专题5.3 函数的单调性（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题5.3 函数的单调性 教学目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 4.在函数单调性的应用过程中，培养学生的逻辑推理和数学运算素养 教学重难点 1.重点 函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间； 2.难点 函数单调性的应用. 知识点01 函数的单调性 函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上_________. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是_________的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上________. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是_________的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是_________.函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的_________. 注意： 求函数的单调区间，应先求_________.，在定义域内求单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调_________； a<0时，在R上单调_________. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 【即学即练】 1．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 2．给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 知识点02 单调函数的运算性质 单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有_________的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有_________的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有_________的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调_________的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调_________. (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①_________； ②_________； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“_________”的原则. 【即学即练】 1．设，，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 题型01 函数单调性的判断与证明 【典例1】下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性. 【变式1】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【变式2】已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式3】定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【变式4】已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 题型02 求函数单调区间 【典例1】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 对求函数单调区间两点说明： 1.数形结合利用图象判断函数单调区间； 2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，一般不能用“∪”；在单调区间D上的函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 【变式1】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，则的单调递增区间为 . 【变式4】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 题型03 利用函数的单调性求参数 【典例1】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 【变式1】已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【变式2】已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型04 根据图象判断函数单调性 【典例1】已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【变式1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（ ）   A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 【变式3】已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 题型05 利用函数的单调性比较大小 【典例1】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 【变式1】设则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 题型06 利用函数的单调性解不等式 【典例1】函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A． B． C． D． 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 【变式1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式3】定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式4】若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式5】定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 题型07 复合函数单调性 【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 复合函数的单调性： ①先求函数的定义域；②再将复合函数分解为内、外层函数；③利用已知函数的单调性解决． 注意：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 【变式1】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 1．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．若函数与在上都单调递减，则在上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 3．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（ ） A. B. C. D. 5．函数，对任意，且，都有，则的范围是（ ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．若对任意，，当时，，则在上是增函数 B．函数在上是增函数 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 8．（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 9．（多选）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 10．函数的单调递减区间为 ． 11．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是_________- 12．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为____________ 13．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 14．已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 函数的单调性 教学目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 4.在函数单调性的应用过程中，培养学生的逻辑推理和数学运算素养 教学重难点 1.重点 函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间； 2.难点 函数单调性的应用. 知识点01 函数的单调性 函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 注意： 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 【即学即练】 1．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【解析】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析；(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【解析】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 知识点02 单调函数的运算性质 单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【即学即练】 1．设，，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解析】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【解析】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B. 题型01 函数单调性的判断与证明 【典例1】下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解析】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性. 【变式1】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 【变式2】已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【解析】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 【变式3】定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【解析】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 【变式4】已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)；(2)在上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【解析】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 题型02 求函数单调区间 【典例1】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【解析】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 对求函数单调区间两点说明： 1.数形结合利用图象判断函数单调区间； 2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，一般不能用“∪”；在单调区间D上的函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 【变式1】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【变式2】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【解析】由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 【变式3】已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【解析】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 【变式4】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 【答案】和 【解析】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故答案为：和 题型03 利用函数的单调性求参数 【典例1】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【解析】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A. 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 【变式1】已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得到不等式组，解出即可. 【解析】由图可知在，上单调递减， 则或， 得或. 故选：B. 【变式2】已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 【变式3】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解得即可. 【解析】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4】已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【解析】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 题型04 根据图象判断函数单调性 【典例1】已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析 【分析】（1）分析得到时，，为二次函数，开口向下，时，为一次函数，结合特殊点函数值，画出图象； （2）数形结合得到函数单调区间和函数单调性. 【解析】（1）当时，，为二次函数，开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，，为一次函数，当时，， 当时，， 画出图象如下： （2）由图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 故在上单调递增，在上单调递减. 【变式1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（ ）   A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【解析】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D. 【变式2】已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 【答案】(1)作图见解析；(2) (3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和. 【解析】（1）如图所示： （2）； （3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和． 单调递增区间为：和. 【变式3】已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)图象见解析，函数的增区间为：和. 【分析】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【解析】（1）设函数为， 所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    则函数的单调增区间为：和. 题型05 利用函数的单调性比较大小 【典例1】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【解析】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 【变式1】设则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解析】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 【变式2】已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 【变式3】定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 【变式4】已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 题型06 利用函数的单调性解不等式 【典例1】函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 【变式1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 【变式2】已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解析】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 【变式3】定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【解析】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式4】若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【解析】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 【变式5】定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 【变式6】已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用赋值法直接求解即可；（2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【解析】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 题型07 复合函数单调性 【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 复合函数的单调性： ①先求函数的定义域；②再将复合函数分解为内、外层函数；③利用已知函数的单调性解决． 注意：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 【变式1】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【解析】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 【变式2】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得. 【解析】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A. 【变式3】已知函数，若，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【解析】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． 1．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【解析】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 2．若函数与在上都单调递减，则在上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】C 【分析】根据函数与在上都单调递减，可得，，由二次函数的性质可得在上的单调性. 【解析】由函数与在上都单调递减，可得，， 故可得的对称轴为：，同时由，二次函数图象开口向下， 可得在上单调递增，在上单调递减， 即在上先增后减， 故选：C. 3．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 4．已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，先取消绝对值，即，进而利用单调性求解即可. 【解析】由，得， 又，，得， 因为函数是上的增函数， 所以，即，解得. 故的解集的补集是. 故选：D. 5．函数，对任意，且，都有，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设任意，且，构造函数得到在为增函数，从而得到，恒成立，即可得到答案。 【解析】设任意，不妨令，都有， 等价于任意，且，都有， 等价于任意，且，都有， 设，，则函数在为增函数， 则，恒成立。 等价于，恒成立。 因为在为减函数，所以，即. 故选：D 6．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解. 【解析】令， 因为对，且，都有，即成立， 不妨设，则，故，则， 即，所以在上单调递增，又因为，所以， 故可化为，所以由的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：A. 7．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．若对任意，，当时，，则在上是增函数 B．函数在上是增函数 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 【答案】AD 【解析】对于A：若对任意，，当时，，则有， 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：AD． 8．（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】ABD 【解析】依题意，当时，恒有， 令则， 即，所以，故A正确； 不妨设，设， 则， 因为，所以， 所以， 所以在为增函数，故B正确； 设，的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，故C错误； 由上述判断可知，函数在为增函数， 所以，所以， 所以， 同理，所以， 所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 9．（多选）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 【答案】ABD 【解析】A选项，令得，∴，A正确； B选项，任选，且，中，令，得， 因为当时，，又，所以， 故， 所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以，中，令得， ∵，∴， 由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确. 故选：ABD 10．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】令，解得， 设，， 外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间， ，对称轴为，其开口向下，故其减区间为. 故答案为：. 11．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是_________- 【答案】 【解析】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，． 故答案为： 12．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为____________ 【答案】 【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【解析】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故答案为： 13．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3)增区间是，单调递减区间是和 【解析】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是 14．已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【解析】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $