专题5.1 函数的概念与图像（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题5.1 函数的概念与图像 教学目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 2.理解构成函数的要素，掌握常见函数定义域的求解方法. 3.会求常见函数的值域，掌握简单函数值域的求法． 4.理解用函数图象表示函数，会画函数图象，并结合图象求函数值域. 5.通过对函数概念的理解以及求简单函数的定义域、值域，提升学生的数学抽象、数学运算素养；通过函数图象的画法及图象的应用，提升学生的直观想象素养与逻辑推理素养. 教学重难点 1.重点 对函数概念的理解，求函数的定义域、值域，图象的画法和简单应用； 2.难点 抽象函数定义域的求法，理解图象变换作图. 知识点01 函数的定义 函数的定义： 给定两个_____实数集A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的______实数，在集合B中都有_____的实数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：. 其中，叫作自变量，集合A叫作函数的定义域（domain）。 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合_______________称为函数的值域． 说明：1. 函数是非空数集到非空数集上的一种对应． 2. 符号“f：A→B”表示从A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应法则，三者缺一不可． 3. 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性． 4. f表示对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样． 5. f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积． 6. 在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示． 抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出__________的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做_____函数，y=f(t)叫做_____函数. 【即学即练】 1．集合，下列不能表示从A到B的函数的是（  ） A． B． C． D． 2．判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 知识点02 函数定义域 定义域：函数的定义域是自变量的取值范围 求给定解析式的函数定义域的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 求抽象函数定义域的方法： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的_____. 【即学即练】 1．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（  ） A． B． C．，且 D．，且 知识点03 函数的相等 同一函数： 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别_____时，这两个函数才_____，即是同一个函数. 【即学即练】 1．下列各组函数是同一个函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各组函数中，是同一个函数的有（  ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 知识点04 函数值域 值域：与x的值相对应的y值叫做_____，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range) 求函数值域的一般方法： (1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法. 【即学即练】 1．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（  ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 2．（多选）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 知识点05 函数的图象 函数的图象： 将自变量的一个值作为_____，相应的函数值作为_____，就得到坐标平面上的一个点。当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到了一系列这样的点。所有这些点组成的集合（点集）为，即_______________。所有这些点组成的图形就是_______________。 作函数图象的一般方法： (1)__________：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)__________：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【即学即练】 1．函数的部分图象大致为（  ） A．   B．   C．   D．   2．作出下列函数图象： (1)且； (2)． 题型01 函数关系的判断 【典例1】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（  ） A． B． C． D． 判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x的值对应两个或两个以上的y值；从形上看任取一条与x轴垂直的直线，在定义域内平行移动与图形有且只有一个交点。 【变式1】下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（  ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式2】（多选）下列关于函数的说法正确的是（  ） A. 是的函数； B.是的函数； B. C.对于不同的，也不同； D.表示当时，的函数值是一个常数． 【变式3】下列图象中，不能作为函数图象的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（  ） A． B． C． D． 【变式5】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 题型02 求具体函数的定义域 【典例1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【变式1】函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【变式3】函数的定义域是（  ） A． B．或 C．或 D． 【变式4】函数的定义域是____________ 题型03 求抽象函数的定义域 【典例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【变式3】已知定义域为，则的定义域为 ． 【变式4】设函数的定义域是，求函数的定义域． 题型04 利用函数的定义域求参数 【典例1】已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负、对数的真数大于零等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 【变式1】函数的定义域为，则（  ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式2】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【变式3】已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 题型05 求函数的值域 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． (1)求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2)函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合. 【变式1】函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数的值域是 ． 【变式3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 题型06 利用函数的值域求参数 【典例1】若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 【变式1】函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【变式2】已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【变式3】已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 题型07 判断两个函数是否为同一函数 【典例1】以下各组函数中，不是同一函数的是（  ） A． B． C． D． 判断两个函数是否为同一个函数的方法 一般先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，可再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数. 【变式1】下列各组函数表示同一函数的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选）下列函数为同一函数的是（  ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【变式3】下列表示同一函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型08 求函数值或由函数值求参 【典例1】若函数的定义域为，且，，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数满足．若，则（  ） A．2 B．1 C．3 D．0 【变式2】已知数且，则的值为（  ） A．2 B．1 C． D．0 【变式3】定义在上的函数满足:，则 . 【变式4】已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 题型09 函数图象的画法与识别 【典例1】我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【变式1】下列图象中，不能表示函数的是（  ） A．   B．   C．   D．   【变式2】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数． (1)若，求实数的值； (2)画出函数的图象并求出函数在区间上的值域． 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．下列图象中，可以表示函数的为（  ） A． B． C． D． 3．下列函数中与是同一函数的为（  ） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 5．下列函数中，值域是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 6．（多选）集合，下列能表示从A到B的函数的是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（  ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 8．（多选）下列说法不正确的是（  ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 9．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________ 11．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是 ． 12．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 13．已知函数 的定义域为A，集合 (1)若 ，求实数m的取值范围； (2)若 ，求实数m的取值范围. 14．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 函数的概念与图像 教学目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 2.理解构成函数的要素，掌握常见函数定义域的求解方法. 3.会求常见函数的值域，掌握简单函数值域的求法． 4.理解用函数图象表示函数，会画函数图象，并结合图象求函数值域. 5.通过对函数概念的理解以及求简单函数的定义域、值域，提升学生的数学抽象、数学运算素养；通过函数图象的画法及图象的应用，提升学生的直观想象素养与逻辑推理素养. 教学重难点 1.重点 对函数概念的理解，求函数的定义域、值域，图象的画法和简单应用； 2.难点 抽象函数定义域的求法，理解图象变换作图. 知识点01 函数的定义 函数的定义： 给定两个非空实数集A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数，在集合B中都有唯一的实数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：. 其中，叫作自变量，集合A叫作函数的定义域（domain）。 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 说明：1. 函数是非空数集到非空数集上的一种对应． 2. 符号“f：A→B”表示从A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应法则，三者缺一不可． 3. 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性． 4. f表示对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样． 5. f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积． 6. 在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示． 抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【即学即练】 1．集合，下列不能表示从A到B的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解析】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 2．判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【解析】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 知识点02 函数定义域 定义域：函数的定义域是自变量的取值范围 求给定解析式的函数定义域的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 求抽象函数定义域的方法： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【即学即练】 1．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【解析】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D. 2．函数的定义域是（  ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 知识点03 函数的相等 同一函数： 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 【即学即练】 1．下列各组函数是同一个函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解析】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 2．下列各组函数中，是同一个函数的有（  ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【解析】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 知识点04 函数值域 值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range) 求函数值域的一般方法： (1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法. 【即学即练】 1．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（  ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 【答案】D 【解析】函数的定义域为A，值域为B， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以，又， 所以若，解得或，因为，所以. 此时，所以，则； 若，又，所以不成立. 综上，. 故选：D. 2．（多选）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【解析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 知识点05 函数的图象 函数的图象： 将自变量的一个值作为　横坐标　，相应的函数值作为　纵坐标　，就得到坐标平面上的一个点。当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到了一系列这样的点。所有这些点组成的集合（点集）为，即。所有这些点组成的图形就是___函数 的图象 。 作函数图象的一般方法： (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【即学即练】 1．函数的部分图象大致为（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的性质及特殊值可以判断. 【解析】由题意，时，，排除C,D选项； ，可以排除B选项. 故选：A. 2．作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解析】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 题型01 函数关系的判断 【典例1】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义判断. 【解析】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x的值对应两个或两个以上的y值；从形上看任取一条与x轴垂直的直线，在定义域内平行移动与图形有且只有一个交点。 【变式1】下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（  ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【解析】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 【变式2】（多选）下列关于函数的说法正确的是（  ） A. 是的函数； B.是的函数； B. C.对于不同的，也不同； D.表示当时，的函数值是一个常数． 【答案】AD 【分析】根据函数的知识确定正确答案. 【解析】对于函数有： 是的函数，A正确，B错误. 对于不同的，可能相同，C错误. 是一个常数，D正确. 故选：AD 【变式3】下列图象中，不能作为函数图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得出结论. 【解析】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 【变式4】若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象分析函数定义域和值域即可判断. 【解析】选项A，定义域符合、值域也相符，故A正确； 选项B，定义域为，值域为，不满足定义域和值域，故B错误； 选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误； 选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，故D中图象不是函数的图象，故D错误． 故选：A 【变式5】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【分析】根据函数的定义，即可求解. 【解析】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：②. 题型02 求具体函数的定义域 【典例1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3){且；(4)且 【分析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可. 【解析】（1） 所以定义域为 （2） 所以定义域为 （3）且 所以定义域为且 （4）且 所以定义域为且. 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【变式1】函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，且，即可求得结果. 【解析】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式2】函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，得到，解得且.故定义域是. 故选：D. 【变式3】函数的定义域是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【解析】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C. 【变式4】函数的定义域是____________ 【答案】且且 【分析】根据题意由求解 【解析】由题意得：， 解得且且， 所以函数的定义域为且且. 故答案为：且且 题型03 求抽象函数的定义域 【典例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解析】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 【变式2】若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由求解即可. 【解析】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为：. 【变式3】已知定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据可得，即可求解. 【解析】由于定义域为，故， 因此的定义域需满足，解得， 故的定义域为， 故答案为： 【变式4】设函数的定义域是，求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可. 【解析】∵函数的定义域是， ∴要使函数有意义， 则，解得. 故函数的定义域为 题型04 利用函数的定义域求参数 【典例1】已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解析】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A. （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负、对数的真数大于零等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 【变式1】函数的定义域为，则（  ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解析】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式2】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可. 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【分析】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【解析】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 题型05 求函数的值域 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【解析】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． (1)求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2)函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合. 【变式1】函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解析】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C. 【变式2】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【解析】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 【变式3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 题型06 利用函数的值域求参数 【典例1】若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解析】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 【变式1】函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点；；解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为： 【变式2】已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)函数定义域为， 对任意都成立， 当时，显然不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 (2)函数值域为， 能取遍所有正数， 1：，解得， 2：， 符合题意 实数的取值范围为 【变式3】已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解析】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 题型07 判断两个函数是否为同一函数 【典例1】以下各组函数中，不是同一函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【解析】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 判断两个函数是否为同一个函数的方法 一般先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，可再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数. 【变式1】下列各组函数表示同一函数的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，A错误； B选项，的定义域为，的定义域为R， 定义域不同，B错误； C选项，由，解得，故的定义域为， 由，解得，的定义域为， 且，故为同一函数，C正确； D选项，，的对应法则不同，D错误. 故选：C 【变式2】（多选）下列函数为同一函数的是（  ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【答案】AB 【分析】利用函数相等的条件是定义域、解析式必须都相同，再来判断这两个要素即可得解. 【解析】因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故B正确； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C错误； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D错误； 故选：AB. 【变式3】下列表示同一函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【解析】对于A，与定义域、解析式相同，是同一函数，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误. 故选：A 题型08 求函数值或由函数值求参 【典例1】若函数的定义域为，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【解析】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 【变式1】已知函数满足．若，则（  ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【分析】中令，结合可得答案. 【解析】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 【变式2】已知数且，则的值为（  ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据已知条件解方程来求得. 【解析】由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 故选：C. 【变式3】定义在上的函数满足:，则 . 【答案】0 【分析】赋值法得到，再令，得到，结合，求出. 【解析】定义在上的函数满足：， 令时，，则， 令时，即， 因为，所以. 故答案为：0. 【变式4】已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【解析】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以 题型09 函数图象的画法与识别 【典例1】我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【解析】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A. 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【变式1】下列图象中，不能表示函数的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应. 【解析】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像. 故选：C 【变式2】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【变式3】已知函数． (1)若，求实数的值； (2)画出函数的图象并求出函数在区间上的值域． 【答案】(1)或；(2)图象见解析， 【分析】（1）讨论a的取值，结合解析式可得答案； （2）由解析式可得函数图像，即可得值域. 【解析】（1）当，； 当，. 综上：或； （2）由题可得图象如下： 则在区间上的值域为. 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得，即， 令，解得，即， 所以. 故选：B. 2．下列图象中，可以表示函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【解析】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 3．下列函数中与是同一函数的为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误. 故选：B 4．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数的定义域与值域的求法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解. 【解析】由函数，可得， 又由函数有意义，可得，解得，所以， 所以. 故选：A. 5．下列函数中，值域是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【解析】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 6．（多选）集合，下列能表示从A到B的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解析】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：ABD 7．（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（  ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得，从而得函数有，解该不等式即可得解. 【解析】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线的没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有个，故B正确； 对于C，因为函数与的定义域均为， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD 8．（多选）下列说法不正确的是（  ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】运用相等函数概念，复合函数定义域，结合不等式恒成立计算即可. 【解析】对于A，函数的定义域为的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B：因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为，B正确 对于C，不等式， 则解集为，C不正确 对于D，当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 9．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得在上恒成立，， 即，. 故答案为：. 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________ 【答案】 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【解析】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 11．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案. 【解析】由函数的函数值表示不超过x的最大整数， 当时，可得，则， 可得， 因为，可得，所以函数的值域是. 故答案为：. 12．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【解析】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 13．已知函数 的定义域为A，集合 (1)若 ，求实数m的取值范围； (2)若 ，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用集合的子集关系，可得到端点值的范围，从而得解； （2）利用交集为空集，讨论是空集和非空集合时的端点位置关系，也可得到解决. 【解析】（1）由，解得，即， 由，则， 因为，所以有， 解得， 即实数m的取值范围是. （2）由，则当时，满足题意，即此时有，解得； 当时，根据题意，此时有或， 解得； 综上：当，实数m的取值范围是 14．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)2；(3). 【分析】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $