专题07 圆中的六大重要模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题07 圆中的六大重要模型 本专题包含圆中的六大重要模型，主要有：四点共圆模型、阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型、圆中的翻折模型、圆中的全等三角形模型、圆中的外接圆和内切圆模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（2024·安徽芜湖·一模）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 2.（24-25安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·一模）如图，内接于，将沿弦翻折到内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（  　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·浙江·专题练习）如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 7．（24-25·湖南湘西·中考模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 8．（2025·安徽·统考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 9．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 10.（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 12.（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，为半径为4的的弦，弧沿弦折叠经过圆心，点为弧上一动点，连接交于点，点为的中点，则最小值为 ． 14．（2024·贵州遵义·一模）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 15.（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 16．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务：(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径 (2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数． (3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案） 18．（24-25湖北十堰·九年级校考期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积．      19.（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 20．（2025·贵州遵义·统考三模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）； 拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由． 21．（24-25上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．       (1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______． 求证：______． 证明： (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值； (3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数． 22．（24-25·江苏·九年级期中）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 23.（24-25九年级上·湖北·期中）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 24．（24-25·江苏·九年级期中）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 　　； （2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 　　． 25.（2023·内蒙古包头·三模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 26．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 27．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，则为的中点． 下面是部分证明过程： ，，． ，．．．．．． 任务一：请将上述过程补充完整．任务二：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：．（2）若，则的长为___________． 28．（2025·江苏·二模）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 29．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是等边的外接圆． 【问题原型】如图①，连结，延长交弦于点M，交于点P，连结、．求证：； 【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下． ∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ∴，， ∴，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形，∴． 【方法应用】如图2，若P为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】如图③，若的半径为2，且P为上一点，且，则四边形的面积的是 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中的六大重要模型 本专题包含圆中的六大重要模型，主要有：四点共圆模型、阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型、圆中的翻折模型、圆中的全等三角形模型、圆中的外接圆和内切圆模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（2024·安徽芜湖·一模）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB， ∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC， CD=AB+BD=，故选：D． 2.（24-25安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，∴点A，B，C，D到点O的距离相等， ∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为的圆内接四边形，∴．故选：D 3．（2025·吉林·一模）如图，内接于，将沿弦翻折到内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，四边形内接于， ∵，∴，由折叠的性质知，故选：A． 4．（24-25九年级下·浙江·专题练习）如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设，，设弧的圆心为， 连接交于F，连接，， 由折叠得，，⊙的半径为5， ∴，∴， ，垂直平分，，∴， ∵弧与相切于点，∴，∴， ∵，∴，∴， 当时，的值最大，最大值为， 当时，的值最小，最小值为，∴．故选：C． 5．（24-25·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 四边形是圆内接四边形，，， 在和中，，   ， ， 即，，故选：C． 6.（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取，连接，，，， 是的中点，，， 和都是所对的圆周角，， 在和中，，，， 又，，，故C选项正确， 现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C． 7．（24-25·湖南湘西·中考模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 【答案】B 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分，故选：B． 8．（2025·安徽·统考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图：连接，连接交点H ∵即∴为的直径 在中，，则∴ ∵点D为的中点∴∴ 在中，，则∴ 在中，，则．故选：A． 9．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆的半径为，连接，，，，，，，，如图所示： 由题中折叠性质可知， ，， ，，， 在等腰中，，则由勾股定理可得，， 如图④所示：，．故选：． 10.（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，在中，，， ， 点分别是和的中点，，，，， ，，=AG， ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴，∵， ∴，是直角三角形，且， ，， 在和中，，，， ，∴．故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】在中，由勾股定理得：． 如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点， 则点在以点为圆，为半径的圆上． 又，∴点四点共圆．∴． ∴． 在中，由勾股定理得，，即，解得：． 在中，由勾股定理得： 当点共线时，最大，则的最大值为．故答案为． 12.（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为， 由折叠的性质可得，∵，∴，     ∵，∴，∴，∴， ∵，且为直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 13．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，为半径为4的的弦，弧沿弦折叠经过圆心，点为弧上一动点，连接交于点，点为的中点，则最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，，，作交于点G．连接，． 由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心，，，， ，，， ，， ，是等边三角形， 是中点，， 又，是中点，即是斜边中线， ，即点在以为直径的圆上运动． 所以，当、、在同一直线时，长度最小，此时，，， 的半径是4，即，，（勾股定理）， ．故答案为：． 14．（2024·贵州遵义·一模）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心，∴垂直平分，∴，∴， ∴为等边三角形，∴，∵，∴，， ∴，∴， ∵，，∴是的中位线， ∴，∴，即的半径长是．故答案为：． 15.（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【详解】解：如图，连接 ∵∴，∴，而， ∴点E为弧的中点，即，∴， ∵，∴，∴．故答案为：60． 16．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务：(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为(2)1 【详解】（1）解： ， 又的周长的一半，的内切圆的半径． （2）解：如图，连接和， 在中，，， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径．； 又为的内切圆，，， ， 四边形是正方形，．故答案为：1． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径 (2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数． (3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合，∴，在中，，即，解得； （2）如图2，连接BC，∵AB是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴，∴，∴； （3）如图3，过C作于G，连接OC、BC， ∵，，∴，⊙O的半径为，由（2）知：， ∵，∴，∴，∴， ∴，， 中，， 中，，则AC的长为．故答案为：． 18．（24-25湖北十堰·九年级校考期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．      (1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）连接，∵D是的中点，∴， ∵，∴，∵为的半径，∴直线是的切线； （2）连接，作于点H，    设的半径为r，则， ∵，∴，解得， ∴，，∴． ∵，∴，∴， ∴的面积． 19.（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接， ∵，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即； 小华同学：连接，则由圆周角定理得， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，∴，∴； 小刚同学：连接，∵，∴，∴，即， ∴，即，∴； （2）解：连接，过点作交于点，则，， ∵过点，∴点与点关于对称，∴， ∵，∴，∴； （3）解：连接，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴点三点共线，点三点共线，， ∵，∴，∴四边形是正方形， 过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值， ∵四边形是正方形，∴，，∴ 由正方形性质可得，，∵，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∴，，根据折叠可知，， ∴，∴， ∴折叠后上的一点到最小值为． 20．（2025·贵州遵义·统考三模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）； 拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推理过程如下(2)(3) 【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴． （2）绕点点顺时针得到，∴， ∴，，，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，∴． （3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴， ∵沿翻折得到，∴，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵是圆的直径，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 21．（24-25上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．    (1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______． 求证：______． 证明： (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；    (3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H， ∴，，    ∵，，，∴，， ∴，而， ∴∴． 22．（24-25·江苏·九年级期中）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】(1)且，证明见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：且． 证明：、分别是、的中点，，，， 又，，，，， 在直角中，，，，； （2）连接．，，， ，，在直角中，， ，，，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 23.（24-25九年级上·湖北·期中）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析 【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆． 故答案为：圆内接四边形对角互补  过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）∵，∴点A，，，四点在同一个圆上，∴， ∵，∴．答案：45° （3）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，， ∴，，∴，∴，∴A，，，四点共圆． 24．（24-25·江苏·九年级期中）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 　　； （2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 　　． 【答案】问题情境：见解析；问题解决：（1）；（2） 【详解】[问题情境]证明：如图，连结，取的中点，连结、， ，为的中点，，、、、四点共圆； [问题解决]（1）四边形为正方形，点是边的中点，， ，，， 由[问题情境]结论可知，、、、四点共圆，如图， ，为正方形的对角线，， ，为等腰直角三角形，设长为，则长为， ，即，解得：，（不合题意，舍去）， 线段的长度为；故答案为：； （2）由[问题情境]结论可知，、、、四点共圆， 如图，过点作于点，作于点，连接交于点，连接， ，，，四边形为矩形，， 要求的最小值，即求的最小值，由（1）知，，， ，且点为的中点，，为的中位线，，， ，，四边形为矩形，，，， 在中，， 根据两点之间线段最短得，，， 的最小值为，的最小值为．故答案为：． 25.（2023·内蒙古包头·三模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：，故答案为：． （2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、． ∵为的中点，， 在和中，，∴，∴，∵， ∴，∴；       证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、， ∵为的中点，，， 在和中，，，， 在和中，，， ，． 26．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，， 由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，， ，，即点是的中点， ，，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，， 在中，，综上可知，长为或． 27．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，则为的中点． 下面是部分证明过程： ，，． ，．．．．．． 任务一：请将上述过程补充完整．任务二：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：．（2）若，则的长为___________． 【答案】任务一：见解析；任务二：（1）见解析；（2） 【详解】任务一：解：， ，， ，，，同理， ，为的中点． 任务二：（1）证明：，，∴四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，，，； （2）如图，作于点， ，， ，，，， ，，，． 28．（2025·江苏·二模）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)；存在最小值，其最小值为 【详解】（1）解：延长到E，使得，连接，如图①，， 在和中，，，． ，，．故答案为：； （2）解：与的数量关系为：． 理由如下：延长至点G，使，连接，如图，则． 是的边上的中线，， 在和中，，， ，，，． ，．，． 在和中，，，．． （3）解：应用1：过点O作于点E，于点F，如图， 则，．，，， ，，．，． ，． 在和中，，， ，．； 应用2：存在最小值，其最小值为， 理由如下：取的中点F，连接，延长DF至点H，使，连接，，如图， ，．，， ，，即． 在和中，，， ，∴点E，D，G、B四点共圆，，， ∵F为的中点，∴．，，∴四边形为平行四边形， ，，．，． ，．在和中，，， ，． 若的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，的值最小为：． 29．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是等边的外接圆． 【问题原型】如图①，连结，延长交弦于点M，交于点P，连结、．求证：； 【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下． ∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ∴，， ∴，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形，∴． 【方法应用】如图2，若P为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】如图③，若的半径为2，且P为上一点，且，则四边形的面积的是 ． 【答案】方法应用：见解析  拓展提升： 【详解】方法应用：结论成立. 延长到， 使， 如图②， ∵为等边三角形，∴， ∵四边形为圆内接四边形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴， 即. 拓展提升：如图③， 连接， 由②得且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积.作于，，连接， 作的延长线于， ∵为等边三角形的中心点，，且，， ，， ∵四边形为圆内接四边形，，，且， ，， ，， ∴以为边的等边三角形的面积为：， ∴四边形的面积为： ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $