九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（华东师大版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【华东师大版】 时间：120分钟 满分：150分 测试范围：第21章 二次根式~第23章 图形的相似 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2025·安徽宿州·一模）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 3．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 4．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2 6．（2025·重庆·三模）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（   ） A．4和5 B．5和6 C．7和8 D．6和7 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 10．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．若则 ． 12．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 13．（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 14．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ． 15．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 16．（2025·江苏苏州·二模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17．（8分）（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 18．（8分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 19．（8分）（2025·安徽六安·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点网格线的交点上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出，连接，，判定的形状． (2)计算的面积． 20．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 21．（8分）（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 23．（10分）（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 24．（12分）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 25．（14分）（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2025·安徽宿州·一模）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键． 【详解】解：A.当时，没有意义，不符合题意； B.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D.当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选D． 2．（2025·浙江·模拟预测）若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行变形求解即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 4．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 5．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2 【答案】D 【分析】根据常数项为0，可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可． 【详解】由题意得：m2-4=0，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6．（2025·重庆·三模）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（   ） A．4和5 B．5和6 C．7和8 D．6和7 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小估算，先根据二次根式的混合运算得到结果为，再估计无理数的大小即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴的运算结果在5和6两个连续自然数之间， 故选：B． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 9．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作延长线的垂线，垂足为，证明，求出，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作延长线的垂线，垂足为，则 ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明： ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 10．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明 ，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．若则 ． 【答案】 【分析】根据配方法将等式的左边配方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 12．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代公式计算，熟练掌握代公式计算的方法、平方与开平方的计算方法是解题关键，其中认真细致的习惯和态度也是不可或缺的 ．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： = ， 故答案为：． 13．（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 14．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】20 【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵ △=9-4=5＞0， ∴，， ∴=， 故答案为：20； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 15．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 由题易知，结合，得到，即可证得，利用相似的性质可得即可求解． 【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（2025·江苏苏州·二模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，先判断出得，由相似三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，则，，，整理得，，化简得 ，设，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ，与相似， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17．（8分）（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 18．（8分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）（2025·安徽六安·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点网格线的交点上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出，连接，，判定的形状． (2)计算的面积． 【答案】(1)见解析，为直角三角形 (2)2 【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可；利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论． （2）利用网格，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由勾股定理得，，，， ， ， 为直角三角形． （2）解：由图可知，的面积为． 20．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 21．（8分）（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在实数k的值，理由见解析 【分析】本题考查了已知根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值计算，即可作答． （2）假设满足题意的k的值存在．结合根与系数的关系得，，再代入，计算得出，由（1）得，则不在的范围内，即可说明不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根 ∴， ∴， ∴． （2）解：不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 理由如下：假设满足题意的k的值存在． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴． 由（1）得， ∵不在的范围内 ∴不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 22．（10分）（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 【答案】(1) (2)> (3) 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再比较大小； （3）先分母有理化，再算加减． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， ， ， ； 故答案为：>； （3） 24．（12分）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 25．（14分）（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $