专题05 期中真题百练通关 11个题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题05 期中真题百练通关（96题11大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 规律探究 题型9 数轴动点与新定义综合 题型2 逻辑推理 题型10 绝对值最小值问题 题型3 日历问题 题型11 新定义运算 题型4 新定义运算 题型5 有理数运算 题型6 绝对值综合 题型7 数轴综合 题型8 几何图形列代数式 题型一 规律探究（共10小题） 1．(24-25七上·北京石景山·期中)观察下面三行数： 第一行数：2、－4、8、－16、32、－64、… 第二行数：0、－6、6、－18、30、－66、… 第三行数：0、－3、3、－9、15、－33、… 根据第一行数的排列规律，以及这三行数字之间的关系，确定第三行第8个数是（    ） A．128 B．129 C．－128 D．－129 【答案】D 【分析】观察可以发现第一行数的排列规律：后一项是前一项的－2倍，从而可得第n个数；第二行数中每个数比第一行中对应的数小2，第三行数中每个数是第二行中对应的数的一半，根据此规律先确定第一行数的第8个数，从而可确定第二行数的第8个数，最后可确定第三行数的第8个数，因此可以确定答案． 【详解】根据第一行数的规律：第n个数为-(-2)n，则第一行第8个数为－256； 第二行数中每个数比第一行中对应的数小2，则第二行数的第8个数为－258； 第三行数中每个数是第二行中对应的数的一半，则第三行数的第8个数为－129； 故选：D 【点睛】本题是数字类规律探索问题，考查了用代数式表示规律问题，由特殊入手，得到一般结论，是本题的关键． 2．(24-25七上·北京顺义区·期中)如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第一个正方形需要四个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形，拼第三个正方形需要16个小正方形……想一想，按照这样的方法，拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律型问题，根据已知图形找到变化规律是解题的关键． 首先求出前4个正方形中小正方形个数的规律，然后求出后一个正方形比前一个正方形中多出的小正方形的个数的规律即可． 【详解】解：由图可知，第个正方形有个小正方形， 第个正方形有个小正方形， 第个正方形有个小正方形， ∴第个正方形有个小正方形， ∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为， ∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为， ∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为， … ∴拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为． 故选：D． 3．(24-25七上·北京昌平区·期中)观察下列图形：    它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n (n 为正整数)个图形中共有的点数是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的规律：第1个图形中有5个点，后面一个图形比前一个图形多6个点，即可得到答案. 【详解】∵第1个图形中有5个点，后面每一个图形比前面一个图形多6个点， ∴第n (n 为正整数)个图形中共有的点数是5+6(n-1)=， 故选B. 【点睛】本题主要考查用代数式表示图形的变化规律，通过观察，找到图形的变化规律，是解题的关键. 4．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放．根据图中小正方形的排列规律解答下列问题： （1）第5个图中有 个小正方形； （2）写出你猜想的第n个图中小正方形的个数是 （用含n的式子表示）． 【答案】 41 【分析】（1）观察图形可知，观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…，据此可得； （2）由（1）知第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n． 【详解】解：（1）∵第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1； 第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2； 第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3； …； ∴第5个图形共有小正方形的个数为6×6+5=41，故答案为：41； （2）由（1）知第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n， 故答案为：（n+1）2+n． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 5．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3．第四次从P3向右跳4个单位到P4…．若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是 ；若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点所表示的数P0是 ． 【答案】 3 2 【分析】根据向左减向右加的规律计算得到第6次跳后落点所表示的数，再计算第8次，第10次跳后表示的数，由此得到规律：跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数2n2=n，由此再列得n+2-n=2，计算即可． 【详解】解：小球从原点出发，跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是0-1+2-3+4-5+6=3，即62=3； 小球从原点出发，跳了8次时，它落在数轴上的点P8所表示的数是0-1+2-3+4-5+6-7+8=4，即82=4； 小球从原点出发，跳了10次时，它落在数轴上的点P10所表示的数是0-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10=5，即102=5； , 由此可得：若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数2n2=n， ∵点P2n所表示的数恰好是n+2， ∴这只小球的初始位置点所表示的数P0是n+2-n=2， 故答案为：3，2． 【点睛】此题考查数轴上点的运动规律计算，数字列规律计算，发现规律并应用解决问题是解题的关键． 6．黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖 个． 【答案】10 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决此类题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．观察发现：第1个图里有黑色地砖个；第2个图里有黑色地砖个；第3个图里有黑色地砖个；……由此发现，第n个图形中有黑色地砖个，从而可得答案． 【详解】解：观察发现：第1个图里有黑色地砖个； 第2个图里有黑色地砖个； 第3个图里有黑色地砖个； ……； 由此发现，第n个图形中有黑色地砖个， 则第10个图案中有黑色方砖个． 故答案为：． 7．已知一列数，，…，具体如下规律：，（n是正整数）．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一列数中的各项关系得出和的关系即可． 【详解】解：∵， （n是正整数），， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知的一列数中的各项关系得出和的关系是解题的关键． 8．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）． 【答案】 17 4n+1 【分析】观察发现，后一个图案比前一个图案多涂4个有阴影的小正方形，根据规律写出第n个图案的涂阴影的小正方形的个数即可． 【详解】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5个， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4=9个， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4=13个， 第4个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4+4=17个， ， 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4（n-1）=4n+1（个）， 故答案为：17，4n+1． 【点睛】此题考查图形类规律的探究，列代数式，有理数的加法计算法则，观察图形得到图形的变化规律，总结规律并解决问题是解题的关键． 9．观察下列等式：4﹣0＝4，9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20，…，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n为自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律 ． 【答案】＝4(n+1) 【分析】通过观察可得规律＝4(n+1)． 【详解】解：∵4﹣0＝4，9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20，……， ∴＝4(0+1)，＝4(1+1)，＝4(2+1)，＝4(3+1)，＝4(4+1)，……， ∴第n个数是＝4(n+1)， 故答案为：＝4(n+1)． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键． 10．李乐用相同的小三角形摆图形（如图），照这样摆下去，摆n个图形需要小三角形 个． 【答案】 【分析】由图可得：摆第1个图形需要小三角形1个，摆第2个图形需要小三角形4个，摆第3个图形需要小三角形9个，摆第4个图形需要小三角形16个，由此可得，小三角形的个数等于序数的平方，即两个相同的数相乘，由此找到规律． 【详解】解：摆第1个图形需要小三角形1个；可以写成：； 摆第2个图形需要小三角形4个，可以写成：； 摆第3个图形需要小三角形9个，可以写成：； 摆第4个图形需要小三角形16个，可以写成：； 摆第n个图形需要小三角形的个数为：； … 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题． 题型二 逻辑推理（共9小题） 1．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量为x，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出两张扑克牌给B同学：第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题是整式加减法的综合运用，依题意列出算式，即可求出答案． 【详解】解：∵B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后， ∴B同学有张牌，A同学有张牌， ∴给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解题关键是根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系． 2．(24-25七上·北京东城区多校·期中)幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵第三行和第三列上的数字和相等， ∴左下角的数字为，如图所示， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 3．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．小明受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3266．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“15”左边的数是12 B．“15”右边的“”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，设一个三位数与一个两位数分别为：和，则，，，，，事确定，时，，，，再根据题意即可求解，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为：和，如图： 由题意可知：，，，， ∴，即， ∵，， ∴当，时，不是正整数，不符合题意，舍去， ∴当，时，，，，如图： A、“15”左边的数是，故A选项不符合题意； B、“15”右边的“”表示，故B选项不符合题意； CD、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为： ， 当时，，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 4．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁； 1，2，3 【分析】本题主要考查了逻辑推理： （1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可； （2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可． 【详解】解：∵小云参与了所有活动． ∴小云第一个挑战必定成功， ∵小云只挑战成功一个， ∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”， ∴挑战成功的活动名称为鲁班锁； 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功， ∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败， 若第一次挑战华容道， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战魔方， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战鲁班锁， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3． 故答案为：1，2，3 5．将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 【答案】 1 19 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得． 【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数， ∴第2个空格所填入的数为1， ∵前36个数的和是第37个数的倍数， ∴这37个数的和也是第37个数的倍数， 又∵ ， ∴第37个空格所填入的数为19， 故答案为：1，19． 6． 、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】解：（1）、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 7． “24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意数字的正负，先确定四个数分别为：、、2、4，由于答案不唯一，列出一个算式即可． 【详解】红桃3代表、方块6代表、黑桃2代表2、梅花4代表4， 运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 8．将9个各不相同的正整数填在3×3表格的9个格子中，一个格子填一个数，使得每个的子表格中四个数的和都恰好等于100． （1）如图1，请你将20、25、35、40、50填入表格，使其符合条件，则 ； （2）这9个正整数总和的最小值是 ．（注：每个的子表格是指表格中形状为“”的表格．） 【答案】 或 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，列代数式，有理数的运算，理解题意是关键； （1）先求解左上角的数，再利用代数式表示其余空格内的数据，再分类检验即可； （2）先设出9个数，再利用与中新定义的要求可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵每个的子表格中四个数的和都恰好等于100． ∴左上角的数为：， 同理可得：其余空格里面的数如图示： ∴当时，如图所示， 此时符合题意； 当时，出现两个，不符合题意； 当时，如图， 此时符合题意； 当时，不符合题意； 综上：或； 故答案为：或 （2）若填入的数如图所示： ∴， ∴ ， ， ∵为各不相同的正整数， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为：， 如图是和取最小值的情况： ． 故答案为： 9 “端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化．某学校组织“端午”知识测试．测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．现有甲，乙，丙，丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下： 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × × √ × × ？ 根据以上结果，可以推断丁的得分是 分． 【答案】5 【分析】先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：1×，2√，3×，4√，5×，6×，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：1×，2√，3×，4√，5×，6×， 所以丁做对了5道，得了5分， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题． 题型三 日历问题（共8小题） 1．(22-23七上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（　　） A．90 B．63 C．42 D．125 【答案】A 【分析】设中间数为x，则其余四个数分别为x－8、x－6、x+8、x+6，求和即可求得． 【详解】设中间数为x，则其余四个数分别为x－8、x－6、x+8、x+6 ∴这五个数的和为 x－8+x－6+x+ x+8+x+6=5x ∵42和63不是5的倍数 ∴不符合题意，故舍去 当5x=90时，x=18，可以框出五个数 当5x=125时，x=25，不可以框出五个数 故选A 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，主要利用图形圈出5个数的关系解题． 2．(24-25七上·北京丰台区第二中学·期中)如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ） A．78 B．70 C．84 D．105 【答案】A 【分析】设“U”型框中的最下排正中间的数为x，则其它6个数分别为x-15，x-8，x-1，x+1，x-6，x-13，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可． 【详解】解：设“U”型框中的最下排正中间的数为x，则其他6个数分别为x-15，x-8，x-1，x+1，x-6，x-13， 这7个数之和为：x-15+x-8+x-1+x+1+x-6+x-13=7x-42． 由题意得： A、7x-42=78，解得x=，不能求出这7个数，符合题意； B、7x-42=70，解得x=16，能求出这7个数，不符合题意； C、7x-42=84，解得x=18，能求出这7个数，不符合题意； D、7x-42=105，解得x=21，能求出这7个数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际运用，掌握“U”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键． 3．(21-22六上·山东济宁任城区济宁天立学校·月考)如图给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ） A．69 B．54 C．27 D．40 【答案】D 【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是x-7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数． 【详解】解：设中间的数是x，则上面的数是x-7，下面的数是x+7． 则这三个数的和是（x-7）+x+（x+7）=3x， 因而这三个数的和一定是3的倍数． 则，这三个数的和不可能是40． 故选：D． 【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点． 4．小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 【答案】B 【分析】本题主要考查日历数的排列规律与倍数应用，熟练掌握“同一列相邻数差、同一行相邻数差”规律，通过设中间数表示五数和（和为的倍数 ），结合数在日历中的存在性判断是解题关键．设“十”字框中间数为，依据日历数的排列规律（同一列相邻数差、同一行相邻数差 ）表示出其余四个数，求出五数和的表达式，再结合和的倍数特征与日历中数的存在性判断选项． 【详解】解：设“十”字框中间的数为．则上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为． ∴这五个数的和为， ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数．此时中间数，在日历中，位于第四行第四列，上面数、下面数、左边数、右边数，均在日历范围内，可构成“十”字框，符合条件； ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数，但位于第五行第二列，下面无对应数（日历最大数为，超出范围 ），无法构成“十”字框，排除． 综上，这个数的和可能是， 故选： ． 5．日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程：日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数，，的位置关系进行列式计算，注意，，都是正整数，即可作答． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 解得，选项A不符合题意； B.∵，， ∴， 解得，选项B不符合题意； C.∵，， ∴， 解得，选项C符合题意； D.∵，， ∴， 解得，选项D不符合题意； 故选：C． 6．如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（    ） A．95 B．60 C．85 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，根据日历的特征，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是，则列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是， ∴， 当时，则，故A选项不符合题意； 当时，则，故B选项不符合题意； 当时，则，故C选项不符合题意； 当时，则，不是整数，故D选项符合题意； 故选：D 7在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意用含n的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：设日历中所示的方框左上角数字为n， 则其余三个数从小到大依次是：， ∴用含x的式子可表示为． 故答案为：． 8．如图是某月份的日历，用方框圈出了9个数．设最中间一个是x，则方框左上角的数可表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出方框圈出的其他数是解题的关键．根据方框圈出9个数之间的关系，即可用含的代数式表示出方程左上角的数，即可求解． 【详解】解：最中间一个是， 方框左上角的数可表示为． 故答案为：． 题型四 新定义运算（共10小题） 1．(24-25七上·北京平谷区精英未来学校·期中)用“△”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有；当时，都有．那么 ． 【答案】 【分析】先判断两个数的大小，再根据题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了定义新运算，解题的关键是正确理解题目规定的运算法则，然后把数据代入其中计算即可． 2．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)  规定图形表示运算，  图形表示运算．则  +  = ． 【答案】 【分析】根据题目中的规定，可以计算出所求式子的值． 【详解】 解：∵图形  表示运算，图形  表示运算． ∴  +   ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 3．(22-23七上·北京石景山区古城中学·期中)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．集合中的元素是互不相同的，如一组数1，2，2，3，4就可以构成一个集合，记为．类比有理数可以进行加法运算，集合也可以“相加”．我们规定：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A＋B．若已知，，则A＋B . 【答案】 【分析】根据题中的新定义对集合集合A与集合B进行“相加”运算可得答案. 【详解】解：A={-2,0,1,4,6},B={-1,0,4, },根据集合相加的定义,所以 A+B={-2,-1,0,1,4,6,}, 故本题正确答案为{-2,-1,0,1,4,6,}. 【点睛】本题主要考查有关实数、实数运算的新定义问题. 4．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义运算计算即可求解，理解有理数的新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 5．现定义一种新运算：a※b=b2-ab，如：1※2=22－1×2=2，则(－1※2)※3等于(    )． A．-9 B．-6 C．6 D．9 【答案】A 【详解】根据题中的新定义得：(−1※2)※3=(4+1×2)※3=6※3=9−18=−9， 故选A 6．规定：不超过x的最大整数叫做x的整数部分，记作，例如：．若，则的值为 ． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴的值在3和5之间， ∴当在3和4之间，则； 当在4和5之间（含4），则； 故答案为3或4． 7．如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格．若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号） ①若B对应的小方格行数是4，则对应的小方格行数一定是4； ②若对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应的小方格列数是3，且对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的次数与项数，整式的加减，逐项分析判断即可 【详解】解：是三次二次项式， 对应的行数是3，列数是2 ①若B对应的小方格行数是4，则是四次多项式，则也是四次多项式，则对应的小方格行数一定是4，故①正确； ②若对应的小方格列数是5，则说明是五项多项式，不一定是三项，有可能四项或五项，通过合并同类项之后仍为五项，故②不正确； ③若B对应的小方格行数为3，则与中存在的三次项，通过合并同类项之后的多项式的项数不可能为5，即的列数不为5， 所以B对应的小方格行数不可能是3；故③正确； 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了多项式的次数与项数，合并同类项，弄起题意中的行数和列数分别对应次数和项数是解题的关键． 8．用符号表示，两个有理数中的较小的数，表示，两个有理数中的较大的数，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法运算等知识点，弄清新定义的意义并掌握有数大小的比较方法是解题的关键． 根据新定义的要求求出和的值，然后相加即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴． 故答案为：． 9对于有理数，，我们规定运算“”；． （1）计算： ； （2）对于任意有理数，，，若成立，则称运算“”满足结合律．请判断运算“”是否满足结合律： （填“满足”或“不满足”）． 【答案】 ； 不满足． 【分析】根据题中的新定义运算即可求解． 【详解】（）由题意可知：， 故答案为：； （）由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：不满足． 【点睛】此题考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． 10．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．其算符号意义不变，按上述规定计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，理解新运算的计算规则，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A ． 题型五 有理数运算（共8小题） 1．(24-25七上·北京房山区·期中)孝是中华民族的传统美德之一，清代学者王永彬在《围炉夜话》中写到“百善孝为先”，强调了孝在中华传统文化中的重要地位．小山在妈妈生日之际，准备为妈妈做一碗长寿面，查阅食谱，发现有下面几道工序： ①洗锅盛水要； ②洗青菜要； ③准备面条及佐料要； ④用洗好的锅把水烧开要； ⑤用烧开的水煮面条和青菜并盛到碗里要． 小山最少用 可以做好这碗长寿面． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，根据题意可知，①④⑤是必须要单独完成的工序，且⑤是最后的工序，④要在①完成的前提下才能进行，那么要使时间最短，需要在完成其他工序的过程中把②③完成，因此先①，再④，在完成④的过程中完成②③，最后完成⑤，据此求解即可． 【详解】解：先完成步骤①，再完成步骤④，再完成步骤④的过程中可以完成步骤②和③，最后完成步骤⑤， ∴小山最少用可以做好这碗长寿面， 故答案为：． 2．(23-24七上·北京房山区·期中)长阳音乐节在10月2日和6日成功举办，为打造房山形象，特招募了一批志愿者参与服务工作，帮助维持现场秩序．某志愿服务站点有A，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为 小时，最长为 小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． 【答案】 6 12.5 【分析】先列表表示时段1时间安排，时段2时间安排，再结合每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻同时最多需要2名志愿者服务，分析得出答案即可． 【详解】解：服务时段1时间安排表， A A A B B B B C C D D D D 服务时段1时间安排表， A A B B B C C C C D D D ∵任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务， ∴A参与时段服务，B参加时段服务，C参加时段服务，D参加时段服务时，累计服务时间最短， ∴该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为：（小时）， ∵任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务， ∴A、B、D参与时段1服务，A、C、D参加时段2服务，累计服务时间最长， ∴该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最长为： （小时） 故答案为：6；12.5． 【点睛】本题考查的是逻辑推理，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键． 3．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同． 体育小组 活动次数 科技小组 活动次数 文艺小组 活动次数 课外兴趣小组 活动总时间（单位：h） 1 4 6 5 11.5 2 4 6 4 11 3 4 7 4 12 4 6 13 （说明：活动次数为正整数） 科技小组每次活动时间为 h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是 次． 【答案】 1 8 【分析】设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，根据1、2、3班每班活动总时间列方程组求解即可；设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，根据4班总活动时间列方程求得方程的正整数解即可； 【详解】解：设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，则 ①-②得：c=0.5， c=0.5代入①得：4a+6b=9， ③-②得： b=1， 4a+6b=9，a=0.75， ∴体育小组每次活动时间为0.75小时，科技小组每次活动时间为1小时，文艺小组每次活动时间为0.5小时； 设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，则 0.75m+6+0.5n=13， 0.75m+0.5n=7， 1.5m+n=14， ∵m，n为正整数， ∴m=2，n=11或m=4，n=8或m=6，n=5或m=8，n=2； m最大值为8次， 故答案为：1，8； 【点睛】本题考查了三元一次方程的实际应用，二元一次方程的正整数解，利用加减消元法解方程是解题关键． 4．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两张饼，如果煎1张饼需要2分钟（正面、反面各需1分钟），那么煎3张饼最少需 分钟，煎2025张饼至少需 分钟． 【答案】 3 2025 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，先把两张饼煎至熟，势必在煎第三张饼时，锅中只有一张饼而造成浪费，那么应先往锅中放入两张饼A和B，先煎熟一面后拿出A，再放入一张新的饼C，当再把B的另一面和C的一面煎熟后，拿出B，再把A没有煎的一面放入和C的另一面一起煎熟，据此可求出煎3张饼最少需要的时间，那么如此循环即可求出煎2025张饼至少需要的时间． 【详解】解：∵先把两张饼煎至熟，势必在煎第三张饼时，锅中只有一张饼而造成浪费， ∴应先往锅中放入两张饼A和B，先煎熟一面后拿出A，再放入一张新的饼C，当再把B的另一面和C的一面煎熟后，拿出B，再把A没有煎的一面放入和C的另一面一起煎熟，∴煎3张饼需分钟； ∴煎2025张饼至少需分钟， 故答案为：3；2025． 5．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元． 【答案】 1 1600 【分析】（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数，根据题意列出不等式组求解即可； （2）33人中共有19名男士，则女士有14名，根据，，再结合该团已经租住了3间1人间，可得：安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省，据此解答即可． 【详解】解：（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数， 根据题意有：，解得：， ∵且x、y均为自然数， ∴可以取0和1， 当时，，不为自然数，舍去， 当时，，即他们租住了1间一人间． 故答案为：1． （2）33人中共有19名男士，则女士有14名， ∵，，该团已经租住了3间1人间， ∴安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省， 即：（元）． 故答案为：1600． 【点睛】本题主要考查不等式组的应用、有理数的运算的应用，明确题意列出不等式组是解答本题的关键． 6．联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D E 演员人数 10 1 2 10 3 彩排时长 25 10 10 15 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目E的演员的候场时间为 min；若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排． 【答案】 60 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 根据候场时间定义计算即可，若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按：顺序排序． 【详解】解：根据题意，节目E的演员的候场时间为：； 若使这26位演员的候场时间之和最小，则人数一样，彩排时间长节目排在后面， ∴在后面， ∵节目时间一样的，人数少的在后面， ∴按顺序， ∴应按：顺序彩排，26位演员的候场时间之和最小， ∴候场时间之和为 故答案为：60；． 7小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 … B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜， （1）他们共点了 份B餐． （2）若他们至少需要6杯饮料，要使所花费的钱数最少，则应该点 份B餐． 【答案】 （x﹣5）/（-5+x） 3 【分析】（1）由三种餐中均包含盖饭且只有C餐中含小菜，即可得出他们点了（x﹣5）份B餐； （2）由三种餐中均包含盖饭且只有C餐中含小菜，即可得出他们点了5份C餐，进一步得到A餐共有（11﹣x），即可得出一共的花费，再结合x为正整数即可求解． 【详解】解：（1）∵三种套餐中均包含盖饭且只有C餐中含小菜，有5份小菜， ∴C餐中含5杯饮料， ∵只有A餐中不含小菜， ∴他们点了（x﹣5）份B餐． 故答案为：（x﹣5）． （2）∵三种餐中均包含盖饭且只有C餐中含小菜， ∴点了5份C餐， ∵B餐，C餐都有1份盖饭， ∴B餐，C餐共有盖饭x份， ∴A餐共有（11﹣x）， 一共花费： 20（11﹣x）+28（x﹣5）+32×5 ＝220﹣20x+28x﹣140+160 ＝8x+240（6≤x≤11）， 当x＝6时，原式＝8×6+240＝288， 288﹣24＝264（元）； 当x＝7时，原式＝8×7+240＝296， 296﹣24＝272（元）； 当x＝8时，原式＝8×8+240＝304， 208﹣48＝256（元）； 当x＝9时，原式＝8×9+240＝312， 212﹣48＝264（元）； 当x＝10时，原式＝8×10+240＝320， 320﹣48＝272（元）； 当x＝11时，原式＝8×11+240＝328， 328﹣48＝280（元）． 综上所述，当x＝8时，所花费的钱数最少，应该点8﹣5＝3份B餐． 故答案为：（x﹣5）；3． 【点睛】本题考查了应用类问题，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键． 8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数：地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2059年为农历 年． 【答案】己卯 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数运算，找到变化规律是解题的关键．根据题中的计算方法进行计算求解即可． 【详解】解：， ， 年为农历己卯年， 故答案为：己卯． 题型六 绝对值综合（共7小题） 1．(24-25七上·北京通州区·期中)已知a，b为有理数，下列说法： ①若a，b互为相反数，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，，则； ⑤若，则．其中正确的个数为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的意义．分别根据绝对值的性质，相反数的定义，平方差公式对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①若a，b互为相反数，且时，则，本小题说法不正确； ②若，即，则，本小题说法正确； ③若，且，则，本小题说法正确； ④若，，则，，则，本小题说法不正确； ⑤若，． ，，本小题说法不正确． 综上，②③说法正确，共2个， 故选：C． 2．(24-25七上·北京通州区·期中)如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘除法，化简绝对值，掌握有理数的乘法法则是解题关键．根据有理数的乘法法则和，即得出，或，．分类讨论化简绝对值求解即可． 【详解】解：因为， 所以，或，． 当，时，； 当，时，． 故选C． 3．(23-24七上·北京西城区育才学校·期中)若，则的所有可能值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，有理数的除法，分类讨论是解题的关键．分为；；；四种情况讨论即可． 【详解】解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：或． 4．若，则的化简结果是 ．（用含有a、b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是绝对值的化简，绝对值的意义及有理数加法法则，掌握绝对值的化简的方法是解题的关键．先根据，利用有理数加法法则得到，再由绝对的意义即可化简． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则运算，根据乘法计算法则得到中负数的个数为奇数个，则可分两种情况：当三个数都为奇数时，当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数，两种情况分别化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴中负数的个数为奇数个， 当三个数都为奇数时， 则； 当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数， 则， 综上所述，的值为0或， 故选：D． 6．若a＋b＋c＝0（a，b，c均为不等于0的数），则可能的值是（    ） A．1或-1 B．2或-2 C．3或-3 D．0 【答案】D 【分析】根据，且a、b、c均为不等于0的数，推断出a、b、c中至少有一个是负数，然后分类讨论，根据绝对值的性质化简求值． 【详解】解：∵（a、b、c均为不等于0的数），∴a、b、c中至少有一个是负数， ①有一个是负数，比如a是负数， 原式， b或c是负数，结果一样； ②有两个是负数，比如a和b是负数， 原式， 其他情况结果也都一样． 故选：D． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是分类讨论a、b、c的正负，并根据它们的正负对原式进行化简求值． 7．=-1,则的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数，可知a的取值范围． 【详解】解：∵=-1， ∴|a|=−a且a≠0， ∴a<0. 故选B. 【点睛】注意：当|a|=-a时，a≤0．但这里的a在分母上，不得为0． 题型七 数轴综合（共9小题） 1．(24-25七上·北京大兴区·期中)有理数在数轴上表示的点的位置如图所示，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由数轴图可知，， ∴， ∴①正确，②正确，正确， ∴正确结论的序号为①②③． 故选：D． 2．(23-24七上·广东深圳南山外国语集团和南山第二外国语集团联考·期中)如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是， 故①正确； 由题意得：（秒）， 点到达点时，， 故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或； 故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变， 故④正确； 所以，上列结论中正确的有个， 故选：D． 3．(24-25七上·北京通州区·期中)如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点不在之间， 原点是M或R． 故选：B． 4．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（    ） A．原点O在点M左侧 B．原点O在点N的右侧 C．原点O在点M、N之间，且 D．原点O在点M、N之间，且 【答案】D 【分析】由可知，原点在之间，根据， ，进行判断即可． 【详解】解：∵点M，N表示的有理数为a，b ，， ∴异号， ∴原点O在点M、N之间， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数．熟练掌握两个有理数的乘积小于0，两数异号，以及绝对值的意义，是解题的关键． 5．数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：或． 6．有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若，，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（    ）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】依次分析每个点为原点时的与的符号，由此判断． 【详解】若点A为原点，可得，则，与题意不符合，故选项A不符合题意； 若点B为原点，可得，且，则，符合题意，故选项B符合题意； 若点C为原点，可得，且，则，与题意不符合，故选项C不符合题意； 若点D为原点，可得，则，与题意不符合，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查了利用数轴确定式子的符号，有理数加法计算法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小关系是解题的关键． 7．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|1﹣a|﹣|a|的结果是 ． 【答案】-1 【分析】由题意可得a＞1，利用绝对值化简可求解． 【详解】解：由题意可得：a＞1， ∴|1﹣a|﹣|a|＝a﹣1﹣a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查绝对值的化简，利用数轴比较数的大小从而正确化简计算是解题关键． 8．如图，在数轴上有一点，将点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则、灵活运用分类讨论思想解决． 根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故答案是：． 9．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，解一元一次方程，依题意得，求解即可，熟练掌握数轴上的两点之间距离的求解是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 解得：， 故答案为：． 题型八 几何图形列代数式（共8小题） 1．(24-25七上·北京第二十二中学·期中)如图所示：把两个正方形放置在周长为的长方形内，两个正方形的周长和为，则这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案，正确理解题意求出是解题的关键． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，， ∵两个正方形的周长和为， ∴， ∴， ∴，， ∵长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 2．(24-25七上·北京大峪中学·期中)如图是一个大的长方形花园，分成三个大小相同的长方形，把第二个长方形平均分成2块，再把第三个长方形平均分成3块，若要给阴影部分种植薰衣草，则种植薰衣草的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式，阴影部分长方形的长为，宽为，所以阴影部分长方形的面积． 【详解】阴影部分长方形的长为，宽为，所以阴影部分长方形的面积． 故选：D 3．(24-25七上·北京房山区·期中)用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　） ①② ③ ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了用代数式表示面积的，根据选项依次画出图形表示出面积即可得出答案． 【详解】解：①③如下图： 几何图形的面积：或，故①③正确． ②如下图： 几何图形的面积：，故②正确， ④如下图： 几何图形的面积：，故④正确， 综上①②③④正确， 故选：A． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的面积等于圆心角为90°半径为2的扇形的面积减去边长为2的等腰直角三角形的面积，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【详解】 观察图形可知， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．观察，已知如图阴影部分是由一大个长方形剪掉一小长方形后的得到的图形，请回答下列问题： （1）边的长度为 ； （2）阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算， （1）表示出边的长度，再化简即可； （2）表示出阴影部分的周长，再化简即可． 【详解】解：（1）边的长度为， 故答案为：； （2）阴影部分的周长是， 故答案为：． 6．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是； ②窗户的面积是； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】此题考查了列代数式问题．解题的关键熟练掌握长方形、正方形和圆的周长及面积求法． 根据图形中圆，正方形和长方形边的数量关系及面积公式即可求解． 【详解】根据图形可知：窗户外围的周长是（）， 故①正确； 窗户的面积是， 故②错误； 由图形可知：， 故③正确； 由，b和c得不出关系， 故④错误． 故答案为：①③． 7如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含、代数式表示）. 【答案】a+8b 【分析】观察可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，由此可得用9个拼接时的总长度为9a-8(a-b)，由此即可得. 【详解】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)， 三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)， 四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)， …， 所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b， 故答案为a+8b. 【点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，通过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键. 8．有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是 ．（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列得m+y-x=n+x-y，整理即可得到答案． 【详解】设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：m+y-x=n+x-y， ∴x-y=， 故答案为：． 【点睛】此题考查图形类列代数式，正确理解图形中的数量关系是解题的关键． 题型九 数轴动点与新定义综合（共10小题） 1．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)，，为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是【，】的好点． 例如，如图，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点．又如，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点． 如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的为． (1)数__________表示的点是【，】的好点． (2)如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一只蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)或； (2)当或或时，点，和中恰有一个点为其余两点的好点 【分析】设【，】的好点表示的数是，根据定义可以列出关于的方程，解方程求出的值即可； 当运动秒时，点表示的数为，因为点，和中恰有一个点为其余两点的好点，所以本题要分种情况进行讨论，根据材料中提供的定义列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设【，】的好点表示的数是， 根据题意可得：， 整理得：， 或， 解方程， 可得：， 解方程， 可得：， 数或表示的点是【，】的好点， 故答案是：或； （2）解：当运动秒时，点表示的数为， 蚂蚁从点出发，到达点停止， ， 解得：， 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或， 不符合题意； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：， 不符合题意，舍去； 点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点． 综上所述，当或或时，点，和中恰有一个点为其余两点的好点． 【点睛】本题主要考查了绝对值、数轴上两点之间的距离、解一元一次方程、分类讨论的思想．解决本题的关键是读懂材料中所提供的定义，根据定义列方程求解，解题时还要根据点的位置关系分情况讨论． 2．(22-23七上·北京石景山区古城中学·期中)对于数轴上的A，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点A，的“联盟点”． (1)若点A表示数，点表示数2，则下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，的“联盟点”的是________； (2)点A表示数，点表示数30，点为数轴上的一个动点， ①若点在点的左侧，且点是点A，的“联盟点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点，A，中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点所表示的数为________. 【答案】(1)、； (2)①当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或；②70或50或110． 【分析】（1）根据联盟点的定义进行判断即可； （2）（2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； ②分三种情况进行解答，即点A是点，点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点是A，的“联盟点”； ∵，， ∴点不是A，的“联盟点”； ∵，， ∴点不是A，的“联盟点”； ∵，， ∴点是A，的“联盟点”； 故答案为：、； （2）解：① 设点P表示的数为x， 如图，当点在点A左侧时，， 则， 解得：， 所以点表示的数为； 如图，当点在线段上且时， 则， 解得：， 所以点表示的数为； 如图，当点在线段上且时， 则， 解得， 所以点表示的数为； 综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或； ②若点在点的右侧， 当点A是点，点的“联盟点”时，有，即， 解得； 当点是点A、点的“联盟点”时，有或， 即或，解得或； 当点是点A、点的“联盟点”时，有，即， 解得； 故答案为：70或50或110． 【点睛】本题考查数轴与有理数，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）的关键． 3．(24-25七上·北京大峪中学·期中)定义：数轴上表示的数分别为．若点到点中一个点的距离与点到点中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对．例如，如图，点表示的数分别为，，，．此时，，，因此，点满足，称是的调和点对． 请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点表示的数分别为，且满足， (1)______；______； (2)点表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______； (3)若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为的调和点对时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据非负数的性质即可求得的值； （）根据两点之间的距离分别求出，进而根据调和点对的定义即可求解； （）分点在点的左边与点的右边两种情况分类讨论，根据新定义列出方程即可求解； 本题考查了数轴上两点的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：解：如图所示， ∵，，， ∴是的调和点对， 故答案为：； （3）解：由题意，秒后点对应的数为，点对应的数为， ∵当点到达点时，点同时停止运动， ∴， ∴， ∵为的调和点对， ∴或， ①当在点的左侧时： 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∵当时，，此时在点的右侧，不合题意； ②当在点的右侧时，， 则， 解得； 综上所述，或． 4．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”、例如，数轴上点、，所表示的数分别为0，2，3，此时点是点，的“唯美点”． (1)若点表示的数为，点表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点，的“唯美点”的是___________； (2)点表示的数为（为整数），点表示的数为，点是数轴上的一个动点，对应的数用表示．若、且点、、中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的的值有___________个、其中整数的值为___________（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)6；或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式分别求出点A和点B到，，，四个点的距离，再根据“唯美点”的定义判断即可； （2）先求出，，再分当A是B、T的“唯美点”时， 当B是A、T的“唯美点”时， 当T是A、B的“唯美点”时，三种情况根据 “唯美点”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴， ∴，是点，的“唯美点”， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， 当A是B、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或； 当B是A、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或或或（舍去）； 当T是A、B的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或（舍去）或或， 综上所述，或或或或或， ∴t的值一共有6个，其中整数t的值为或； 故答案为：6；或． 5．如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 【答案】(1)8； (2)或2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）利用时间＝路程÷速度，可求出点Q到达点C、点Q返回点A及点N到达点C所需时间，由线段，的运动方向、运动速度、运动时间及两线段的长，可得出当时，点M，Q表示的数； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数． 【详解】（1）解：（秒），（秒），（秒）． 根据题意得：当时， 点N表示的数为， 点Q表示的数为． ∵，且点M在点N的左侧， ∴当时，点N表示的数为． 故答案为：8；． （2）解：当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 答：在整个运动过程中，当时，点M表示的数为或2． 6．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 【答案】(1) (2)①；；②170秒或1518秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）先根据题意可求出折叠中心表示的数为，再根据折叠后互相重合的两点到折叠中心的距离相等进行求解即可； （2）①先求出折叠中心表示的数为，再求出点A和点B到折叠中心的距离都为1011，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点A和点B表示的数即可；②点C表示的数为，则，，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵折叠数轴1表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∴表示的点与的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵折叠数轴8表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∵数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A和点B到折叠中心的距离都为1011， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：；； ②由题意得，点C表示的数为， ∴，， ∵之间的距离恰好是之间距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时间t为170秒或1518秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 7．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． (1)当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； (2)已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； (3)若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【答案】(1)1 (2)或5 (3)8 【分析】此题的关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题，同时要注意分情况进行讨论． （1）设B表示的数为x，利用“k倍关联点”的定义列出方程即可解决问题； （2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6倍关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可； （3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k倍关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：设B表示的数为x，则有：， ∴， 即B表示的数为1． 故答案为：1． （2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则， ∵6的正因数有1、2、3、6， ∴①当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ②当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ③当，时，则有，解得： ，符合题意； ④当，时，则有，解得： ，符合题意； 综上所述，y为或5，即C表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∵点P始终为点Q的“k倍关联点”， ∴， ∴， 对于任意t都成立 ∴，， 解得：，， ∴． 8．【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是或或或；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ①当点在点左侧，时， ， 解得：， ②当点在点左侧，时， ， 解得：， ③当点在点右侧，时， ， 解得：， ④当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 9．如图，在数轴上A，B，C三个点表示的数分别为，，．A，B，C三个点同时运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B，C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒． (1)当时，求的值； (2)的值是否随t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1) (2)的值不随t的变化而变化， 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）分别求出运动2秒后点A，点B，点C表示的数，进而求出即可得到答案； （2）分别求出运动t秒后点A，点B，点C表示的数，进而求出即可得到结论． 【详解】（1）解：运动2秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ∴； （2）解：运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ∴， ∴的值不随t的变化而变化； 10．已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图， A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ① ； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为 ； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（）当时，请求出t的值． 【答案】(1)①4；②2；③3或11 (2)t的值为7或16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题： （1）分别根据新定义可解答； （2）根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为，分点M在点F的左边和右边，根据新定义列方程可解答． 动点问题中熟练应用公式：路程=速度×时间，认真理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点P表示，点A表示，点B表示5， ，， 则P是的“4倍点”，记作：； 故答案为：4； ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； 故答案为：2； ③， ， ∵点A表示，点B表示5， 或6， ∴点D所表示的数为3或11； 故答案为：3或11． （2）解：设点M在数轴上表示的数为a， ， ， ∵点E表示的数为，点F表示的数为50， ， 或80， 当点M运动到点F的左边时，，解得：； 当点M运动到点F的右边时，，解得：； 综上所述，t的值为7或16． 题型十 绝对值最小值问题（共8小题） 1．(24-25七上·北京丰台区第二中学·期中)数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点M、N表示的数分别为， ①M、N之间的距离可用含x的式子表示为__________； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________． (2)的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________； (3)若，则的最小值为_________． 【答案】(1)①；②或1 (2)8， (3) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可以求解； （2）的最小值表示到3这个点和到这个点的距离和最小，而这个点应该在和3之间，所以最小值为8，； （3），而，所以可以分别求出、和的范围，从而求得的最小值． 【详解】（1）解：①之间的距离可用含的式子表示为； ②令， 解得或； （2）解：当时，的值最小为8； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离求法以及最小距离，数轴上两点间的距离是这两点所对应数的差的绝对值；其次是绝对值的最小值问题可以利用数轴的特点把转化成两点间的距离进行求解． 2．(24-25七上·北京通州区·期中)我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________； (2)当取最小值时，x取整数的值是__________； (3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2 (2)，，，0，1 (3)，7 (4)站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义；表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （4）以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，根据绝对值几何意义分析判断取得最小值时的情况即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或2， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2； （2）解：表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数1的点的距离之和， 所以x应该在表示有理数与1的两点之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1； 故答案为：，，，0，1； （3）解：表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，所以x应该在与1之间的线段上，且当时，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离7； 故答案为：，7； （4）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x， 由题意可知，，，4， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离与x到4的距离之和，x到的距离与x到4的距离之和的2倍的总和， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵物资运送车往返1千米路程需要花费5元， ∴（元）． ∴站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元． 3．(23-24七上·北京通州区·期中)在学习绝对值后，我们知道，表示数a在数轴上的对应点到原点的距离．如：表示数5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的．表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： (1)数轴上表示数2和3的两点之间的距离是 ； (2)的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示数x的点之间的距离； (3)数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ； (4)若．则 ； (5)数轴上有一个点表示数a，则的最小值为 ． 【答案】(1)1 (2) (3)或5 (4)或 (5)9 【分析】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用及整式的加减运算： （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设点Q表示的数为x，然后根据数轴上两点距离可进行求解； （4）分两种情形，构建方程求解； （5）分四种情形，构建不等式求解． 解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 数轴上表示2和3的两点之间的距离是， 所以数轴上表示数2和3的两点之间的距离是1； （2）解：依题意， 因为， 可知：其几何意义是数轴上表示有理数的点与表示x的点之间的距离； （3）解：设点Q表示的点为x， 根据题意，得：， ∴或， 解得：或， （4）解：由题意得， 当时，则， ∴； 当时，则有，故舍去； 当时，则有， ∴； 故或2； （5）解：由题意可分： 当时，， 当时，则， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，当时，最小值为9； 4．数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 【答案】（1）4，3，；（2）7；（3）见解析；（4）3或5 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式进行求解即可； （2）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值进行求解即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据（2）的结论进行求解即可； （4）当时， 当时，当时，根据（2）的结论求出的最小值，然后建立方程求解即可； 【详解】解：（1）若，则； 若，则； 一般地，； 故答案为：4，3，； （2）当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值7， 故答案为：7； （3）当时，由（2）可知当时， 的最值为， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为7， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； （4） ， 当时，由（2）可知的最小值为7， 当时，由（2）可知的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∵代数式（m为常数）的最小值为8， ∴， ∴； 当时，同理可得当时，有最小值，不符合题意； 当时，同理可得当时，的最小值为， 解得； 综上所述，m的值为3或5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，绝对值的意义，正确推出在时，有最小值是解题的关键． 5．阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|． 根据上述材料，回答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ； （2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝ ； （3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是 ． 【答案】（1）3；4 ；（2）-1或-3；（3）-2；1；3 【分析】（1）根据阅读材料提供的两点间的距离计算即可； （2）清楚|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1,因此借助数轴即可完成； （3）|x＋2|表示数轴上表示x的点与表示－2的点间的距离，|x－1|表示数轴上表示x的点与表示1的点间的距离，因此|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，因而可以求得其最小值． 【详解】解：（1）由题意得：数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5－2|=3；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1―(―3)|=4； 故答案为：3，4 （2）|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1，由数轴知，x的值为－3或－1； 故答案为：－1或－3 （3）由题意知，|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，如图，当时，|x＋2|＋|x－1|=3；当或时，|x＋2|＋|x－1|>3；故其最小值为3． 故答案为：3 【点睛】本题是材料阅读题，考查了数轴上两点间的距离及其应用，理解材料并借助数轴是关键． 6．数轴上表示数的点与原点的距离可记作：表示数的点与表示数2的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x与的之间的距离为2，那么x为______； (3)找出所有使得的整数x； 【答案】(1)4，7 (2)或 (3)或或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值： （1）利用数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）根据两点之间的距离公式得，再去绝对值即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，当时，化简绝对值即可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及绝对值的意义化简绝对值是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：4；7． （2）由题意得： ， 即：， 解得：或， 故答案为：或． （3）当时， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 综上所述：， 为整数值， 的值为：或或1． 7．问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)5或4 【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可； （2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可； （3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可： （4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． （2）解：分三种情况讨论： ①时，化简为：，此方程无解； ②时，化简为：，解得； ③时，化简为：，此方程无解． 故答案为：． （3）解：分三种情况讨论： ①时，， 化简得：，解得； ②时，， 化简得：，此方程无解； ③时，， 化简得：，解得． 故答案为：或． （4）分三种情况讨论： ①时，，化简，解得； ②时，，化简，此方程无解； ③时，，化简，解得． ∴m为3或， ∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴或． 故答案为：5或4． 【点睛】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论． 8．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】（1），（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①由两点间距离直接求解即可； ②由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可； （3）由题意两点距离的意义进行解答； （4）当取2时代数式的值最小，据此计算便可； （5）取最中间点便可； （6）在，范围内，解方程便可． 【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为； 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）， ； （3）表示数的点与表示数1和2的点的距离之和， 当位于1与2之间时，其距离之和最小， 取最小值时，相应的数的取值范围是， 故答案为：； （4）当时，取最小值为：， 故答案为：2； （5）点选在居民家．才能使这2023户居民到点的距离总和最小； 故答案为：； （6）， 当，时，， ， 若数，满足，的最小值为， 故答案为：． 题型十一 新定义运算（共10小题） 1．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)观察下列两个等式：，给出定义如下： 若对于数对，使等式成立，则称数对是“4相关数对”， 如：，所以数对是“4相关数对”． (1)数对中是“4相关数对”的是______； (2)一名同学，在数对和都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：和互为相反数； 结论二：和互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)结论一正确，结论二错误；理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，倒数定义，相反数定义； （1）根据“4相关数对”的定义进行判断即可； （2）根据数对和都是“4相关数对”，得出，，求出，得出，即可得出结论． 解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴中是“4相关数对”； ∵，， 又∵， ∴中不是“4相关数对”； 故答案为：． （2）解：结论一正确，结论二错误；理由如下： ∵数对和都是“4相关数对”， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴和互为相反数， ∴结论一正确，结论二错误． 2．(24-25七上·北京延庆区·期中)探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【来源】北京市延庆区 2024-2025学年七年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 3．(23-24七上·北京通州区·期中)观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，，，其中是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算，涉及有理数的混合运算： （1）根据“共生有理数对”的定义即可列式作答； （2）根据符不符合“共生有理数对”的定义，若符合就是，否则不是； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ∵， ∴是“共生有理数对”， ∵，，且， ∴不是“共生有理数对”， ∵， ∴是“共生有理数对”， 故是“共生有理数数对”的有：，； （2）解：∵是“共生有理数对”， ，整理得， 把代入，得， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：是． 4．定义一种新运算： （1）计算的值； （2）若 ，且a，b互为倒数，求的值 【答案】（1） 7；（2）11 【分析】（1）根据题意定义的运算代入求值即可； （2）根据题意定义的运算将和代入运算，根据a，b互为倒数可得，计算即可． 【详解】解：（1）； （2） ∵a，b互为倒数， ∴． 【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，整式的加减运算，倒数的定义，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 5．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： (1)___________，___________． (2)___________． (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)0 (3)2 【分析】本题主要考查了新定义运算、数字规律、整式的加减混合运算等知识点，根据新定义运算发现规律成为解题的关键． （1）根据题中给出的例子进行计算即可； （2）先根据题中给的新定义化简，然后再进行计算即可； （3）先根据题中给的新定义化简，然后再根据整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，； （2）解： ． 故答案为：0． （3）解： ． 6．关于的代数式，当取任意一组相反数与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式是“偶代数式”， 是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③． (2)对于整式，当分别取与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，，，，，时，求这九个整式的值之和．    【答案】(1)①③；② (2)当时，整式值为；当时，整式值为 (3) 【分析】本题考查代数式求值，涉及新定义， （1）根据定义即可判定； （2）分别代入计算即可； （3）、、是“奇代数式”， 分别取，，，，，，，，时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可； 解题的关键是理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并会运用． 【详解】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2）当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为； （3）∵、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时，它们的和为， 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时 九个整式的值之和是： ， ∴这九个整式的值之和是69． 7．解答题 探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；            ； ；        ； ；        ； ；                ； ；                        ． 归纳*运算的法则（用文字语言叙述） (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？______．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，______． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数，使得，若存在，求出满足的关系，若不存在，说明理由． 【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； (2) (3)存在两个非零有理数，使得，理由见详解 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解； （2）运用材料提示的运算法则进行计算即可； （3）根据材料提示得到，由此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正； ∵； ； ； ∴0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方； 故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； （2）解： ； （3）解：存在，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴或，即， ∴存在两个非零有理数，使得． 8．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 【答案】(1)11 (2)11，理由见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，数的整除，有理数的乘法分配律的逆应用，整式的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先分别表示，，再求和，结合乘法的分配律变形可得答案； （2）由题意可得这个四位的完美数为，其中a，b为一位正整数，再表示这个完美数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、b（a、b均为1～9的正整数）组成的两位数，， ∴，， ∴， ∴与的和一定能被11整除， ∴， 故答案为：11； （2）解：． 理由：∵一个四位数，它是“完美数”， ∴这个四位数为，其中a，b为一位正整数， ∴这个四位数为：， ∴这个“完美数”一定能被11整除， ∴． 9．我们规定：使得成立的一对数为“积差等数对”，记为 ． 例如，因为 ，，所以数对都是“积差等数对” (1)下列数对中，是“积差等数对”的是 ； ① ；② ；③ ． (2)若是“积差等数对”，求 的值； (3)若是“积差等数对”，求代数式 的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)8 【分析】（1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断； （2）根据新定义内容列方程求解； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）①∵， ∴是“积差等数对”； ②∵， ∴不是“积差等数对”； ③∵， ∴是“积差等数对”； 故答案为：①③； （2）∵是“积差等数对”， ∴， 解得：， ∴k的值为； （3）原式 ， ∵是“积差等数对”， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的运算，解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义是解题关键． 2 / 91 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（96题11大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 规律探究 题型9 数轴动点与新定义综合 题型2 逻辑推理 题型10 绝对值最小值问题 题型3 日历问题 题型11 新定义运算 题型4 新定义运算 题型5 有理数运算 题型6 绝对值综合 题型7 数轴综合 题型8 几何图形列代数式 题型一 规律探究（共10小题） 1．(24-25七上·北京石景山·期中)观察下面三行数： 第一行数：2、－4、8、－16、32、－64、… 第二行数：0、－6、6、－18、30、－66、… 第三行数：0、－3、3、－9、15、－33、… 根据第一行数的排列规律，以及这三行数字之间的关系，确定第三行第8个数是（    ） A．128 B．129 C．－128 D．－129 2．(24-25七上·北京顺义区·期中)如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第一个正方形需要四个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形，拼第三个正方形需要16个小正方形……想一想，按照这样的方法，拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为（    ） A．1 B． C． D． 3．(24-25七上·北京昌平区·期中)观察下列图形：    它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n (n 为正整数)个图形中共有的点数是（     ）. A． B． C． D． 4．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放．根据图中小正方形的排列规律解答下列问题： （1）第5个图中有 个小正方形； （2）写出你猜想的第n个图中小正方形的个数是 （用含n的式子表示）． 5．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3．第四次从P3向右跳4个单位到P4…．若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是 ；若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点所表示的数P0是 ． 6．黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖 个． 7．已知一列数，，…，具体如下规律：，（n是正整数）．若，则的值为 ． 8．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）． 9．观察下列等式：4﹣0＝4，9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20，…，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n为自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律 ． 10．李乐用相同的小三角形摆图形（如图），照这样摆下去，摆n个图形需要小三角形 个． 题型二 逻辑推理（共9小题） 1．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量为x，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出两张扑克牌给B同学：第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．(24-25七上·北京东城区多校·期中)幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 3．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．小明受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3266．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“15”左边的数是12 B．“15”右边的“”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 4．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 5．将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 6． 、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 7． “24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式： ． 8．将9个各不相同的正整数填在3×3表格的9个格子中，一个格子填一个数，使得每个的子表格中四个数的和都恰好等于100． （1）如图1，请你将20、25、35、40、50填入表格，使其符合条件，则 ； （2）这9个正整数总和的最小值是 ．（注：每个的子表格是指表格中形状为“”的表格．） 9． “端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化．某学校组织“端午”知识测试．测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．现有甲，乙，丙，丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下： 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × × √ × × ？ 根据以上结果，可以推断丁的得分是 分． 题型三 日历问题（共8小题） 1．(22-23七上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（　　） A．90 B．63 C．42 D．125 2．(24-25七上·北京丰台区第二中学·期中)如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ） A．78 B．70 C．84 D．105 3．(21-22六上·山东济宁任城区济宁天立学校·月考)如图给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ） A．69 B．54 C．27 D．40 4．小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 5．日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（    ） A． B． C． D． 6．如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（    ） A．95 B．60 C．85 D．72 7．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为 ． 8．如图是某月份的日历，用方框圈出了9个数．设最中间一个是x，则方框左上角的数可表示为 ． 题型四 新定义运算（共10小题） 1．(24-25七上·北京平谷区精英未来学校·期中)用“△”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有；当时，都有．那么 ． 2．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)  规定图形表示运算，  图形表示运算．则  +  = ． 3．(22-23七上·北京石景山区古城中学·期中)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．集合中的元素是互不相同的，如一组数1，2，2，3，4就可以构成一个集合，记为．类比有理数可以进行加法运算，集合也可以“相加”．我们规定：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A＋B．若已知，，则A＋B . 4．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．现定义一种新运算：a※b=b2-ab，如：1※2=22－1×2=2，则(－1※2)※3等于(    )． A．-9 B．-6 C．6 D．9 6．规定：不超过x的最大整数叫做x的整数部分，记作，例如：．若，则的值为 ． 7．如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格．若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号） ①若B对应的小方格行数是4，则对应的小方格行数一定是4； ②若对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应的小方格列数是3，且对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． 8．用符号表示，两个有理数中的较小的数，表示，两个有理数中的较大的数，的值为 ． 9．对于有理数，，我们规定运算“”；． （1）计算： ； （2）对于任意有理数，，，若成立，则称运算“”满足结合律．请判断运算“”是否满足结合律： （填“满足”或“不满足”）． 10．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．其算符号意义不变，按上述规定计算（    ） A． B． C． D． 题型五 有理数运算（共8小题） 1．(24-25七上·北京房山区·期中)孝是中华民族的传统美德之一，清代学者王永彬在《围炉夜话》中写到“百善孝为先”，强调了孝在中华传统文化中的重要地位．小山在妈妈生日之际，准备为妈妈做一碗长寿面，查阅食谱，发现有下面几道工序： ①洗锅盛水要； ②洗青菜要； ③准备面条及佐料要； ④用洗好的锅把水烧开要； ⑤用烧开的水煮面条和青菜并盛到碗里要． 小山最少用 可以做好这碗长寿面． 2．(23-24七上·北京房山区·期中)长阳音乐节在10月2日和6日成功举办，为打造房山形象，特招募了一批志愿者参与服务工作，帮助维持现场秩序．某志愿服务站点有A，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为 小时，最长为 小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． A A A B B B B C C D D D D A A B B B C C C C D D D 3．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同． 体育小组 活动次数 科技小组 活动次数 文艺小组 活动次数 课外兴趣小组 活动总时间（单位：h） 1 4 6 5 11.5 2 4 6 4 11 3 4 7 4 12 4 6 13 （说明：活动次数为正整数） 科技小组每次活动时间为 h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是 次． 4．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两张饼，如果煎1张饼需要2分钟（正面、反面各需1分钟），那么煎3张饼最少需 分钟，煎2025张饼至少需 分钟． 5．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元． 6．联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D E 演员人数 10 1 2 10 3 彩排时长 25 10 10 15 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目E的演员的候场时间为 min；若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排． 7．小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 … B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜， （1）他们共点了 份B餐． （2）若他们至少需要6杯饮料，要使所花费的钱数最少，则应该点 份B餐． 8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数：地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2059年为农历 年． 题型六 绝对值综合（共7小题） 1．(24-25七上·北京通州区·期中)已知a，b为有理数，下列说法： ①若a，b互为相反数，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，，则； ⑤若，则．其中正确的个数为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．(24-25七上·北京通州区·期中)如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 3．(23-24七上·北京西城区育才学校·期中)若，则的所有可能值 ． 4．若，则的化简结果是 ．（用含有a、b的代数式表示） 5．若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 6．若a＋b＋c＝0（a，b，c均为不等于0的数），则可能的值是（    ） A．1或-1 B．2或-2 C．3或-3 D．0 7． =-1,则的取值为（     ） A． B． C． D． 题型七 数轴综合（共9小题） 1．(24-25七上·北京大兴区·期中)有理数在数轴上表示的点的位置如图所示，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．(23-24七上·广东深圳南山外国语集团和南山第二外国语集团联考·期中)如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 3．(24-25七上·北京通州区·期中)如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 4．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（    ） A．原点O在点M左侧 B．原点O在点N的右侧 C．原点O在点M、N之间，且 D．原点O在点M、N之间，且 5．数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 6．有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若，，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（    ）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 7有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|1﹣a|﹣|a|的结果是 ． 8．如图，在数轴上有一点，将点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 9．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ． 题型八 几何图形列代数式（共8小题） 1．(24-25七上·北京第二十二中学·期中)如图所示：把两个正方形放置在周长为的长方形内，两个正方形的周长和为，则这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为 ． 2．(24-25七上·北京大峪中学·期中)如图是一个大的长方形花园，分成三个大小相同的长方形，把第二个长方形平均分成2块，再把第三个长方形平均分成3块，若要给阴影部分种植薰衣草，则种植薰衣草的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·北京房山区·期中)用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　） ①② ③ ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 ．（结果保留） 5．观察，已知如图阴影部分是由一大个长方形剪掉一小长方形后的得到的图形，请回答下列问题： （1）边的长度为 ； （2）阴影部分的周长是 ． 6．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是； ②窗户的面积是； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 7．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含、代数式表示）. 8．有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是 ．（用含，的式子表示） 题型九 数轴动点与新定义综合（共10小题） 1．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)，，为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是【，】的好点． 例如，如图，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点．又如，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点． 如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的为． (1)数__________表示的点是【，】的好点． (2)如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一只蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的好点？ 2．(22-23七上·北京石景山区古城中学·期中)对于数轴上的A，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点A，的“联盟点”． (1)若点A表示数，点表示数2，则下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，的“联盟点”的是________； (2)点A表示数，点表示数30，点为数轴上的一个动点， ①若点在点的左侧，且点是点A，的“联盟点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点，A，中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点所表示的数为________. 3．(24-25七上·北京大峪中学·期中)定义：数轴上表示的数分别为．若点到点中一个点的距离与点到点中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对．例如，如图，点表示的数分别为，，，．此时，，，因此，点满足，称是的调和点对． 请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点表示的数分别为，且满足， (1)______；______； (2)点表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______； (3)若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为的调和点对时，直接写出的值． 4．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”、例如，数轴上点、，所表示的数分别为0，2，3，此时点是点，的“唯美点”． (1)若点表示的数为，点表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点，的“唯美点”的是___________； (2)点表示的数为（为整数），点表示的数为，点是数轴上的一个动点，对应的数用表示．若、且点、、中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的的值有___________个、其中整数的值为___________（用含有的代数式表示）． 5．如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 6．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 7．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． (1)当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； (2)已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； (3)若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 8．【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 9．如图，在数轴上A，B，C三个点表示的数分别为，，．A，B，C三个点同时运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B，C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒． (1)当时，求的值； (2)的值是否随t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 10．已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图， A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ① ； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为 ； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（）当时，请求出t的值． 题型十 绝对值最小值问题（共8小题） 1．(24-25七上·北京丰台区第二中学·期中)数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点M、N表示的数分别为， ①M、N之间的距离可用含x的式子表示为__________； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________． (2)的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________； (3)若，则的最小值为_________． 2．(24-25七上·北京通州区·期中)我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________； (2)当取最小值时，x取整数的值是__________； (3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 3．(23-24七上·北京通州区·期中)在学习绝对值后，我们知道，表示数a在数轴上的对应点到原点的距离．如：表示数5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的．表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： (1)数轴上表示数2和3的两点之间的距离是 ； (2)的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示数x的点之间的距离； (3)数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ； (4)若．则 ； (5)数轴上有一个点表示数a，则的最小值为 ． 4．数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 5．阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|． 根据上述材料，回答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ； （2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝ ； （3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是 ． 6．数轴上表示数的点与原点的距离可记作：表示数的点与表示数2的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x与的之间的距离为2，那么x为______； (3)找出所有使得的整数x； 7．问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 8．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 题型十一 新定义运算（共9小题） 1．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)观察下列两个等式：，给出定义如下： 若对于数对，使等式成立，则称数对是“4相关数对”， 如：，所以数对是“4相关数对”． (1)数对中是“4相关数对”的是______； (2)一名同学，在数对和都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：和互为相反数； 结论二：和互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 2．(24-25七上·北京延庆区·期中)探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 3．(23-24七上·北京通州区·期中)观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，，，其中是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 4．定义一种新运算： （1）计算的值； （2）若 ，且a，b互为倒数，求的值 5．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： (1)___________，___________． (2)___________． (3)计算：． 6．关于的代数式，当取任意一组相反数与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式是“偶代数式”， 是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③． (2)对于整式，当分别取与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，，，，，时，求这九个整式的值之和．    7．解答题 探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；            ； ；        ； ；        ； ；                ； ；                        ． 归纳*运算的法则（用文字语言叙述） (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？______．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，______． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数，使得，若存在，求出满足的关系，若不存在，说明理由． 8．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 9．我们规定：使得成立的一对数为“积差等数对”，记为 ． 例如，因为 ，，所以数对都是“积差等数对” (1)下列数对中，是“积差等数对”的是 ； ① ；② ；③ ． (2)若是“积差等数对”，求 的值； (3)若是“积差等数对”，求代数式 的值． 1 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $