4.5.2形形色色的函数模型教学设计-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦数学建模及函数模型应用，通过“篱笆围矩形花园求最大面积”情景问题导入，衔接前期所学幂函数、指数函数等知识，搭建从具体问题到抽象建模的学习支架。 采用“一体二化三导四学”模式，典例剖析无人机产量案例，引导学生小组讨论对比一次、二次、指数、对数等函数模型，结合希沃白板和几何画板直观对比误差，培养数学建模与数据分析素养，提升学生问题解决能力，助力教师高效开展函数应用教学。

教材：湘教版高一数学必修第一册§4.5.2形形色色的函数模型 《形形色色的函数模型》教学案例 宁县第一中学 郝丽娟 一、教学内容分析 本节课是高中数学第一册《第4章 幂函数、指数函数和对数函数》的第五节，也是学生学习完常见的几种函数及其性质后的拓展学习。本课时内容结合实际生活中的例子,理解数学建模的含义和步骤，体会不同的函数模型的差异。课程标准对本节课内容提出具体要求，即通过数学建模来解决实际问题；会运用待定系数法确定已知函数模型中的参数；尝试函数模型的综合应用。学生经历有声有色的数学建模过程，将有助于发展其问题意识和创新意识，并内化为数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象数学素养。 二、学生学习情况分析 1.学生已经学习了函数的概念，对初等函数的图象、性质已经有了一个比较系统的认识与理解，这为本节课根据实际问题构造函数模型，利用函数图象分析问题提供了一定的知识基础。将函数引进实际生活，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础； 2.高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。函数应用意识的初步树立，成了本节课必须承载的任务； 3.将实际问题转化成数学问题，建立函数模型，解数学模型的解学生容易接受，但对不同函数模型拟合的效果合理与不合理，优与更优，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证。 三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，按照“正确理解并简化实际问题，得出原始数据对——建立直角坐标系，描出这些点——观察图象，确定用那种函数模型——对函数模型进行分析、比较、评价。”的步骤，适当运用多媒体辅助教学手段，通过直观感知，操作确认，运算对比，合情推理得出拟合效果较好的函数模型。让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，经历数学建模的形成过程，理解数学建模的概念，领会数学建模的思想方法，养成积极主动、勇于探索、合作学习的学习方式，发展学生的直观想象、数学运算、数据分析、逻辑推理、数学建模、数学抽象核心素养。 四、教学目标 1.通过具体实例理解数学建模的意义，理解数学建模的概念； 2.领会数学建模的步骤，会选择合理的数学模型把实际问题转化为数学问题； 3.会用待定系数法和方程的思想解决数学问题，渗透直观想象、数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养。 五、教学重难点 重点：通过对数据的分析，提炼找到合适的数学模型。 难点：把实际问题转化为数学模型并选择恰当方法进行解答。 六、教学方法 “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式。（一体二化三导四学：以学生为主体；教学内容问题化，教学活动探究化；引导，指导，督导；自主学习，探究学习，合作学习，体验学习。） 七、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、●数学建模。 八、教学准备 希沃白板5课件 ( 情景引入，启迪思维 )九、教学基本流程 ( 深入探索，获得新知 ) ( 典例剖析，强化应用 ) ( 课堂实练，巩固提高 ) ( 小结反思，拓展引申 ) ( 分层作业，共同提高 ) 十、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 情景引入 启迪思维 情景问题： 用长16m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，怎样设计花园面积最大？ 我们如何解决类似这种生活中遇到的问题呢？ 学生思考，列出函数关系式。 师：实际上，这个函数关系式就是解决该问题的数学模型，引出课题并板书。 让学生体会数学建模的含义， 理解数学建模步骤。 3分钟 深入探索 获得新知 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模。结合前面问题的解决过程，总结数学建模的步骤。 学生总结数学建模的步骤： （1）正确理解并简化实际问题； （2）建立数学模型； （3）求得数学问题的解； （4）验证模型的准确性、合理性和适用性. 让学生从解决实际问题的过程中总结数学建模的步骤。 5 分钟 典例剖析 强化应用 例题 ：某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台。由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好。为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.公司分析，产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化，并且公司也暂时不准备增加设备和工人。假如你是公司管理者，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？ 预案1：设模拟函数为，将，两点坐标代入，得 解得 所以得 . 该函数图象如图4.5-5所示. 此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000台，这是不太可能的 图4.5-5 预案2：设模拟函数为，将，，三点坐标代入，得 解得 所以得 . 该函数图象如图4.5-5所示. 评价 ： 由此法算出4月份的产量为万台，比实际产量少了台，而且，由二次函数的性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴是直线），这显然不符合实际情况. 预案3：设模拟函数为，为了方便起见，取，将，两点坐标代入，得 解得 所以得 . 借助计算机软件可作出该函数图象如图4.5-6所示. 评价 ：将及代入解析式，分别得到及，与实际产量差距较大。 预案4：设模拟函数为，将，，三点坐标代入，得 解得 所以得 . 借助计算机软件可作出该函数图象如图4.5-6所示. 评价：将代入解析式，得到与第4个月的产量比较接近. 预案5：设模拟函数为y=alnx+b,将A,D两点的坐标代入得 aln1+b=1 a≈0.267 aln4+b=1.37 解得 b=1 所以y=0.267.lnx+1 借助计算机软件可作出该函数图象。 评价：将x=2及x=3代入解析式，分别得到y≈1.185及y≈1.293，与实际产量非常接近。 师：这个问题给了该公司前4个月的产量，因此我们可以引入两个变量，，其中表示月份，表示相应的产量.在直角坐标系中（为了方便观察，取轴的单位长度较大），得到体现基本数据的四个点：，，，. 问题1：（小组活动）请同学们选择适当函数模型，估算该公司以后几个月的产量？ 问题2：比较上述五个模拟函数的优劣，选择哪个函数模型，比较接近客观实际？ 学生讨论后发言， 教师补充。 预案：选择模型首先要考虑到误差最小，其次也要考虑生产的实际情形，比如增产的趋势和可能性。经过筛选，指数函数模型和对数函数模型都比较合理：一是误差最小；二是由于是新建生产线，随着工人技术、管理效率逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而求得的指数函数模型和对数函数模型都恰好反映了这种趋势，因此选用或y=0.267lnx+1比较接近客观实际。 让学生体会给定二维条件可引设出两个变量，初步描点后，观察点的变化趋势，设出函数模型，利用待定系数法和方程的思想求出函数解析式，验证函数模型的合理性，培养学生数学建模、数学运算和逻辑推理的核心素养。 20 分钟 课堂实练 巩固提高 练习： 在从国家统计局网站可以了解到中国居民2014-2017手机上网人数（单位：亿）（如下表所示） 年份 2015 2016 2017 手机上网人数 6.2 6.95 7.53 （1）描绘画出手机上网人数随年份变化的大致图象； （2）试选择合适的函数类型建立数学模型，刻画手机上网人数随年份变化的规律，并预测2018年中国居民手机上网人数。 学生练习。 利用希沃授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生纠正错误，指出所应用的知识点。 练习强化学生对数学建模的应用 10分钟 小结反思 拓展引申 本节课学习了哪些知识？有何收获？ 使用希沃白板5思维导图总结。 系统梳理整节课内容 2分钟 分层作业 共同提高 1.课本148页习题4.5第4、5、6题； 2.尝试用三次函数模拟例3（选做）； 课后探究：对课本149页“怎样烧开水最快最省煤气”的问题进行实验研究。 学生自主完成作业 巩固知识，培养能力 附：板书设计 §4.5.2行行色色的函数模型 几种常见的函数模型： 1. 一次函数模型 2. 二次函数模型 3. 与幂函数相关模型 4. 与指数函数相关模型 5. 与对数函数相关模型 6. 其他函数模型 希沃课件投影区域 演算区 6 学科网（北京）股份有限公司 了、 十一、教学反思 1.本节课是学生学习完常见的几种函数及其性质后的拓展学习，也是学生利用所学函数模型解决实际问题的数学应用能力的培养。因此，本节课既定位于函数的应用，也蕴含着数学建模的初识。 2.本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——分析对比——评价论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、计算、操作交流、分析对比等活动，从多角度认识不同函数模型模拟的效果。鼓励他们从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。 3.本节课的设计特别注重数学运算和数学建模素养的提升。整节课的教学都是先选定函数模型，再利用待定系数法求出函数解析式，然后画出图象，直观分析、对比，计算误差，进行评价。 4.本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，从复习引入，模型的选定，模型的分析 评价等过程中，都有效地使用了多媒体。利用几何画板将不同函数图象作在同一平面直角坐标系中，使复杂的问题直观化，从而得出实际问题的最优解。 十二、几点说明 1.本节教学的关键在于通过函数图象对比、简单代数证明、分析评价等方法，体会不同函数模型的拟合效果。不应把方法简单地用“对”和“错”来区分，而是要看“合理”还是“不合理”，“优”还是“更优”，教会学生辩证的看待问题。数学建模的过程应遵循从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型等基本步骤，是数学在现实世界中的应用。 2.选择的函数模型与所选取的样本点有关，本节教学例题只给定的是前四个月的产量，若给定的是效益较好且稳定发展的几个月或效益衰减的几个月，则所选函数模型也会不一样，其次，样本点的拟合效果也与周围环境和工人出勤等因素的影响。 3.可以引导学生思考，除了教科书中选择的五个函数，是否还可以用其他的函数进行拟合。如三次函数模拟，分段函数模拟等。 $