九年级数学上学期期中模拟卷02（北京版第1～2章相似形+二次函数与反比例函数）

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1 2 3 4 6 7 8 C A D B B C C 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9.y=x2+2(答案不唯一) 101(或2或3) 11.-3 -4 12.k=3-26或-1sk≤月 13.y=40x2+80.x+40 14.x1=-3,x2=1 15.g 16.②⑤/⑤② 三、解答题（本大题共11小题，满分68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(5分)【详解】(1)解：设二次函数的表达式为y=ar2+bx+c, 把AL,3),B(4,-12),C3,-5)代入， a+b+c=3 得16a-4b+c=-12, 9a+3b+c=-5 a=-1 解得b=0, c=4 所以二次函数的表达式为y=-x2+4.…（2分) (2)解：把x=0代入y=-x2+4得y=4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,4)： 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把y=0代入y=-x2+4得-x2+4=0, 解得x=-2,x2=2, 所以抛物线与x轴的交点坐标为2,0)和(-2,0).…(3分) 18.(5分)【详解】(1)解：二次函数y=x2+bx+c的图象经过5,0)与6,9)两点， [25+5b+c=0 36+6b+c=91 b=-2 解得 c=-15 这个函数表达式为y=x2-2x-15.…（1分) (2)解：当x=0时，y=-15, 当y=0时，x2-2x-15=0,解得x=5或x=-3, .此抛物线与x轴的交点坐标为5,0)和(-3,0)，与y轴的交点坐标为0，-15).…（2分) (3)解：将二次函数y=x2-2x-15化成顶点式为y=(x-1)2-16,抛物线的项点坐标为1，-16)，对称轴为直线 x=1. …(2分) 19.(5分)【【详解】(1)解：将点A-1,m)代入一次函数y1=-x+2得，m=--1+2=3, .A-1,3), 将点B(n,-1代入一次函数y1=-x+2得，-1=-n+2, 解得n=3, 将A(-1,3)代入反比例函数，=《k<0)得，3=人 k=-3, 3 反比例函数的表达式为2=-二；…(1分) (2)解：：直线y,=-x+2与x轴交于点C, 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.C(2,0), .0C=2, A-1,3),B(3,-1), ∴5.o=Sac+S=)0c-+)0cgl-)x2x3+x2x1=4,(3分) 1 1 2 2 2 2 即A0B的面积为4： (3)解：，A-1,3),B(3,-1, ∴.由图可得，当乃>y2时，自变量x的取值范围为x<-1或0<x<3.…（1分) 20.(5分)【详解】解：：△ABC是等边三角形， ∠B=∠C=60°， :∠BDF+∠BFD=120° :∠DFE=60°， ∠BFD+∠CFE=120°， ∠BDF=LCFE, .△DBF∽△FCE.…(5分) 21.(5分)【详解】(1)证明：，∠ACB=90°，CD1AB, .∠ACB=∠CDB=90°， ∠B=∠B, .△ABC∽△CBD;·(2分) (2)解：.∠ACB=90°， ∴.AB=√AC2+BC2=13, S4c=2×4CCB=xAB-CD, ∴cD=AC.CB_60 AB 13' …(3分) 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(5分)【详解】(1)解：把y=0代入y=x+1得：0=x+1, 解得：x=-1, .A-1,0), 把A(-1,0)代入y=x2+m得：0=(-1)+m, 解得：m=-1, .抛物线的解析式为：y=x2-1, y=x+1 联立 y=x2-1' x=-1x=2 解得 y=0或 =31 .点B的坐标为2,3)；…(2分) (2)解：把x=0代入y=x2-1得y=-1, ∴点C的坐标为0，-1)， 把x=0代入y=x+1得y=1, .点D的坐标为(0,1， .CD=1-（-1=1+1=2, .54c=S4n+S.0n=)x2x1+5×2x2=3.…(3分) 1 23.(6分)【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点， 则通过画图可得知O为原点， 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2m 4 4x -2 4m -3 抛物线以y轴为对称轴，且经过A,B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 (0,2）, ∴.设顶点式为y=ax2+2,代入A点坐标(-2,0， 六0=4a+2,解得：a=-1 2 抛物线解析式为：y=-)+2,(3分) 2 当y=-2时，得：-2=- 解得：x=±2√5， ∴水面宽度为42米.…(3分) 24.(6分 【详解】(1)解：y=x2-4x+3=(x2-4x+4+3-4=(x-22-1, ∴.二次函数图象的对称轴为直线x=2;…(2分) (2)列表如下： -0.5 0 3 4 4.5 y=x2-4x+3 5.25 0 0 5.25 描点，连线如下： 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 1 …（2分) 6-5-432-1⊙人23456x 4 6 (3)根据图象可知，当x<0时，y的取值范围为y≥3.…(2分) 25.(6分)【详解】(1)解：，抛物线的顶点坐标是50,25)， .设抛物线的表达式为：y=ax-50)2+25, 将点C(0,5)代入得：5=a(0-50+25, 1 ∴.a= 125 石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：y=5x-50+25。…(3分) (2)解：当时，y=- ×75-50)2+25=20， 125 .当到城墙时，石块高度为20m, BD=AD+AB=12+9=21(m), .20m<21m, ∴.石块不能飞越城墙AB.…(3分) 26.(6分)【详解】(1)解：①喷出水柱的形状是抛物线，且抛物线是轴对称图形， ∴.由表格数据可知当x=4时，喷出水柱最高为5m,且抛物线的对称轴是直线x=4, 则抛物线的开口向下，越远离对称轴的x所对应的函数值越小， 观察表格，x=1,y= 4,t=2,y=4, 。4-1=3>4-2=2,>4,越远离对称轴的x所对应的函数值越小， 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 早这个错误的数据是4：口分) ②依题意，把m3)代入y=7x, 3 得3 7*m, .m=7;…(1分) (2)解：如图所示： Ay/m 7 6 5 4 …（1分) 3 2 01234567x/m (3)解：由表格数据可知当x=4时，喷出水柱最高为5m, .设抛物线表达式为y=a(x-4)2+5, 将点(0,1)代入y=a(x-4)2+5得1=a×(0-4)2+5 解符a=子 :题物线示达式为y=-矿+5： 当x=7时，三4×7-4+5=<3 道过数形金合可知：水流尚未到达点(， 时便与斜坡相交，故本次喷灌有效.…(3分) 27.(7分)【详解】(1)证明：：矩形ABCD, ·∠BAD=90°， .∠ABE+∠AEB=90°， :∠ABE=∠DAF, ·∠DAF+∠AEB=90°， :∠A0E=90°， 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF⊥BE.…(2分) (2)解：：矩形ABCD, :AB∥CD, ·∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF, ·△ABF∽△GDF, AB BF DG DF DF=IBF, 2 DG-74B-2 *4=2 :矩形ABCD, ∠BAE=∠ADG=90°， :∠ABE=∠DAF, .△ABE∽△DAG, AB AE DA DG :AB=4,AD=6,DG=2, 4AE 62 4 :.AE= 3 故答案为： 3·…(2分) (3)解：：正方形ABCD, ·∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF, .△ABF∽△GDF, AB BF AF ·DG DF GF DF-BF AB BF AF DG DF GF =2 设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=a, DG=AF=2GF 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG=AD2+DG2 AF =2GF, -a, 3 43 5 -= AD a 3 故答案为： 5 ……（3分) 28.(7分)【详解】(1)解：：△ABC是直角三角形，且BA⊥x轴于A,0A=4,0B=5, .AB=OB2-OA2=3, .B(43), 将B(4,3)代入y=得k=12, 少2 …(1分) (2)在两个动点运动过程中，分两种情况： ①若∠0MN=90°，如图所示， B MAX 则MN∥AB,a0MNn△0AB,此时OM=4-x,ON=2x, OM ON OA OB 即：4-x2x 45 ..x= 20 13 ②若∠0NM=90°，如图所示， 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O M A x 则∠0NM=∠0AB,此时OM=4-x,ON=2x, ∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA, ∴.△ONM∽△OAB, OM ON OB OA 即：4-x2x 5-4’ 综上所达，当x=沿或秒时，使得以0，M,N为顶点的三角形与△08相似以：（3分) 13 (3)如图，过N作NK⊥AO于K,则NK∥AB, .△ONKn△OBA, NK ON AB OB NK=2x 3=5 =6r B M A x ,0M=4-x,△M0N的面积为1.2平方单位， 4-12， 解得：x,=2+√2（不符合题意，舍去），x2=2-√2， ∴.当x=2-√2时，△M0N的面积为1.2平方单位.…(3分) 10/10 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级数学上册第1~2章（相似形+二次函数与反比例函数）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【详解】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解： 因为抛物线的顶点坐标为， 则令二次函数的解析式为， 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为， 故选：A． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 4．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 5．，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 6．关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．函数图象分别位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图像与坐标轴没有交点 D．若点都在函数图像上，则 【答案】B 【分析】当时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限，y随x的增大而增大． 【详解】解：A、因为，所以反比例函数y（k＞0），的图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意； B、反比例函数（k＞0）的图象是双曲线，经过第一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意； C、该函数图象与坐标轴无限接近，但无交点，故本选项不符合题意； D、若点 都在函数图象上， ∴，， ∴，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）的性质：①当 时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 7．已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】C 【分析】根据图象及的取值范围，求出最大值和最小值即可． 【详解】解：根据图象及的取值范围， 当时，取最小值为， 当，取最大值为2.5， 该函数有最小值，有最大值2.5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的最值，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小值，函数所对的最低点的值为最小值，最高点的值为最大值． 8．已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确； 故选：C． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图像的对称轴是y轴；②函数的最小值为2． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为由图像对称轴为y轴知，从而，再由函数有最小值2，可知，进而可以得解． 【详解】解：由题意得：设函数为， 图像对称轴为y轴， ， ， 又函数的最小值为2， ，， ， 若取，则二次函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 10．若点分别在反比例函数．位于第一象限的图象上，且点在点的下方，写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】1（或或） 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数图像的性质即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：位于第一象限的图象上，且点在点的下方， ， 故答案为：（或或）． 11．将二次函数配方为形式，则 ， ． 【答案】 -3 -4 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：y=x2+6x+5=（x+3）2﹣9+5=（x+3）2﹣4，即y=（x+3）2﹣4，∴h=﹣3，k=﹣4． 故答案为﹣3，﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 12．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与线段交点问题，解题关键是掌握二次函数性质与判别式，通过数形结合的方法求解． 分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在x轴下方时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 当抛物线顶点落在线段上时，如图， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当抛物线顶点落在x轴下方时， 当时，， 当时，， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴ 或， 解得：， 综上，k的取值范围是或． 故答案为：或． 13．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查关于二次函数与一元二次方程，求出对称轴为直线，根据抛物线的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，根据抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 15．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 利用已知得出，再由相似比等于对应高之比即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为点，交于点， 由题意可得： ∴，， ∵ ∴， ∵，小孔O到，的距离分别为， ∴， 解得： 故答案为：． 16．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．    【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴， ∴，，， ∴故①不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为， 故②正确； 由图象可知时，，即， 故③不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④不正确； ∵对称轴为直线，， ∴， 由图象可知，时，， 故⑤正确． 故答案为：②⑤． 三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为；与x轴的交点坐标为和 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）由待定系数法即可求解； （2）对于，令，得；令，解得：，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 把，，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为． （2）解：把代入得，则抛物线与y轴的交点坐标为； 把代入得， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 18．（5分）已知二次函数的图象经过与两点． (1)求这个函数表达式； (2)求此抛物线与坐标轴交点坐标； (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)此抛物线与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 (3)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）分别求出时，的值；时，的值，由此即可得； （3）利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴， 解得， ∴这个函数表达式为． （2）解：当时，， 当时，，解得或， ∴此抛物线与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 19．（5分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求，的值和反比例函数的表达式； (2)若直线与轴交于点，求点的坐标，并求的面积； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，， (2)4 (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，三角形的面积公式． （1）先分别将、代入一次函数求，的值，再将A点代入反比例函数求得k的值即可； （2）利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）直接根据函数图象可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得，， ∴， 将点代入一次函数得，， 解得， 将代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵直线与x轴交于点C， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的面积为4； （3）解：∵，， ∴由图可得，当时，自变量的取值范围为或． 20．（5分）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 21．（5分）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 22．（5分）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点C的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． 23．（6分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，求水面宽度． 【答案】 【分析】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和 可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为 ， ∴设顶点式为，代入A点坐标， ∴，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， 当 时，得：， 解得：， ∴水面宽度为米. 24．（6分）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴； (2)画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象的对称轴为直线； (2)画图见解析； (3)的取值范围为． 【分析】（1）把配方成顶点式即可求解； （2）根据画函数图象的步骤即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 本题考查了画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线； （2）列表如下： 描点，连线如下： （3）根据图象可知，当时，的取值范围为． 25．（6分）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1) (2)石块不能飞越城墙，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）解：当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 26．（6分）如图，某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．以水平线为x轴，过点O的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．已知P处的喷水头距地面．斜坡可以用一次函数刻画，且点A坐标为．喷出水柱的水平距离x（米）与喷出水柱的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 5 6 … y 1 4 5 4 … (1)①已知表格中有一个y值明显错误，则这个错误的数据是_________； ②_________； (2)在下图中描出以表中各组正确对应值为坐标的点，用平滑曲线画出该函数的图象； 无效喷灌 水流跃过斜坡顶端A时会造成无效喷灌，资源浪费 (3)通过计算说明本次喷灌有效还是无效． 【答案】(1)①；②7 (2)详见解析 (3)水流尚未到达点时便与斜坡相交，故本次喷灌有效 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，画二次函数的图象，一次函数的性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线是轴对称图形，以及表格数据得出当时，喷出水柱最高为，且抛物线的对称轴是直线，开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，据此进行分析，即可作答． （2）先描点再依次连接，即可得出该二次函数的图象，即可作答． （3）先设，再把代入进行计算，得，理解题意得当时，，即可作答． 【详解】（1）解：①∵喷出水柱的形状是抛物线，且抛物线是轴对称图形， ∴由表格数据可知当时，喷出水柱最高为，且抛物线的对称轴是直线， 则抛物线的开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小， 观察表格， ∵，越远离对称轴的所对应的函数值越小， ∴这个错误的数据是； ②依题意，把代入， 得， ∴； （2）解：如图所示： （3）解：由表格数据可知当时，喷出水柱最高为， ∴设抛物线表达式为， 将点代入得 解得， ∴抛物线表达式为； 当时，， 通过数形结合可知：水流尚未到达点时便与斜坡相交，故本次喷灌有效． 27．（7分）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）利用矩形的性质和三角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明. （2）根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长. （3）根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，设正方形边长为参数，用表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值. 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ， ， ， . （2）解：矩形， ， ，， ， . ， . 矩形， ， ， ， . ，，， ， . 故答案为：. （3）解：正方形， ，， ， . ， . 设正方形的边长为，则， ，， ， ， ，    故答案为：. 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形. 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    (1)若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； (2)在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ (3)当x为何值时，的面积为平方单位？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，得出B的坐标，再把B的坐标代入解析式即可解答； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况：①若，得出 ，利用相似比的性质进行解答即可；②若，得出，利用相似比的性质进行解答即可； （3）如图，过作于，则，可得，求解，再建立方程，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：是直角三角形，且轴于A，，， ， ， 将代入得， ； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况： ①若，如图所示，    则，，此时， ， 即：， ， ②若，如图所示，    则，此时， ， ∴， ， 即：， ， 综上所述，当或秒时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似； （3）如图，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∵，的面积为平方单位， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴当时，的面积为平方单位． 【点睛】此题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，利用待定系数法求解反比例函数解析式，解题关键在于根据题意分情况讨论． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级数学上册第1~2章（相似形+二次函数与反比例函数）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 2．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 5．，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．函数图象分别位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图像与坐标轴没有交点 D．若点都在函数图像上，则 7．已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 8．已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图像的对称轴是y轴；②函数的最小值为2． 10．若点分别在反比例函数．位于第一象限的图象上，且点在点的下方，写出一个满足条件的的整数值： ． 11．将二次函数配方为形式，则 ， ． 12．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ． 13．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 15．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 16．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．    三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 18．（5分）已知二次函数的图象经过与两点． (1)求这个函数表达式； (2)求此抛物线与坐标轴交点坐标； (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 19．（5分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求，的值和反比例函数的表达式； (2)若直线与轴交于点，求点的坐标，并求的面积； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 20．（5分）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 21．（5分）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 22．（5分）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． 23.（6分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，求水面宽度． 24．（6分）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴； (2)画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 25．（6分）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 26．（7分）如图，某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．以水平线为x轴，过点O的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．已知P处的喷水头距地面．斜坡可以用一次函数刻画，且点A坐标为．喷出水柱的水平距离x（米）与喷出水柱的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 5 6 … y 1 4 5 4 … (1)①已知表格中有一个y值明显错误，则这个错误的数据是_________； ②_________； (2)在下图中描出以表中各组正确对应值为坐标的点，用平滑曲线画出该函数的图象； 无效喷灌 水流跃过斜坡顶端A时会造成无效喷灌，资源浪费 (3)通过计算说明本次喷灌有效还是无效． 27．（5分）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    (1)若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； (2)在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ (3)当x为何值时，的面积为平方单位？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级数学上册第1~2章（相似形+二次函数与反比例函数）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 2．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 5．，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．函数图象分别位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图像与坐标轴没有交点 D．若点都在函数图像上，则 7．已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 8．已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图像的对称轴是y轴；②函数的最小值为2． 10．若点分别在反比例函数．位于第一象限的图象上，且点在点的下方，写出一个满足条件的的整数值： ． 11．将二次函数配方为形式，则 ， ． 12．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ． 13．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 15．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 16．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．    三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 18．（5分）已知二次函数的图象经过与两点． (1)求这个函数表达式； (2)求此抛物线与坐标轴交点坐标； (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 19．（5分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求，的值和反比例函数的表达式； (2)若直线与轴交于点，求点的坐标，并求的面积； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 20．（5分）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 21．（5分）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 22．（5分）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． 23．（6分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，求水面宽度． 24．（6分）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴； (2)画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 25．（6分）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 26．（6分）如图，某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．以水平线为x轴，过点O的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．已知P处的喷水头距地面．斜坡可以用一次函数刻画，且点A坐标为．喷出水柱的水平距离x（米）与喷出水柱的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 5 6 … y 1 4 5 4 … (1)①已知表格中有一个y值明显错误，则这个错误的数据是_________； ②_________； (2)在下图中描出以表中各组正确对应值为坐标的点，用平滑曲线画出该函数的图象； 无效喷灌 水流跃过斜坡顶端A时会造成无效喷灌，资源浪费 (3)通过计算说明本次喷灌有效还是无效． 27．（7分）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    (1)若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； (2)在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ (3)当x为何值时，的面积为平方单位？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $