九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（苏科版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 一元二次方程~第4章 等可能条件下的概率 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 2．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·模拟预测）七年级一班40名同学课外阅读时间统计图如图所示，那么该班40名同学课外阅读时间的众数、中位数分别是（  ）． A．9 ，10 B．9，9 C．14，9 D．14，8.5 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·青海西宁·三模）背面图案、形状大小都相同的五张卡片的正面分别记录着一些命题．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的命题为真命题的概率是（    ） 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 是最简二次根式． 函数函数值y随x的增大而减小． 调查某班50人的数学成绩，总体是50人． 两班数学成绩平均数相同，班级方差越小成绩越稳． A． B． C． D． 8．（2025·安徽蚌埠·二模）已知 则 的最小值是（　　） A． B．0 C．3 D．6 9．如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？ （填“甲”或“乙”） 12．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ． 13．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ． 14．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 15．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 18．（6分）（2024·湖北·三模）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 19．（6分）（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 20．（8分）（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 21．（8分）（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 22．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 23．（9分）（2025·江西·模拟预测）如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方的顶点叫做格点，、、三个点在格点上，经过、、三点，用无刻度直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）如图1，直接写出的形状，是__________，画的圆心； （2）如图2，在弧上找一点，使，画弦，使得． 24．（10分）（2024·山东青岛·中考真题）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°； (2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； (3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 25．（10分）（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用平行线的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出的度数，最后由等腰三角形性质求． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故选：C． 3．（2025·湖南·模拟预测）七年级一班40名同学课外阅读时间统计图如图所示，那么该班40名同学课外阅读时间的众数、中位数分别是（  ）． A．9 ，10 B．9，9 C．14，9 D．14，8.5 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数、众数，从统计图中得到相关信息是解题的关键． 通过数据分析与处理，得到中位数与众数即可． 【详解】根据图形可知，出现次数最多的是9，所以众数为9， 共40个数字，中位数为第20,21位的均值，由统计图可知第20,21位都为9， 所以中位数为9． 故选：B． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 7．（2025·青海西宁·三模）背面图案、形状大小都相同的五张卡片的正面分别记录着一些命题．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的命题为真命题的概率是（    ） 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 是最简二次根式． 函数函数值y随x的增大而减小． 调查某班50人的数学成绩，总体是50人． 两班数学成绩平均数相同，班级方差越小成绩越稳． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理、垂径定理、最简二次根式、反比例函数、方差等知识点，理解有关的定义及定理是解题的关键． 根据命题与定理、垂径定理、最简二次根式、反比例函数、方差逐项判断即可． 【详解】解：第一个命题：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．”垂径定理的逆命题需满足“弦不是直径”．若弦为直径，平分它的另一条直径未必垂直，故命题不成立． 第二个命题：“是最简二次根式．”是三次根式，而“二次根式”特指根指数为2的根式，因此命题错误． 第三个命题：“函数的函数值y随x的增大而减小．”反比例函数在每一象限内y随x的增大而减小，但未限定象限，整体定义域内不满足，故命题错误． 第四个命题：“调查某班50人的数学成绩，总体是50人．”总体应为“50人的数学成绩”，而非“50人”，命题错误． 第五个命题：“两班数学成绩平均数相同，班级方差越小成绩越稳．”方差越小，数据波动越小，稳定性越高，命题正确． 综上，真命题仅1个，概率为，对应选项A． 故选A． 8．（2025·安徽蚌埠·二模）已知 则 的最小值是（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴时，有最小值，且为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键． 9．如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：连接OD、OE ∵OC=OA ∴△OAC是等腰三角形 ∵，点D为弦的中点 ∴∠DOC=40°，∠BOC=100° 设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40° ∵OC=OE，∠COE=100°-x ∴∠OEC= ∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x ∴∠OED＜ ∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°． 又∵∠CED＜∠ABC=40°， 故答案为C． 【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 10．（2025·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图1，过点D作于H， 则，，， 在中，， 当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小， 设，则， 在中，， ∴， 由得，， 解得； 如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即的最大半径为， 所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为， 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？ （填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】 先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可． 【详解】 解：=（7+6+9+6+7）÷5=7（环）， =（5+9+6+7+8）÷5=7（环）， =[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2， =[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2， ∵1.2＜2， ∴甲的成绩较为稳定， 故答案为：甲． 【点睛】 本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数据的稳定性是解答的关键． 12．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 13．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】20 【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵ △=9-4=5＞0， ∴，， ∴=， 故答案为：20； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 14．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 15．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定以及勾股定理，逐步推导得出线段的长度． 【解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 18．（6分）（2024·湖北·三模）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅助线是解题的关键. （1）连接，证明，即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得，可证明，可得，设，则，，．在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ，． 由（1）得 在中，， ∴ ∴或（舍去）， ∴，即⊙O的半径为13． 19．（6分）（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)， (2)全校参加科幻画创作的学生有人； (3)恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； （3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【详解】（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． （3）解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 20．（8分）（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在实数k的值，理由见解析 【分析】本题考查了已知根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值计算，即可作答． （2）假设满足题意的k的值存在．结合根与系数的关系得，，再代入，计算得出，由（1）得，则不在的范围内，即可说明不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根 ∴， ∴， ∴． （2）解：不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 理由如下：假设满足题意的k的值存在． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴． 由（1）得， ∵不在的范围内 ∴不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 21．（8分）（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质是解题的关键． 22．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 23．（9分）（2025·江西·模拟预测）如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方的顶点叫做格点，、、三个点在格点上，经过、、三点，用无刻度直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）如图1，直接写出的形状，是__________，画的圆心； （2）如图2，在弧上找一点，使，画弦，使得． 【答案】（1）直角三角形，图见详解；（2）图见详解 【分析】（1）根据勾股定理计算出AB，BC，AC的长度再利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状，找出AC的中点即可； （2延长AB到D点，再连接CD，交于E点，E点即为所作，数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）由题意得：AB= ， AC= ， BC= ∴ ∴是直角三角形， ∵是直角的外接圆； ∴的圆心为AC的中点； 圆心即为所作， （2）延长AB到D点，再连接CD，交于E点，再取格点 连接 延长交于 连接 则为所求作的点，为所求作的直线， ∵由正方形的性质可得：BF⊥AC，AC是直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即为所作． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．（10分）（2024·山东青岛·中考真题）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°； (2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； (3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 【答案】(1)补全条形统计图见解析，54 (2)640人 (3)甲 【分析】（1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数； （2）用1600乘样本中D所占比例即可； （3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答． 【详解】（1）解：总人数：（人）， D组人数：；如图： A所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：54； （2）解：去海洋馆：（人） 答：该校约有640名学生想去海洋馆； （3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95， ∴甲班10名学生的成绩的平均数：， 甲班10名学生的成绩的众数：90； 甲班10名学生的成绩的中位数：， ∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88． ∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班， ∴甲班的竞赛成绩更好． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． 25．（10分）（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $