2.3.3 点到直线的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式，以“乡村旅馆铺路”现实问题导入，引导学生从最短路径思考抽象出数学问题，通过代数法、投影向量法、几何法推导公式，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 其亮点在于融合多种推导方法培养数学思维与眼光，如代数法用“设而不求”简化运算体现推理能力，投影向量法结合法向量概念发展几何直观，例题分层设计强化应用。注重数形结合等思想总结，助力学生构建知识体系，教师可借助丰富推导思路提升教学效率。

思考一下 在公路附近有一家乡村旅馆,现在需要铺设一条连接旅馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短? 2.3.3 点到直线的距离公式 自主研读 P74~P77，梳理知识，记录疑问 问题一：课本使用哪些方法推导了点直线 的距离公式？  x y O Q P 直线l的方程 直线 l 的方程 直线PQ的方程 交点 点P的坐标 直线PQ的斜率 点P的坐标 点Q的坐标 两点间距离公式 思路简单运算繁琐 直线l的斜率 l⊥PQ 点P、Q之间的距离|PQ |（ P到l 的距离） l 方法一：代数法 如何简化运算？  设垂足Q的坐标(x,y）,则 ① ② ③ ④ ③式的平方+ ④式的平方得： “整体代换” 与l垂直的直线为Q在上，则 “设而不求” x y O Q P l 设是直线上任意一点 求出 求出直线的垂直(法) 单位向量 求出在上的投影向量的模 方法二：投影向量法 M(x,y) x y O P P1 P2 n 问题一：课本使用哪些方法导了点直线 的距离公式？  追问：如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的向量 ？ （即直线的法向量） 追问：如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的向量 ？ （即直线的法向量） M(x,y) x y O P P1 P2 n 简化运算： 的方向向量为则与垂直的向量为 直线 的方向向量为________ 法向量为________ 问题一：课本使用哪些方法导了点直线 的距离公式？  还有其他方法吗？ 方法三：几何法（等面积法） x y O S R l Q P 面积法求出|PQ| 求出|PR| 求出|PS| 利用勾股定理求出|RS| 求出点R的坐标 求出点S的坐标 平面内一点到直线的距离公式： 分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 注：用此公式时直线方程必须先化成一般式！！！ 点到直线的距离公式: 问题二：当直线垂直于坐标轴时，点到直线距离公式是否适用？  化简看看？ 对所有直线都适用 点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝______. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝______. (3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝________. (4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝________． |y0| |x0| |y0－a| |x0－b| |x1-x0| |y1-y0| 典例精析 解: 例1：求点到下列直线的距离： (4) 典例精析 例2:求经过点且与两点距离相等的直线的方程. 法一:当直线的斜率不存在时,直线的方程为,与两点距离不相等,不符合题意;当直线的斜率存在时,设的方程为,即. 由题意得,解得或. 故直线的方程为或. 法二:由平面几何知识知,或经过线段的中点. 由题意得. 若,则直线的方程为,即; 若经过线段的中点则直线的方程为. 故直线的方程为或. 课堂小结 距离问题 两点间的距离 点到直线的距离 两平行直线的距离 公式： 转化,化归 公式： 推导： 交点法，投影向量法，等面积法 推导： 向量法，构造直角三角形 数学思想： 数形结合 P (x0, y0 ) l :Ax+By+C=0 转化化归 整体代换 分类讨论 下节课 当堂检测 课本P77 1，2，3 课本P80 14 课后作业 课本P79 6，11 课本P80 13 $