八年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（湘教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·安徽宿州·一模）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键． 【详解】解：A.当时，没有意义，不符合题意； B.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D.当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质和化简方法． 逐一验证各选项是否恒成立即可． 【详解】解：选项A：通分得左边为，右边为，显然不相等，故A不成立； 选项B：拆分分式得左边为，与右边不符，故B不成立； 选项C：左边平方后等于右边，但原式仅在或且不为0时成立，故C不恒成立； 选项D：分子因式分解为，约分后为（当时分式有意义），故D在分式有意义时恒成立； 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 6．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对每个选项中的多项式进行因式分解，然后判断是否含因式．本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式以及提公因式法是解题的关键． 【详解】解： ， 分解结果不含因式，A选项符合题意． ， 分解结果含因式，B选项不符合题意． ， 分解结果含因式，C选项不符合题意． ， 分解结果含因式，D选项不符合题意． 故选：A． 7．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，进而得到，当时，满足原方程无解，当时，，此时原方程有增根，即，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得， 当，即时，此时方程的左边为0，右边不为0，即此时方程无解，符合题意； 当，即时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，a的值为0或1， 故选：C． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则代数式的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，把所给代数式的值整体代入变形后的式子计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键．首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 10．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知关于x的分式方程，若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，先用m的代数式表示该方程的解，再根据解为非负数列出不等式，还要排除解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若为任意整数且，则的值总能被 整除． 【答案】11 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式对式子进行因式分解． 先利用平方差公式对进行因式分解，再结合化简式子，从而确定能整除该式子的数． 【详解】解： 因为已知，将其代入上式，得到． 这表明是11的倍数，即它的值总能被11整除． 故答案为：11． 15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代公式计算，熟练掌握代公式计算的方法、平方与开平方的计算方法是解题关键，其中认真细致的习惯和态度也是不可或缺的 ．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： = ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）分解因式： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键﹒ （1）直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案； （2）将原式变形为，再利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案﹒ 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ﹒ 18．（6分）（1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、分式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据解分式方程的一般步骤解方程即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2） ， 当时，原式． 19．（8分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 21．（10分）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 【答案】(1)， (2)见解析． 【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意及整式的乘法求解即可； （2）根据（1）中结果作差，然后分解因式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ， （2）， ， ， ， 所以与的差一定是5的倍数． 22．（10分）（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 23．（12分）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】(1)35天 (2)210000元 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该项工程的规定时间是天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙队合作完成所需的天数，再根据施工费用施工时间每天施工的费用列式计算即可． 【详解】（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用（元， 答：该工程施工总费用是210000元． 24．（12分）（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【湘教版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 因式分解~第3章 二次根式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·安徽宿州·一模）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）(    ) A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（　　） A． B． C． D． 7．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则代数式的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 10．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 12．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知关于x的分式方程，若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若为任意整数且，则的值总能被 整除． 15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）分解因式： (1)． (2) 18．（6分）（1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 20．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 21．（10分）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 22．（10分）（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 23．（12分）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 24．（12分）（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $