2.1.1 直线的倾斜角与斜率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率概念及过两点的斜率公式，课堂导入从确定直线的几何要素切入，先回顾两点确定直线，再推导一点和方向确定直线，搭建从几何直观到代数刻画的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以向量为工具推导斜率公式体现数学抽象，通过倾斜角与斜率关系结合正切函数单调性培养逻辑推理，用坐标计算实现数形结合的数学表达。含例题及课堂巩固题，注重概念形成过程，帮助学生发展核心素养，教师可高效开展教学。

2.1.1 倾斜角与斜率 人教A版（2019）选择性必修一 学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，体现数学抽象能力（重点） 2.掌握倾斜角和斜率之间的关系，体现逻辑推理能力（重点） 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，体现数学计算能力（重难点） 1 新课导入 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线 l（如右图），如何利用坐标系确定它的位置？ O x y l 1.两点确定一条直线 2.一点和一个方向确定一条直线. 我们知道一点和一个方向确定一条直线可以由两点确定一条直线推导出来，下面我们来推导一下. 新课学习 3 推导一下上面的问题： 设 A，B 为直线上的两点，则 是该直线的方向向量； O x y .A .B l 两点确定一条直线 ⇔ 一点和一个方向确定一条直线 所以一点和一个方向确定一条直线可以由两点确定一条直线推导出来. 新课学习 在平面直角坐标系中，经过一点 P 可以作无数条直线 l1，l2，l3，… ，它们组成一个直线束. 观察右图说说这些直线的区别是什么？ l2 O x y .P l1 l3 l' α3 α' α2 α1 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向. 结论：各直线相对于x轴的倾斜程度不同； 即直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同. 新课学习 直线的倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角． 新课学习 观察一下上图中的角，哪些角是锐角，哪些角是钝角？ 图中直线 l1 的倾斜角α1为锐角，直线 l' 的倾斜角α'为钝角. 因此，我们有如下规定： 1.当直线 l与 x轴平行或重合时，我们规定此时直线的倾斜角为0° 2.我们规定直线倾斜角的范围为：0°≤α＜180° 新课学习 根据上面的学习，倾斜角确定的吗？什么时候直线的倾斜角是相同的？ 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向. 新课学习 下面我们用向量的方法研究直线的倾斜角. 我们设P1(x1，y1)， P2(x2，y2)（其中x1≠x2）是直线l的两点. O x y l .P1(x1，y1) .P2(x2，y2) 由两点确定一条直线可知，直线l可以由上面的两点确定,所以，可以推断出直线 l 的倾斜角 α 与 P1(x1，y1)， P2(x2，y2) 有内在联系. 下面我们来研究一下这两点与倾斜角的内部联系. 新课学习 在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为 α． (1) 已知直线 l 经过 O(0，0)，P(，1)，α 与 O，P 的坐标有什么关系？ O x y . l P (，1) 10 新课学习 (2) 类似地，如果直线l经过 P1(-1,1)，P2(,0)，α 与 P1，P2 的坐标有什么关系？ O x y P1 (–1，1) P2 (，0) α α P 新课学习 (3) 一般地，如果直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么 α 与 P1，P2 的坐标有什么关系？ x α O y P1 P2 P α x α O y P1 P2 P α 新课学习 (3) 一般地，如果直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么 α 与 P1，P2 的坐标有什么关系？ x α O y P2 P1 P α x α O y P2 P1 P α 新课学习 当直线P1P2与x轴平行或者重合时，上述式子还成立吗？为什么？ O x y P2 P1 P2 P1 新课学习 直线的斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即 直线 l 的倾斜角 α 与直线 l 上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2) 的坐标有如下关系： k＝tan α ② 新课学习 根据直线的斜率，我们对直线的倾斜角作出下面的规定： 1.直线l的倾斜角为90°的直线无意义，直线斜率不存在. 2.直线l的倾斜角不是90°的直线都有斜率. 例如，倾斜角 30°时，这条直线的斜率 k＝tan30°= 倾斜角 120°时，这条直线的斜率 k＝tan120°=-tan60°= 新课学习 当直线的倾斜角由0 逐渐增大到180 时，其斜率如何变化？为什么? 当倾斜角 α 满足 0°≤α＜90°且逐渐增大时，斜率 k逐渐增大；当倾斜角 α＝90°，斜率不存在； 当倾斜角 α 满足 90°＜α＜180°且逐渐增大时，斜率 k 逐渐增大. 由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于 90°的直线相对于 x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向． 新课学习 过两点的直线的斜率的概念 如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2) ，那么由①②可得如下的斜率公式： 我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于 x 轴的倾斜角. 新课学习 (1) 已知直线上的两点 A(a1，a2)，B(b1，b2) ，运用上述公式计算直线 AB 的斜率时，与 A，B 两点的顺序有关吗？ 计算直线 AB 的斜率时，与 A，B 两点的顺序无关，可以写为 (2) 当直线平行于 y 轴，或与 y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 当直线平行于y轴或与 y 轴重合时，上述公式不适用，此时，两点的横坐标相等，分母为零无意义. 新课学习 直线的方向向量与斜率的向量表示 (x2－x1，y2－y1) 因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则 新课学习 例1：如图，已知 A(3,2)，B(-4,1)，C(0,-1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 直线 AB 的斜率 kAB＝ ； 直线 BC 的斜率 kBC＝ ； 直线 CA 的斜率 kCA＝ ． 由 kAB＞0 及 kCA＞0 可知，直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角；由 kBC＜0 可知，直线 BC 的倾斜角为钝角． 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 120° 课堂总结 1.直线的倾斜角 2.直线的斜率 3.直线的方向向量与斜率 感谢观看 $