，B(2,2),动点M满足|MA|=√5|MB, 记点M的轨迹为C,直线l:x十ay=0与C交于D,E两点，若|DE引=2√7， 则a的值为 14.在三棱锥D-ABC中，△ABC是边长为√3的等边三角形，侧面DAB⊥底面 ABC,∠ADB=120°.若三棱锥D-ABC的四个顶点均在同一球面上，则该球的 表面积为 ,三棱锥D-ABC体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 甲、乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则 不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概 率分别为行，}，乙通过初试和复试的概率均为？，两人是否通过面试相互独立。 (1)求甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率； (2)设两人中被录用的人数为X,求X的分布列及数学期望. 轮轮清打靶卷 数学试题（二）第4页（共8页） 16.(15分) 在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，点N满足CN=3NA将△ABD 沿AD折起，使点B到达点B1的位置，连接B1C,如图.点M满足B1M=3MA, 二面角B1-AD-C的大小为120°. (1)证明：B1C∥平面DMN; (2)若CD=AD,求直线DN与平面AB1C所成角的正弦值. M B D B 数学试题（二）第5页（共8页）】 轮轮清。打靶卷 17.(15分) 已知函数f(x)=e-(2x十a-2)e+号4x-2. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线x十y=0垂直，求a 的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当a=4时，证明：f(x)≥ln(2x+1)-(2x+2)ex-cos2x. 轮轮清打靶卷 数学试题（二）第6页（共8页） 18.(17分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,T(4,t)为C上一点，且|TF|=4. (1)求C的方程； (2)过点T作两条相互垂直的直线分别与C交于B,D两点. (ⅰ)证明：直线BD过定点； (i)若直线TB,TD分别与x轴交于M,N两点，记△TBD,△TMN的面 积分别为SS,当MN≤5时，求的取值范围， 数学试题（二）第7页（共8页） 轮轮清。打靶卷 19.(17分) 设k∈N*,数列{Xm}共有k项，定义：若X:（i=1,2,…,k)∈(0,1]，且这 k项的和为1，则称{Xn}为“和谐数列”.记iX:=X1X2X3…Xk. (1)若等差数列(a)为“和谐数列”，a,=。,且{a共有6项，求a)的 公差； (2)若{lnan}为“和谐数列”，S。=a:,比较S。与ke的大小，并说明理由； (3)若{an}为“和谐数列”，{bn}为正项数列，证明：2a:b:≥直b. 轮轮清打靶卷 数学试题（二）第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 叁专爸亲及解折 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题·数学（二） 一、选择题 6.D【解析】先把字相同的卡片看成一组，从这 1.A【解析】由题意得之=1+i,则z=1-i,所 5组中选出一组，再从余下的4组中选2组，这 以z乏+2=(1+i)(1-i)+1+i=2+1+i= 2组中，每组各选一张卡片，最后把选出的4张 3+i. 卡片，分给4位同学，所以不同的分配方案有 2.C【解析】作出Venn图，如图，则由图可知C CCC2CA4=2880种. 正确. 7.D【解析】设A(x1,y1),D(xoy),则B(-x1, 一)，所以kA=二头，2=kD=十头 x0一x1 x0十x1 又 62=1, ·差十1，所以4·2一 3.C【解析】由b=3及c2+9=a2+3c,得b2十 c2一a2=bc,由余弦定理，得cosA= y-y1 a2a2-x6)-b2, ai(ai-xi) b2 公公2-会-周为Ax所以A=号 xo-xi xo-xi 因为直线DA与l垂直，所以k1kDA=一1.因 4.C【解析】如图，延长BC,与两条棱的延长线 分别交于E,F两点，连接AE,AF,分别交棱 为长0所以70所以会-祭因为略 于M,N两点.连接BM,CN,则五边形 1 AMBCN及内部，即过点A,B,C的截面. 所以-日故C的离心率e- 0 M - 3 B 8.D【解析】令a=-36=0,则f(-3)十 f(-3)f0=0.又f(-3)0,故1+fo)- 0,即f(0)=一1，故A正确；令a= 3,b 5.B【解析】由题意可得f(x)=logo.s(x+2) 3,则f0)+f(3)F(-3)=9×3× 1,因为f(a)=-f(b),所以f(a)+f(b)= log.5(a+2)-1+logo.s(b+2)-1=0,所以 (3)=-1.由f0)=-1,f(-3)≠0，可 log.5(a+2)(b+2)=2,即(a+2)(b+2)= 且a+2>0b+2>0.因为a+6=a+2)+ 得f()=0.令6=号，则f(a+号)=3a,所 以f(a)=3a-1,即am=f(n)=3n-1,故B, (b+2)-4≥2√(a+2)(b+2)-4=-3,当且 C正确：由a,=3n-1,可得经a:=2+59× 2 仅当a=6=一时，取到最小值。 20=610,故D错误. ·1 打靶卷 ·新高考版· 二、选择题 S(1,a“,m)=mbln b-maln a.令b=e,a= 9.BCD【解析】由题意，得E(X)=-1,E(Y)= 1,S(a,b°，m)=me,m(b-a)=m(e-1), 3,故A错误；又D(X)=1,D(Y)=1,所以 而me>m(e一1)，故C错误；对于D,如图，设 D(X)=D(Y),故B正确；因为两个正态分布对 应的正态密度曲线关于直线x=1对称，所以 直线x=a,x=6分别与曲线y-(m>0) P(X≤1)=P(Y≥1)，故C正确；由对称性，得 交于A,B两点，与x轴交于D,C两点，则梯 P(X≤-2)=P(X≥0)=P(Y≥4)=P(Y≤2)， 形ABCD的面为T=(g+若)-a) 所以P(X≤-2)+P(Y≥2)=P(Y≤2)+ P(Y≥2)=1，故D正确. 受（-），由图可知，S(a,bm)<T- l0.ACD【解析】f(x)=-cos'wx十sin'wx=1 200 in'a sin21 or))=及+日cosa图为fe)的最小 正周期为x。>0,所以语=x:解得。= 1 放A正确，f）-圣+m2x.因为cos2≤ D 1,所以了x)≤1.而>1，故B错误：当xE 三、填空题 [0,2]时，2z∈[0，]，f(x)单调递减，故C正 12.-2 【解析】因为a=(2,-1),b=(1,m), 所以a+2b=(4,2m-1),a-b=(1,-1- 确；令2=kx十分k∈乙，得x 2十4，k∈ m).因为(a+2b)∥(a-b),所以2m-1= Z.令k=一2，可得f(x)图象的一个对称中心 4-1-m),解得m-一 为点(-)放D正确 1&-1或一号【解折】设M,y则由MA1= 1.AD【解析】对于A,s(22,1)=S(1,2,1)+ √3|MB|,得(x+1)2+(y-1)2=3(x-2)2+ s(2l,1-ln2-lh2=2n2,s2,81D= 30y-20,化简整理得(x-2)°+(-)' S(1,8,1)-S(1,2,1)=ln8-ln2=2ln2,所以 只周心为c(名，引径为r= .设圆心 S(22,1=S(2,8,1),故A正确：对于B, 到直线l:x十ay=0的距离为d,则d= S(26,512,1)=S(1,512,1)-S(1,26,1)= h50-h2z-6h2s,51=151》 + .因为|DE|=2√7，所以d2=r2- V1Fa S1,21D=h5-lh2=n2,12s(2,5,1)= 7 5 2+2a √2 ,解得a= 6h25所以s(2,5,1)≠12s(25,1),故B 7=2,所以d √1+a2 2 47 错误；对于C,S(a,b,m)=S(1,b,m)- -1或a= 231 ·2· ·数学· 参考答案及解析 传（2分)【解桥】如因①，设 乙通过初试且没有通过复试的概率为P2 14.5π(3分) (4分) △ABC,△DAB的外接圆的圆心分别为O1, 5×1-) O2,半径为r1,r2,三棱锥D-ABC的外接球 所以P(A)=1-(1-P1)(1-P2)=1- 的球心为O,半径为R,取AB的中点为E,连 1-)×1-)=正 接EO1,E02,O01,OO2,AO1,AO2,AO.在 即甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通 △ABC中，由正弦定理，得2r,=sn60 √3 =2, 过复试的概率为2 (5分) 即r1=1,同理可得r2=1.因为侧面DAB⊥ (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2. 底面ABC,EO2⊥AB,所以EO2⊥底面 (6分) ABC,所以EO2⊥EO1.由外接球的性质可得 OO1⊥底面ABC,OO2⊥侧面DAB,所以四 甲被录用的概率为号×号一号 12 边形OO1EO2为矩形.在Rt△OO2A中， 乙被录用的率为×号， R2=r2+002=r3+0E2=r3+r-AE2, 因为AE-所以R=,所以球0的表 所以PX=0)=(1-号)×(1-)=豆 面积为5π.设三棱锥D-ABC的高为h,过D PX==1-)x号×(1-)-0 作DH⊥AB于点H,由面面垂直的性质可 P(X=》=号x (9分) 得，DH⊥底面ABC,即DH为三棱锥 D-ABC的高.△DAB及其外接圆如图②所 则X的分布列为 示，由图可知，当D位于劣弧AB的中点时，h X 0 1 2 最大，最大值为？，所以三棱锥D-ABC体积 7 13 1 12 36 18 X3X1_3 的极大值为v-号× (11分) 2-8 D ECX)=0X7-1×号2X8-013分) 16.(1)证明：因为CN=3NA,B1M=3MA, 所u哈、州-日 -0 所以MN∥B,C. (3分) O 因为MNC平面DMN,B,C丈平面DMN, ① ② 所以B1C∥平面DMN. (5分) 四、解答题 (2)解：因为AB=AC,D为BC的中点， 15.解：(1)记“甲、乙两人至少有1人通过初试且 所以AD⊥BC. 没有通过复试”为事件A, 将△ABD沿AD折起后，AD⊥CD,ADI 甲通过初试且没有通过复试的概率为P1 B1D,所以∠B:DC是二面角B1-AD-C的平 面角. ×(1-3)= (2分) 因为二面角B1-AD-C的大小为120°， ·3· 打靶卷 ·新高考版· 所以∠B1DC=120°. (7分) 令g(x)=e2-x,则g'(x)=e-l. 因为CD∩BD=D,CD,B1DC平面B1CD, 当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0,g（x)单调 所以AD⊥平面B,CD, (8分) 递减； 以D为坐标原点，DC,DA所在直线分别为 当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调 y轴、之轴，建立空间直角坐标系，如图. 递增， 所以g(x)≥g(0)=1>0, 即e-x>0. (5分) ①当a≤0时，2e-a>0,f'(x)>0,f(x)在 R上单调递增， (6分) B D ②当a>0时，由2e-a>0,得x>ln2;由 2e-a0,得x<n分， 不妨设CD=AD=4,则D(0,0,0),C(0,4, 所以当x∈(n分，+∞)时，f(x)单调递增； 0),N(0,1,3),A(0,0,4),B1(23,-2,0), 所以DN=(0,1,3),AC=(0,4,-4),B1C= 当x∈(-∞，ln）时，f(x)单调递减。 （-23,6,0). (10分) (8分) 设平面AB,C的法向量为n=(x,y,z), 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 则”·a花-0，n4-4e=0. 即 当a>0时，f(x)在区间(n2,+）上单调 n·B1C=0,-23x+6y=0. 令y=1,得x=√3，之=1， 递增，在区间(-∞，ln)上单调递减.(9分) 所以平面AB1C的一个法向量为n=(W3,1,1). (3)证明：当a=4时，要证f(x)≥ln(2x+1)- (12分) (2x十2)e-cos2x, 设直线DN与平面AB,C所成的角为O, 只需证e2x+2x2-2≥ln(2x+1)-cos2x, 则sin0= IDN·nl22 1DN1n15' (14分) 即证e2x+2x2-2+cos2x≥ln(2x+1), 由(2)得e≥x+1,即x≥ln(x+1), 所以直线DN与平面AB,C所成角的正弦值 即2x≥ln(2x+1),需先证e2x+2x2-2十 为 (15分) cos2x≥2x. AF(x)=e2*+2x2-2+cos 2x-2x, 17.(1)解：由题意得f'(x)=2e2x-(2x十a)e2+ (1分) 则F'(x)=2e2x-2sin2x+4x-2.(11分) ax, 则f'(0)=2-a. (2分) Ah (x)=2e2-2sin 2x+4x-2, 因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线 则h'(x)=4e2x-4cos2x+4>0, 与直线x十y=0垂直， 所以h(x)在R上单调递增. 所以2-a=1,即a=1. (3分) 又h(0)=F'(0)=0, (2)解：由(1)得f'(x)=2e2x-(2x+a)e十 则当x<0时，h(x)=F'(x)<0; ax=(e-x)(2e-a), 当x>0时，h(x)=F'(x)>0, 。4 ·数学· 参考答案及解析 所以F(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区 -2 间(0，十∞)上单调递增， 则krB= y1-28 x1+4 x1-4x1-4 8 故F(x)≥F(0)=0, x2+4 则e2x+2x2-2+cos2x≥2x成立.(14分) 同理可得krD= 8,kD=十x2 8 综上，f(x)≥ln(2x+1)-(2x+2)e-cos2x. (15分) 由TBLTD,得km·n=西，十4.：十4 8 8 18.(1)解：因为点T(4,t)在C上， -1, 所以pt=8. (1分) 整理得x1x2+4(x1十x2)十80=0①. 因为TF=4,所以1+号-4， (2分) (6分) 直线BD的方程为y一y1-十(x一c), 则p4-号)-8，解得力=4， 8 所以C的方程为x2=8y. (4分) y-y:=1(x-x), 8 (2)(ⅰ)证明：法一：由题意知直线BD的斜 率存在，T(4,2). 两式相加得2y-(y十y)=1十2[2z 8 设直线BD的方程为y=x十m,B(x1,y1), (x1十x2)], D(x2,y2), 即2y=1十2.2z-士x:)+i十z 联立/2=8y, 8 8 8 y=kx十m, 得x2-8kx-8m=0, 即y=1十4x- 8 8 则△=64k2+32m>0,x1十x2=8k,x1x2= 由@得y有 -8m, 8[4(x1+x2)+80]= y1+y2=k(x1十x2)+2m=8k2+2m,y1y2= x+2(x十4)+10， (9分) (x1x2)2 =m2, (6分) 64 故直线BD过点（一4,10） (10分) Ti=(x1-4,y1-2),Ti=(x2-4,y2-2), (i)解：设B(x1,y1),D(x2,y2),易知直线 所以Ti.Ti=(x1-4)(x2-4)+(y1-2)· TB和TD的斜率均存在且不为0，设直线 (y2-2)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2 TB的方程为y-2=k1(x-4),直线TD的 2(y1+y2)+4=m2-12m-16k2-32k+ 方程为y-2=k2(x-4), 20=0, 此时=-1.M4忌0）N4+20,0, 解得m=2-4k或m=10+4k. (8分) 当m=2-4k时，直线BD的方程为y=k(x 则1MN1=2:+引 4)+2,过点T,不符合题意，舍去； 当m=10+4k时，直线BD的方程为y= 由1MN≤，得：∈[-2，-2]U[22], k(x+4)+10,恒过点(-4,10) (12分) 综上，直线BD过定点(-4,10). (10分) 法二：由题意知T(4,2),设B(x1,y1), 、得x2-8k1x-16+ D(x2,y2), 32k1=0, ·5· 打靶卷 ·新高考版· 由△=64k-4(32k1-16)>0,得k1≠1， 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 同理-房1，所以≠士1， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调 递减， 则xT=4,x1=8k1一4， 所以f(x)≤f(1)=0, 同理可得x2=8k2一4， 即lnx≤x-l. (6分) 所以x1+x2=8(k1十k2)-8,x1x2=-48 要证Sk≥ke, 32(k1+k2), |(4-xM)(4-xN)|=4, (14分) 只张证（爱）广≥6， 由题意得-ITB1TD S2TMITNI 即证（会）广≥aa,aga =4-w4- 4-x11|4-x2 只亚… ak∠1， |x1x2-4(x1+x2)+16 (4-xM)(4-xN) ，kai∠0. 只需证n智 =16(-)川 因为1h经会-1， 因为y=1一名在：∈[-2，一]和：∈ 所以n≤含--，=0 [分2]上均单调递增， 得证 (10分) 13 (3)i证明：要证2ab,≥6， 只需证1n之a,b,≥n直6， 又k1≠士1， 即16(1-)∈[-24,0U0,24, 即证1n名a6,≥克a,ln6r. (12分) 因为(an}为“和谐数列”， 所以e0,20 (17分) 所以2a:=1, -1 19.(1)解：设{an}的公差为d,由题意得S6-1. 所以只需证(a:十a十…十a:)ln之a.6:≥ (1分) 因为a)是等差数列，a,-日 a:In bi = 所以6×号+d=1,解得d= 设A=空a,只需证之，lh会≤0.14分) i-1 i-1 ,(4分) (2)解：S≥ke,理由如下： bs∠一1 因为lnAA 因为{lnan}为“和谐数列”， biabi 所以lna1十lna2+…十lna.-l, 所以a:lnA≤A-a, 即a1a2a3…ak=e. (5分) 所以，-a小=1-1=0 令f(x)=lnx-x+1, 则f(x)=1-1=1-x 所以2a:b≥ib. (17分) ·6