第二十九章 直线与圆的位置关系（复习讲义）数学冀教版九年级下册

第二十九章 直线与圆的位置关系（复习讲义） 1. 理解并掌握点与圆，直线与图的位置关系.点与圆、直线与圆分别有三种位置关系，它们是如何分类的？怎样用圆心到点或直线的距离d与半径r之间的数量关系来描述这三种位置关系？ 2.理解并掌握切线的性质和判定定理.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线长定理：过外一点所画的圆的两条切线的切线长相等 3.理解并掌握正多边形与圆的关系。通过等分圆可以画圆的内接正多边形，回顾用尺规作圆的内接正方形和内接正六边形的方法，思考如何作圆的内接正八边形和正十二边形. 知识点一 点和圆的位置关系 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上. 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部. 知识点二 直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交 知识点三 切线的性质及判定 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 知识点四 正多边形和圆 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念： 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型一 判定点和圆的位置关系 【例1】 （2025九年级下·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【变式1-1】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）点是内一点，的半径为，点到圆心的距离为，通过点，长度是整数的弦的条数是 条． 【变式1-2】 （24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【变式1-3】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得． (1)求的长； (2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时， ①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离； ②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由． 题型二 点和圆上点的最值问题 【例2】 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【变式2-1】 （24-25九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，点F为的中点，，，D是上的一个动点，连接，过点C作于E.连接，，则的长度是 ，的最小值是 . 【变式2-3】 （2024·河北邯郸·二模）水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； (2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）． 题型三 判断直线和圆的位置关系 【例3】 在中，，，，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是 ． 【变式3-1】 （24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【变式3-2】 （24-25九年级上·河北邯郸·期末）若⊙的半径为4，圆心到直线的距离为，是方程的根，请写出直线与圆的位置关系，并说明你的理由． 【变式3-3】 （23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在矩形中，，以的中点为圆心，的长为直径，在上方作半圆，动点以每秒个单位长度的速度从点向点运动，动点以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，两点同时停止运动，运动时间为秒． (1)当时，__________，此时所在的直线与的位置关系为__________（填“相交”“相切”或“相离”）． (2)如图，当点运动至点处时，与半圆交于点，连接． ①求证：． ②求弦的长． (3)如图，为的中点，过点作，当时，与交于点．请判断点的位置是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出的长． 题型四 证明切线 【例4】 如图，的直径为，弦为，D，E分别是的平分线与，的交点，P为延长线上一点，且． (1)求的长; (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-1】 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是的外接圆，AB是直径，AC是的弦，，AC平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式4-2】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． (1)求证：是的切线． (2)连接交于点，若，，求弧的长． 【变式4-3】 已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 题型五 切线的性质定理 【例5】 （24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】 （24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，与相切于点B，连接并延长后交于点A，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （2024·河北·一模）中国铁路的转弯处可以抽象为以下模型，如图，若和都是扇形的切线，为，，则可以求的长是 . 【变式5-3】 如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型六 切线的性质和判定的综合应用 【例6】 如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】 （24-25九年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为 ，连接并延长交于G，则的最大值为 ． 【变式6-2】 （24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式6-3】 （2024·河北·模拟预测）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． 题型七 应用切线长定理求解 【例7】 如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】 （24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较a与b的大小 【变式7-2】 （24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知是的内切圆， （1）若，则 °； （2）如图，若与边相切于点P，且，，，则 ． 【变式7-3】 （24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 题型八 内切圆半径问题 【例8】 如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式8-1】 （云南·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(    ) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【变式8-2】 （24-25九年级上·河北承德·期末）如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为___________（结果保留π）（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【变式8-3】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为 ． 题型九 内心应用 【例9】 （24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】 （24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为 ． 【变式9-3】 （24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，为的中点，与半圆相切于点． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，点是的内心，点与点之间的距离是2，则半圆的半径是______． 题型十 外接圆内切圆综合 【例10】 （24-25九年级上·河北邯郸·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（  ） A．1. 5，2.5 B．2，5 C．1， 2.5 D．2，2.5 【变式10-1】 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 【变式10-2】 （24-25九年级下·河北承德·阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【变式10-3】 如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 题型十一 圆与三角形结合 【例11】 如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 【变式11-1】 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．    (1)求证：． (2)若，，求半径的长． 【变式11-2】 如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【变式11-3】 如图，已知是的外接圆，是的直径，且C是的中点，延长到E，且有． (1)求证：是的切线； (2)若，，求； (3)在（2）的条件下求圆的直径． 题型十二 圆与四边形结合 【例12】 （24-25·江苏南京·一模）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且． (1)当时，上存在点，使与相似，求的长度． (2)如图②，当时．用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点．（不写作法，保留作图痕迹） (3)对于每一个确定的的值，上存在几个点，使得与相似？ 【变式12-1】 （24-25·河北唐山·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上的动点（不与、重合），以点为圆心在下方作半径为2的半圆，交于点、．    （1）当半圆过点时，求半圆被边所截得的弓形的面积； （2）若为的中点，在半圆移动的过程中，求的最小值； （3）当半圆与矩形的边相切时，求的长． 【变式12-2】 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB； （2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长． 【变式12-3】 （24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，，点O在AB的延长线上，，．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作．设P的运动时间为t秒． (1)______，PA的最小值是______； (2)当过点C时，①求证：与BC相切；②求扇形OPC的面积； (3)当与矩形的边所在直线相切时，直接写出t的值． 题型十三 圆与多边形结合 【例13】 （2025·河北·一模）正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】 （2025·河北邯郸·三模）古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】 （25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图①，正六边形边长为4且各有一个顶点在直线上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图②，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图②中： （1） 度； （2）中间正六边形的中心到直线的距离为 ．（结果保留根号）． 【变式13-3】 （2025·河北唐山·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如果圆O的直径为8cm，点P到圆心O的距离为5cm，那么点P与圆O的位置关系是（    ） A．点P在圆O外 B．点P在圆O上 C．点P在圆O内 D．不能确定 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）在中，，，以A为圆心2.5为半径作圆．下列结论中正确的是（    ） A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，的直径的延长线与过点B的切线相交于点D，点C为上一点，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，为的直径，C为圆上一点，为的内心，交于D，于，连接，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为 cm． 7．（2025·河北邯郸·二模）如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在弧上且不与点重合，但点可与点重合． ①发现：为定值， ； ②思考：点与的最大距离为 ，点与的最小距离为 ． 9．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，，的半径为3，当圆心O与点C重合时，与直线的位置关系为 ；若从点C开始沿射线移动，当 时，与直线相切． 10．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，有两点同时、同速从中点出发，点沿方向运动，点沿射线方向运动，后，两点与多边形中心的连线及多边形（延长线）所围成图形如图所示（阴影部分），两部分的面积分别为，若，则 （用含的代数式表示）． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、． (1)写出圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）． 12．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF． （1）求AC的长； （2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长； （3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围． 13．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知为的直径，为的一条弦，是外一点，且，垂足为，交于点和点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：是的切线； （3）连接，若，． ①设，用含的代数式表示； ②求的半径． 14．（24-25·河北·二模）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C、D重合），连结AP交半圆于F，连结BP、BF，如图甲所示． (1)当时，图甲中有几对全等的三角形？将其表示出来． (2)P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图乙中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由． 15．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 能力提升进阶练 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）的半径为，点与点的距离为，点的位置（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为5，点O到直线l的距离等于3，则与直线l公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北衡水·期末）如图，已知点A，B在上，，直线与相切，切点为C，且C为弧的中点，则等于（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 7．（2025·河北石家庄·三模）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为 ． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是 ． 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ． 10．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为 ． （2）点之间的距离的最小值为 ． 11．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 12．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，中，，以为直径的半圆交于点，于点． （1）求证：为半圆的切线； （2）若，，求的长． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，点为边上一点，，以为圆心、长为半径作圆，交于点，恰好与对角线相切于点，作弦，与交于点． (1)求矩形对角线的长； (2)求弦的长． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，点是上一点（不与点A，重合），连接，过点作，交射线于点，经过点，，在下方作半圆．    (1)当取最小值时，求的度数； (2)当时，求（答案保留）； (3)设半圆的半径为，则为何值时，半圆与相切？ 15．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点． (1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形； (2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3） (3)已知是上的动点（点不与点A，重合）． ①连接，，求的度数； ②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章直线与圆的位置关系（复习讲义） 单元目标聚焦，明核心 1. 理解并掌握点与圆，直线与图的位置关系点与圆、直线与圆分别有三种位置关系，· 它们是如何分类的？ 怎样用圆心到点或直线的距离d与半径r之间的数量关系来描述这三种位置关系？ 2理解并掌握切线的性质和判定定理切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线长定理：过外一点所画的圆的两条切线的切线长相等 3理解并掌握正多边形与圆的关系。通过等分圆可以画圆的内接正多边形，回顾用尺规作圆的内接正方形和 内接正六边形的方法，思考如何作圆的内接正八边形和正十二边形 知识图谱梳理因基础 点在圆内 点在圆上 点与圆的位置关系 点在圆外 直线与圆相交 切线的性质 圆 直线与圆相切 切线的判定 直线与圆的位置关系 切线长定理 直线与圆相离 圆内接正多边形 正多边形与圆 尺规作圆内接正四正六边形 1/91 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析•夯重点 知识点一点和圆的位置关系 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d>r台点P在⊙0的外部. 点在圆上 点在圆周上 d=r曰点P在⊙O的圆周上. 点在圆内 点在圆的内部 d<r台点P在⊙O的内部. 知识点二直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r,圆心0到直线的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表： 位置 图形 定义 性质及判定 关系 d>r台直线1与⊙0相 相离 直线与圆没有公共点 离 直线与圆有唯一公共点，直线叫 d=r台直线1与⊙0相 相切 做圆的切线，公共点叫做切点 切 直线与圆有两个公共点，直线叫 d<r台直线1与⊙0相 相交 做圆的割线 知识点三切线的性质及判定 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 知识点四正多边形和圆 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形 正多边形的相关概念： 2/91 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角， 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 考点题型突破·拓思维 题型一判定点和圆的位置关系 【例1】 (2025九年级河北专题练习)已知⊙0的半径为3，当0P=5时，点P与00的位置关系为() A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定 【详解】解：：®0的半径为3，当0P=5,5>3 即点到圆心的距离大于半径， ·点P在圆外， 故选：A. 【变式1-1】 (24-25九年级上河北石家庄·期中)点P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，点P到圆心0的距离为9，通过 点P,长度是整数的弦的条数是 条 【详解】解：：⊙0的半径为15，点P到圆心0的距离为9， 则过点P最长的弦是过点P的直径，长度为15×2=30； 过点P最短的弦是垂直于OP的弦，如下图： B D 则CP=BP, 此时0C=15,0P=9, R1aC0P中，CP=V0C2-0P2=12, :CP=BP=12,CD=12×2=24, 3/91 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即过点P最短的弦长度为24， 最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别为25,26,27,28,29的弦有两条， 所以过点P长度是整数的弦的条数一共有1+5×2+1=12条 故答案为：12. 【变式1-2】 (24-25九年级上·河北邢台阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,D,E分别是 AB,AC的中点，OB是以B为圆心，BC为半径的圆，判断点D,E与OB的位置关系，并说明理由. A E 【详解】解：点D在0B内，点E在OB外，理由如下： :∠C=90°，AC=4,BC=3, AB=AC2+BC2=5, D,E分别是AB,AC的中点， BD=2.5<3=BC, :点D在OB内； :∠C=90°， :BE BC, :点E在OB外 【变式1-3】 (24-25九年级上河北石家庄·期中)如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O,直径AB是河底藏 假，弦CD是水位线，CD14B.4B=20米，0ELCD于点E,此时测得sn0D正三专 D B 图1 备用图 (1)求CD的长； 4/91 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长NP为10米，高PQ为2米，当点E恰在NP中 点时， ①画出半圆O最高点H,并直接写出点H到线段MQ的距离： ②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞.并说明理由. 【详解】1)解：由题意可得：0D4B=10米， :OE⊥CD :DE=CE=CD,∠OED=90° 2 则sn<00E-8%-,则oej米 由勾股定理可得：DE=V0D2-0E2=5V5米， CD=2DE=10√5米； (2)解：①延长OE交MQ于点F,交半圆O于点H,则点H为半圆O最高，如下图： H 图1 由题意可得：EF=PQ=2米，OH=10米， 则HF=OH-OE-EF=3米， 即点H到线段MQ的距离为3米； ②根据题意可得：OF=OE+EF+1=8米，MF=NE=5米， 由勾股定理可得，0M=√MF2+0F2=√89<10 即M点在圆内，可以通过 题型二点和圆上点的最值问题 【例2】 (24-25九年级上河北唐山期末)如图，已知空间站A与星球B距离为α，信号飞船C在星球B附近沿圆 形轨道行驶，B,C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是() 5/91 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A A.a B.a-b C.a+b D.b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在AB之间时，S取到最小值，据此求解即可 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值a-b. 故选：B 【变式2-1】 (24-25九年级上·河北邢台期中)在同一平面内，已知00的半径为4，圆心0到直线1的距离为6，P为 圆上的一个动点，则点P到直线I的距离不可能是() A.2 B.6 C.10 D.14 【详解】解：如图， D 由题意得，0A=4,0B=6, 当点P在BO的延长线与OO的交点时，点P到直线1的距离最大， 此时，点P到直线1的最大距离是6+4=10， 当点P在BO与⊙0的交点时，点P到直线1的距离最小， 此时，点P到直线1的最小距离是6-4=2， 点P到直线1的距离2≤d≤10， 故点P到直线的距离不可能是14， 故选：D. 【变式2-2】 (24-25九年级上·河北石家庄·期中)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点F为AC的中点， AB=5,AC=4,D是BC上的一个动点，连接AD,过点C作CE⊥AD于E连接BF,BE,则BF的长度 是 BE的最小值是」 6/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【详解】解：连接BC, D 0 B :AB是半圆O的直径，AB=5,点C在半圆上， ∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√AB2-AC2=V52-42=3, :点F是AC的中点， Fc-号4c=2 在BCF中，由勾股定理得BF=VFC2+BC2=V22+32=√13； CE⊥AD, .∠AEC=90°， “点E的轨迹是以AC为直径的圆（圆心为4C的中点F,半径r=)4C=2, 要使BE最小，即求点B到圆F上点的最短距离， 根据几何性质，点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， 故BE的最小值为BF-r=V13-2. 故答案为：√13，V13-2. 【变式2-3】 (2024河北邯郸·二模)水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员介绍，新建摩天轮 直径为100m,最低点距离地面1m,摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的 点)，游客在距离地面最近的位置进舱。 7191 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 地面 ()小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m (②)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P,Q两点），求两人所在 座舱在摩天轮上的距离(PO的长)和直线距离（线段PQ的长）. 【详解】(1)解：如图，由题意可知QM=1m,AQ=100m, 当座舱转到点A时，距离地面最高， 此时AM=AQ+QM=100+1=101(m; 地面 M (2):圆周上均匀的安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为360 =15°， 24 :LP00=4×15°=60° :P0的长为60xx50=50r(m), 1803 如图，连接PO, :∠P00=60°且OP=OQ, ∴△OPQ为等边三角形， :Pg=0P=40=50m 2 答：两人所在座舱在摩天轮上的距离(PQ的长)为50r, 3 m,直线距离（线段PQ的长）为50m. 题型三判断直线和圆的位置关系 【例3】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以C为圆心，2.4为半径作⊙C,则OC和AB的位置关系 8/91 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 【详解】解：过C作CD⊥AB于D, 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=V32+42=5, 由三角形面积公式得：}x3×4=.x5xCD, 1 2 CD=2.4, “C到AB的距离等于⊙C的半径长， :OC和AB的位置关系是相切， 故答案为：相切. 【变式3-1】 (24-25九年级上·河北期中)如图，在矩形ABCD中，BC=6,AB=2,⊙0是以BC为直径的圆，则 直线AD与O0的位置关系是 D B C 【详解】解：根据题意BC为⊙O的直径，BC=6, 00的半径为3 又：AB=2,2<3, :则直线AD与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交 【变式3-2】 (24-25九年级上·河北邯郸期末)若⊙0的半径为4，圆心到直线1的距离为d,d是方程x2-2x-5=0的 根，请写出直线1与圆0的位置关系，并说明你的理由. 【详解】解：相交，理由如下： :x2-2x-5=0, 解得：x1=1+V6,x2=1-V6; 9/91 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :圆O的半径为4，圆心到直线1的距离为d,d是方程x2-2x-5=0的根， r=4,d=1+6, 4<6<9, 2<6<3, .3<V6+1<4,即3<d<4, .r>d, :直线1与圆0的位置关系是相交. 【变式3-3】 (23-24九年级上河北廊坊·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,以BC的中点O为圆心，BC 的长为直径，在BC上方作半圆O,动点M以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，动点N以每秒2 个单位长度的速度沿折线A-D-C向点C运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，两点同时停止运动， 运动时间为t秒. D D E BO C B O CN)B O 图1 图2 图3 (I)当MN∥BC时，t= 此时MW所在的直线与⊙O的位置关系为 （填“相交“相切” 或“相离”). (2)如图2，当点N运动至点C处时，MN与半圆O交于点P,连接BP. ①求证：∠BMC=∠PBC. ②求弦PC的长. (3)如图3，E为AB的中点，过点E作EF∥BC,当2<t≤3时，MN与EF交于点Q.请判断点Q的位置 是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出Q的长， 【详解】(1)解：由题意可得，AM=4-t,DN=2t-2, 当MN∥BC时，AM=DN, 4-1=21-2, 解得t=2, 10/91