6.2.２线段的比较与运算学案　2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦线段的比较与运算，涵盖比较方法（度量法、叠合法）、尺规作图、和差倍分、中点概念及线段性质。课前复习直线射线线段区别，课堂通过度量与叠合操作导入，衔接尺规作图与运算，构建新旧知识学习支架。 资料注重实践操作与思维训练，课前引导尝试尺规作图，课中通过分类讨论（如点位置关系）、数形结合及方程思想解决问题，习题分层设计，体现几何直观、推理意识与应用意识，助力学生用数学眼光观察、思维思考现实世界。

线段的比较与运算 一、学习目标 1.掌握比较两条线段长短的两种方法：度量法和叠合法。 2.掌握用尺规作图作一条线段等于已知线段。 3.理解线段的和、差、倍、分的意义，并能进行相关作图与计算。 4.理解线段中点的概念，能利用线段中点的性质进行简单的计算和推理。 5.在解决线段长度计算问题的过程中，体会数形结合和方程思想。 二、课前预习 1. 复习旧知： 直线、射线、线段有什么区别？线段有哪些特性？ 2. 阅读课本： 认真阅读课本第164页至第169页。 思考：比较两个人的身高，对你比较两条线段的长短有什么启发？ 圈画出“尺规作图”、“线段的中点”的定义。 尝试理解用尺规作“a + 2b”和“2a - b”的作图思路。 3. 尝试操作： 准备圆规和没有刻度的直尺（或一根笔直的纸条），尝试在纸上画一条线段等于已知线段。 三、课堂学习 (一) 线段的比较与尺规作图 1. 比较线段长短的方法： 度量法： 用刻度尺分别测量出线段的长度，然后比较大小。 叠合法：两条线段移到一起，一端对齐，就可以比较了.两条线段的大小 2. 尺规作图：作一条线段等于已知线段 步骤： （１）用直尺作一条直线l; （２）在l上任取一点C作为新线段的一个端点; （３）在直线l上用圆规截取CD=AB； 则线段CD为所求作的线段． 总结：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. (2) 线段的和、差、倍、分 思考：如图，点A、B、C在一条直线上.线段AB、BC、AC有怎样的数量关系?线段AB、BC、AC有如下的数量关系： 　　AC+BC=_____,　　AC—BC=____B,　　AC—AB=____. 1. 线段的和： 如图，线段AC是线段AB与线段BC的和，记作 AC = AB + BC； 2. 线段的差： 如图，线段AB是线段AC与线段BC的差，记作 AB = AC - BC； 3. 线段的倍、分： 可以通过多次作相等的线段实现线段的倍数，或通过等分实现线段的几分之一。 　　如图，线段a和b的关系是______________________ 总结：如果一条线段b是n条线段a的和，就说线段b是线段a的n倍，或线段a是线段b的n分之一，记作：b=na或a= (三) 线段的中点与等分点 1. 线段的中点： 定义： 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。 几何语言： ∵ 点M是线段AB的中点， ∴ AM = MB = AB，或 AB = 2AM = 2MB。 2. 线段的三等分点、四等分点： 类似地，将线段分成三条或四条相等的线段的点。 例1如图,已知线段a、b. (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b； (３)用直尺和圆规画一条线段，使它等于２a－b； 例２ 点M, N, P在同一条直线上，MN = 3cm, NP = 1cm。求线段MP的长。 (引导学生分类讨论：点P在线段MN上或在线段MN的延长线上) 　　变式训练： 　　１.已知线段AB = 8cm，在直线AB上画线段BC，使BC = 3cm，求线段AC的长。 ２.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． 　　(1) 如果AB = 12cm，求AD的长。 (2) 如果AD = 15cm，求AB的长。 (四) 线段的性质 探究 如图6.2-12,从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗? 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离(distance). 四、课堂练习 （一）填空题 １.比较线段AB与CD的大小，可以把线段AB______到线段CD上，使点A与点C重合，观察点B的位置。 ２.只用______和______作图称为尺规作图。 ３.如图，点C是线段AB的中点，若AB = 10cm，则AC = ______cm。 ４.已知线段AB，延长AB到点C，使BC = AB，则点______是线段AC的中点。 ５.如图，AＢ = AＥ + ______ = AC + ______． 二、选择题 　１．下列尺规作图的语句正确的是（ ） A. 作直线AB = 3cm B. 延长线段AB到点C，使AC = BC C. 作线段AB，使AB = a D. 作射线OA = 3cm ２．如果点C在线段AB上，则下列各式中：①AC = AB；②AB = 2BC；③AC = CB；④AC + CB = AB。能表示点C是线段AB中点的有（ ） 　　　　A. 1个　　　B. 2个　　　C. 3个　　　　D. 4个 ３．已知线段AB = 6cm，在直线AB上取一点C，使BC = 2cm，则AC的长为（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 4cm　　　B. 8cm　　　C. 4cm或8cm　D. 无法确定 ４．如图，C、D是线段AB上两点，若AD = 6cm，BD = 4cm，且C是AD的中点，则BC的长为（ ） A. 5cm　　　B. 6cm　　　C. 7cm　　　　D. 8cmv 三、解答题 １． 估计下图中线段AB与AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验。 ２．如图，已知线段a, b, c (a > ｂ)，用尺规作图作一条线段，使它等于a - b + c。（不写作法，保留作图痕迹） ３.已知线段AB = 10cm，点C是AB的中点，点D是AC的中点，求线段BD的长。 ４．已知线段AB = 12cm，直线AB上有一点C，且BC = 4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长。 ５．如图，B、C是线段AD上两点，且AB:BC:CD = 2:3:4，若点E、F分别是AB、CD的中点，且EF = 12cm，求线段AD的长。 5、 课后练习 （一）填空题 １．把一条弯曲的公路改直，可以缩短路程，其依据是__________。 ２．已知线段AB，延长AB到点C，使BC = AB，再反向延长AB到点D，使AD = AB．若DC = 10cm，则AB = ______cm。 ３．已知线段AB = 8cm，在直线AB上取一点C，使AC:BC = 3:1，则BC = ______。 ４．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m + n = ______。 （二）解答题 １.读下列语句，并分别画出图形： (1)直线1经过A,B,C三点，并且点C在点A与点B之间； (2)两条线段m与n相交于点P; (3)P是直线a外一点，过点P有一条直线b与直线a相交于点Q; (4)直线l,m,n相交于点Q. 2. 用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明;在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明？ ３.点 A、B、C 在同一直线上，AB = 6cm，AC = AB + BC，且 BC = 4cm，点 D 是 AC 的中点，求 BD 的长度。 ４.如图，已知线段a、b,画图并回答问题. (1)用直尺和圆规画图： ①画线段AB,使得AB=2a-2b; ②画线段CD,使得CD=2(a—b). (1) 比较(1)中的线段AB、CD的长度. ５.如图，已知线段AB,画图并回答问题. (1)利用直尺和圆规，按下列说法画图： ①在线段AB的延长线上取点C,使得BC=AB; ②再在线段BA的延长线上取一点D,使得DA=2AB. (2)在(1)的基础上，回答下列问题： ①线段AC等于线段AB的几倍? ②线段AB等于线段DB的几分之几? ③线段DB等于线段DC的几分之几? ６．已知点C是线段AB上的一点，D是AC的中点，E是BC的中点， （1） 思考线段DE和AB的大小有什么关系？ （2） 若C为AB延长线上一点呢？ ７.如图，已知M是线段AB的中点，点N在线段MB上，MN=AM.如果MN=3,求AB的长. ８.如图(1),把原来弯曲的河道改直，A,B两地间的河道长度有什么变化? 如图(2),公园里修建了曲折迂回的桥.与修一座直的桥相比，修建弯曲的桥能对游人观赏湖面风景起什么作用?你能用所学数学知识说明其中的道理吗? 学科网（北京）股份有限公司 $