2.1.1 倾斜角与斜率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的倾斜角与斜率”，以太平河大桥、滹沱河大桥斜拉索陡缓现象导入，通过“确定直线几何要素—倾斜角刻画方向—斜率定义与公式—倾斜角与斜率关系—方向向量联系”的问题链，搭建从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，从大桥现象抽象倾斜程度问题（数学眼光），通过问题链推导斜率公式（数学思维），结合例题中直线与线段交点的斜率范围求解（数学语言）。表格化小结清晰呈现倾斜角与斜率关系，助力学生构建模型，培养抽象与推理能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

课题背景 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。为了要精准地研究这些比较复杂的曲线，导致了解析几何的出现。 课题背景 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何.其基本内涵和方法： 点 数 坐标法 曲线 方程 把几何问题转化为代数问题, 用代数方法研究几何图形的性质. 传说1619年的一天，笛卡尔看到墙上有一只蜘蛛。 他突然想到，要是把墙角看作三条数轴，蜘蛛的位置不就确定了吗？ 于是，直角坐标系就此诞生了。 思考：这些大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？ 太平河大桥 滹沱河大桥 第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 自主研读 P51~P54，梳理知识，记录疑问 问题一：确在定一条直线的几何要素是什么？  两点；一点和一个方向 问题二：在直角坐标系中，经过一点可以作几条直线？这些直线的区别是什么？   l2 0 x y .P l1 l3 l' 经过一点P可以作无数条直线，它们组成一个直线束. 这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同. 方向向右 方向向上 问题三：直角坐标系中，如何刻画直线的方向？  l2 0 x y .P l1 l3 l' α3 α' α2 α1 直线的倾斜角: 谈谈你对倾斜角的认识？  当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 按倾斜角分类 零度角 锐角 直角 钝角 x y O x y O x y O x y O α α 倾斜角的范围 [ 0°，180°） 倾斜角能反映倾斜程度 方向相同 倾斜程度相同 倾斜角相等 问题四：刻画直线倾斜程度的量除了倾斜角外还有什么？它与倾斜角有何关系 ？ 直线的斜率: 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。常用小写字母 k表示，即： k=tanα (α≠90º) 谈谈你对斜率的认识？  经过两点P1(x1,y), P2(x2,y2)直线的斜率 O x y P P2 P1 O x y P1 P2 P 问题五：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？ ⇔k=tanα=0 ⇔k=tanα＞0，α越大k越大 ⇔k=tanα不存在 ⇔k=tanα＜0，α越大k越大 问题六：直线的方向向量与斜率 k 有什么关系？ =(x2－x1，y2－y1). 当x1x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k). 结论：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 k=. 课堂小结 课堂小结 当堂检测 课本P55 1，2，3，4，5 课后作业 课本P57 习题2.1 1，3，8 (2)由题意可知直线 的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间，又 的倾斜角是45°， 的倾斜角是135°，所以 的取值范围是 . 例 .已知两点 ，过点的直线 与线段 有公共点． (1)求直线 的斜率 的取值范围； (2)求直线 的倾斜角 的取值范围． (1)要使 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 . 变式 ：已知两点 ，过点的直线 与线段 有公共点． 则直线 的斜率 的取值范围是____________ $