第二十四章 圆（复习课件）数学人教版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的概念、性质、位置关系、正多边形与圆的关系及弧长扇形面积计算等核心内容，通过单元知识图谱将基本概念、性质定理、位置关系和计算公式串联，形成“概念-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生构建完整的圆知识体系。 其特色在于知识梳理与题型训练结合，如垂径定理通过输水管道半径计算等例题培养几何直观，切线判定证明题发展推理意识，笔记本屏幕弧长计算等实际问题提升应用意识。分层设计的针对训练满足不同学生需求，教师可借助资料精准把握学情，有效提升复习效率。

单元复习课件 第二十四章 圆 人教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积． 3.综合利用圆的知识解决实际问题． 2.熟练掌握与圆有关的性质，并能灵活应用圆的有关性质进行综合分析和计算． 单元学习目标 圆 要素 定义 基本性质 表示方法 基本概念 相关概念 圆心、半径 弦、直径、弧、等圆、等弧 垂径定理 对称性 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆周角定理 推论 推论 轴对称图形、中心对称图形 单元知识图谱 圆 点和圆的位置关系 弧长和扇形面积 点和圆、直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 点在圆内、点在圆上、点在圆外 过三点的圆 相交、相切、相离 切线的判定和性质 切线长定理 三角形的内切圆 正多边形和圆 二者关系 相关概念 作图 中心、半径、中心角、边心距 弧长公式 扇形面积公式 圆锥的侧面积和全面积 单元知识图谱 考点一、圆的基本概念 1．圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做________．固定的端点O叫做________，线段OA叫做________．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 圆 圆心 半径 考点串讲 特征： （1）圆上各点到定点（______）的距离都等于______（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个________． 因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离________定长r的点的________． 考点一、圆的基本概念 圆心O 定长 圆上 等于 集合 考点串讲 考点一、圆的基本概念 2．相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做________，如弦AC． （2）直径：经过圆心的弦叫做________，直径是圆中最长的________，如AB是________． 弦 直径 弦 直径 考点串讲 考点一、圆的基本概念 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做________，简称______．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”． （4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做________． （5）优弧：大于半圆的弧叫做________， 用三个点表示，如． （6）劣弧：小于半圆的弧叫做________， 如． 圆弧 弧 半圆 优弧 劣弧 考点串讲 考点一、圆的基本概念 （7）等圆：能够重合的两个圆叫做________，半径相等的两个圆是________，同圆或等圆的半径________． （8）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________． 等圆 等圆 相等 等弧 考点串讲 考点二、圆的性质 1．对称性 圆是轴对称图形，任何一条________所在的直线都是圆的________． 圆是中心对称图形，________就是它的对称中心，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形________． 直径 对称轴 圆心 重合 考点串讲 考点二、圆的性质 2．垂径定理及推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． （2）推论：平分弦（不是直径）的________垂直于弦，并且平分弦所对的________弧． C D E O B A 平分 弧 直径 两条 考点串讲 考点二、圆的性质 3．弧、弦、圆心角的关系 （1）圆心角：顶点在________的角叫做圆心角． （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦也________． （3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么 它们所对的________相等，所对的________相等． （4）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么 它们所对的________相等，所对的优弧和劣弧分别________． 圆心 相等 相等 圆心角 弦 圆心角 相等 考点串讲 考点二、圆的性质 4．圆周角定理及推论 （1）圆周角：顶点在________，并且两边都与________相交，这样的角叫做圆周角． 圆上 圆 考点串讲 考点二、圆的性质 （2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________． 一半 考点串讲 考点二、圆的性质 （3）推论1：同弧或等弧所对的圆周角________． （4）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________． 相等 直角 直径 考点串讲 考点二、圆的性质 （5）圆内接多边形与多边形的外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________________，这个圆叫做这个多边形的________． （6）推论3：圆内接四边形的对角________． 圆内接多边形 外接圆 互补 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 1．点和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 （1）点P在圆外________； （2）点P在圆上________； （3）点P在圆内________． d＞r d=r d＜r 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 2．过三点的圆：不在同一条直线上的________个点确定一个圆． 三 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做________，外接圆的圆心是三角形三条边的____________的交点，叫做这个三角形的________． 三角形的外接圆 垂直平分线 外心 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 3．直线和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有 （1）直线l和⊙O相交________（直线l叫做圆的________，有________个公共点）； d＜r 割线 两 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 3．直线和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有 （2）直线l和⊙O相切________（直线l叫做圆的________，只有________个公共点，这个点叫做________）； d=r 切线 切点 一 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 3．直线和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有 （3）直线l和⊙O相离________（________公共点）． d＞r 没有 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 4．切线的判定和性质 （1）判定定理：经过半径的________并且________于这条半径的直线是圆的切线． （2）性质定理：圆的切线垂直于过________的半径． 外端 垂直 切点 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________． 两 相等 夹角 考点串讲 考点三、点和圆、直线和圆的位置关系 （4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做________，内切圆的圆心是三角形三条_________________的交点，叫做三角形的________． 三角形的内切圆 角平分线 内心 考点串讲 考点四、正多边形和圆 1．正多边形与圆的关系：把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的________________，这个圆就是这个正多边形的________． 内接正多边形 外接圆 考点串讲 考点四、正多边形和圆 2．相关概念 （1）中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的________． （2）半径：外接圆的半径叫做正多边形的________． （3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________． （4）边心距：中心到正多边形的一边 的距离叫做正多边形的________． 中心 半径 中心角 边心距 考点串讲 考点四、正多边形和圆 3．正多边形的作图：通过等分圆周的方法可以作出________，如正六边形的边长等于其外接圆的半径． 正多边形 考点串讲 考点五、弧长和扇形面积 1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为． 2．扇形面积公式：由组成圆心角的两条________和圆心角所对的________围成的图形叫做________． 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的 扇形面积S的计算公式为或 （其中l为扇形的弧长）． 半径 弧 扇形 考点串讲 考点五、弧长和扇形面积 3．圆锥： （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的________叫做圆锥的________． 线段 母线 考点串讲 考点五、弧长和扇形面积 （2）圆锥的侧面展开图是________(扇形的________为母线长，弧长等于底面圆________)． （3）扇形的侧面积：S侧=________． （4）扇形的全面积：S全=________=________． 扇形 半径 周长2πr πrl πrl+πr2 πr(l+r) 考点串讲 题型一、垂径定理及其推论 例1：如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 解：是的直径，， ，． ，， ． ． ． ．故答案为：． 题型剖析 题型一、垂径定理及其推论 垂径定理及其推论的四个应用 　　（1）计算线段的长度：常构造直角三角形，结合勾股定理进行计算； 　　（2）证明线段相等：根据垂径定理平分线段推导线段相等； 　　（3）证明等弧； 　　（4）证明垂直：根据垂径定理的推论证明线段互相垂直． 题型剖析 解：如图，作交于点，交于点，连接， 则， ∵，∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，， 即，解得：． 答：这个圆形截面的半径是. 题型一、垂径定理及其推论 变式：某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 题型剖析 题型二、与圆心角、圆周角有关的计算 例2：如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长为 ． 解：如图，连接， ， ， ∵的直径垂直于弦， ，即直径是弦的垂直平分线， ， 是等边三角形， ，故答案为：． 题型剖析 题型二、与圆心角、圆周角有关的计算 进行与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解． 题型剖析 题型二、与圆心角、圆周角有关的计算 变式：如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 证明：连接，， ∵、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴． 题型剖析 题型三、切线的性质和判定 例3：如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 证明：（1）连接，是的切线，， ，，， ，，， 在和中， ， ，， 是的半径，是的切线； 题型剖析 题型三、切线的性质和判定 例3：如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． （2）设的半径为， 则， 在中，，即， 解得：， 的半径为3． 题型剖析 题型三、切线的性质和判定 切线在现实生活中是大量存在的，运用切线的性质解决实际问题时，关键是作出过切点的半径，从而构造出直角三角形、正方形等，进而结合相关知识解决问题． 证明一条直线是圆的切线的方法 （1）当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可； （2）当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径． 题型剖析 题型三、切线的性质和判定 变式：如图，在中，，O在上．以O为圆心，为半径的圆与相切于点F，交于点D，交于点G，过D作，垂足为E． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为6，，求的长． 解：（1）与相切，证明如下： 如图，连接，∵在中，， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴，即， 又∵为的半径，∴与相切． 题型剖析 题型三、切线的性质和判定 变式：如图，在中，，O在上．以O为圆心，为半径的圆与相切于点F，交于点D，交于点G，过D作，垂足为E． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为6，，求的长． （2）如图，连接，∵的半径长为6，∴， ∵与相切，∴， 在中，， ∴， ∵，∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，∴， ∴． 题型剖析 题型四、正多边形和圆 例4：如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为 ． 解：由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正三角形是的内接正三角形， ∴， ∴，故答案为：． 题型剖析 题型四、正多边形和圆 在进行正多边形的有关计算时，关键要明确正多边形的边长、半径、边心距之间的关系及正多边形的内角和中心角的求法．往往将正 n 边形的一边与圆的半径组成一个等腰三角形，再过圆心作该边的垂线，从而得到两个全等的直角三角形，最后应用勾股定理解决问题． 题型剖析 题型四、正多边形和圆 变式：如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ）  A． B． C． D． D 解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于，∴， ∵，，∴，∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴，∴， ∴， 故选：D． 题型剖析 解：∵这个圆锥的底面圆周长为，∴解得： ∵，解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，，故选：B． 题型五、与圆有关的计算 例5：某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） A． B． C． D． B 题型剖析 题型五、与圆有关的计算 与圆有关的计算问题包括圆的面积和周长、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积等．求弧长及扇形面积时，一要准确记忆相关公式；二要会合理转化图形，即化立体图形为平面图形，化不规则图形为规则图形． 题型剖析 解：如图：连接，∵， ∴，∴四边形是矩形， ∵点C是的中点，∴， 在与中，， ∴，∴，∴矩形是正方形， ∵，∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积．故答案为：． 题型五、与圆有关的计算 变式：如图，在扇形中，已知，，过弧的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 题型剖析 1．如图，点在的优弧上，，则的度数为(     ) A． B． C． D． D 解：， ， 故选：D． 针对训练 2．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧．正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 A 解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 针对训练 3．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则下列说法错误的是（    ） A．的长为 B． C． D． C 解：由旋转的性质可知： ，， ∴的长为：，， 则选项A、B、D说法正确，不符合题意；选项C说法错误，符合题意；故选：C． 针对训练 4．如图，是圆O的切线，切点为B，点A是圆O上一点，连接，和，与交于点D，若，，则的度数为（    ）  A． B． C． D． C 解：∵是圆O的切线，切点为B，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴， 故选：C． 针对训练 5．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应B点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 A 针对训练 解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ，，，三点共线， ，， ， ， ， ， ，故选：A． 针对训练 6．如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是 （结果保留）． 解：的长为：， 故答案为：． 针对训练 7．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 解：如图，两空白的面积相等，设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为，∴扇形的面积为：， 半圆的面积为：， ∵，∴， ∴， ∴ 针对训练 8．如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 ． 解：连接，过点D作的切线， ， 是直径，是弦，， ， ， ， ， ，故答案为：． 针对训练 9．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 12 解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， 由切线长定理可知，，， ∵是的切线，∴，， ∵，，， ∴，∴， 则四边形是正方形，∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴，∴，∴， ∴的周长为： ． 故答案为：12． 针对训练 10．已知一个扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，此时，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是 m． 18.84 解：，， 旋转的长度是：，移动的距离是：， 则圆心所经过的路线长是：． 故答案为：18.84． 针对训练 11．如图，是的外接圆，是的切线，切点为F，，连结交于E，的平分线交于D，连结． (1)证明：平分； (2)证明：． 证明：（1）连结， ∵是的切线，∴， ∵ ，∴垂直平分， ∴， ∴， ∴平分， 针对训练 11．如图，是的外接圆，是的切线，切点为F，，连结交于E，的平分线交于D，连结． (1)证明：平分； (2)证明：． （2）证明：如图， ∵的平分线交于D，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 针对训练 12．已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． (1)如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 解：（1）∵是直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 针对训练 12．已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． (1)如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． （2）如图②，连接， ∵，，∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 针对训练 ✅ 知识构建：圆 核心概念→性质定理→位置关系→相关计算公式 ✅ 思想方法： 数形结合、转化与化归、分类讨论、模型思想、对称思想、从特殊到一般 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $